1、1,學(xué)習(xí)交流PPT,2,學(xué)習(xí)交流PPT,3,學(xué)習(xí)交流PPT,4,學(xué)習(xí)交流PPT,一維雙原子鏈的模型,一維復(fù)式格子的情形 一維無限長鏈, 兩種原子m和M _( M m) _ 構(gòu)成一維復(fù)式格子 M原子位于2n-1， 2n+1， 2n+3 m原子位于2n， 2n+2， 2n+4 同種原子間的距離2a_晶格常數(shù), 系統(tǒng)有N個原胞 包含個自由度,5,學(xué)習(xí)交流PPT, N個原胞，有2N個獨立的方程, 兩種原子振動的振幅A和B一般來說是不同的,第2n+1個M原子的方程,第2n個m原子的方程,方程解的形式,6,學(xué)習(xí)交流PPT, A、B有非零的解，系數(shù)行列式為零,第2n+1個M原子,第2n個m原子,方程的解,7

2、,學(xué)習(xí)交流PPT, 一維復(fù)式晶格中存在兩種獨立的格波,8,學(xué)習(xí)交流PPT, 與q之間存在著兩種不同的色散關(guān)系, 一維復(fù)式格子存在兩種獨立的格波, 光學(xué)波, 聲學(xué)波,9,學(xué)習(xí)交流PPT,兩種格波的振幅, 光學(xué)波, 聲學(xué)波,10,學(xué)習(xí)交流PPT,相鄰原胞之間位相差,M和m原子振動方程,1. q的取值,波矢q的值,采用周期性邊界條件,一維雙原子鏈的布里淵區(qū),11,學(xué)習(xí)交流PPT, h為整數(shù),每個波矢的線度,允許的q值的數(shù)目, 晶體中的原胞數(shù)目,a. 描寫晶格振動的波矢q只能取分立的值。 對應(yīng)一個q有兩支格波：一支聲學(xué)波和一支光學(xué)波 總的格波數(shù)目為2N,q的取值,12,學(xué)習(xí)交流PPT,重要結(jié)論,晶體中

3、的格波的支數(shù)原胞內(nèi)原子的自由度 一種色散關(guān)系，即q，對應(yīng)一支格波 晶格振動的模式數(shù)晶體中原子的總自由度 一種振動模式對應(yīng)一個（ ， q ）,13,學(xué)習(xí)交流PPT,2. 色散關(guān)系的特點,2.1 短波極限,兩種格波的頻率,因為 Mm,出現(xiàn)“頻率的禁帶區(qū)”,14,學(xué)習(xí)交流PPT, 不存在格波,頻率間隙,15,學(xué)習(xí)交流PPT,2.2 長波極限,A 聲學(xué)波,應(yīng)用, 聲學(xué)波的色散關(guān)系 就是把一維鏈看作連續(xù)介質(zhì)時的彈性波,16,學(xué)習(xí)交流PPT,長聲學(xué)波中相鄰原子的振動, 原胞中的兩個原子振動的振幅相同，振動方向一致, 代表原胞質(zhì)心的振動,17,學(xué)習(xí)交流PPT,B光學(xué)波,長波極限, 長光學(xué)波同種原子振動位相一

4、致，相鄰原子振動相反, 原胞質(zhì)心保持不變的振動，原胞中原子之間相對運動,18,學(xué)習(xí)交流PPT,19,學(xué)習(xí)交流PPT,習(xí)題,對于NaCl晶體，已知其恢復(fù)力常數(shù) 1.510-1N/cm。試求NaCl晶體中格波光學(xué)支的最高頻率和最低頻率；聲學(xué)支的最高頻率。 對于NaCl晶體，其密度2.18g/cm3,正負(fù)離子的平衡距離a2.8110-10m，光學(xué)支格波的最高頻率是3.6010-13rad/s 。試以一維雙原子鏈模型計算： NaCl的恢復(fù)力常數(shù)； 長聲學(xué)波的波速； NaCl的體積模量。 Cl和Na的原子量分別為35.5和23.0。,20,學(xué)習(xí)交流PPT,例題 一維復(fù)式格子中，如果 計算 1) 光學(xué)波頻

5、率的最大值 和最小值 ，聲學(xué)波頻率的最大值 ； 2) 相應(yīng)聲子的能量 , 和 ； 3) 如果用電磁波激發(fā)光學(xué)波，要激發(fā)的聲子所用的電磁波波長在什么波段？ 4) 在 下，三種聲子數(shù)目各為多少？,21,學(xué)習(xí)交流PPT, 1) 聲學(xué)波的最大頻率,光學(xué)波的最大頻率,光學(xué)波的最小頻率,22,學(xué)習(xí)交流PPT,2）相應(yīng)聲子的能量,23,學(xué)習(xí)交流PPT,3）如果用電磁波激發(fā)光學(xué)波，要激發(fā) 的聲子所用的電磁波波長在什么波段？,對應(yīng)電磁波的能量和波長, 要激發(fā)的聲子所用的電磁波波長在紅外波段,24,學(xué)習(xí)交流PPT,光學(xué)波頻率的聲子數(shù)目,聲學(xué)波頻率的聲子數(shù)目,25,學(xué)習(xí)交流PPT,根據(jù)歸一化條件,歸一化常數(shù),26,

6、學(xué)習(xí)交流PPT,頻率為諧振子的平均能量,頻率為諧振子的能量,第i個q態(tài)的平均數(shù)聲子,27,學(xué)習(xí)交流PPT,光學(xué)波頻率的聲子數(shù)目,聲學(xué)波頻率的聲子數(shù)目,28,學(xué)習(xí)交流PPT,三維晶格的振動,三維晶格振動的動力學(xué)方程組 q取值與倒格子空間 布里淵區(qū) 例題,29,學(xué)習(xí)交流PPT,三維復(fù)式格子,各原子偏離格點的位移,晶體的原胞數(shù)目,原子的質(zhì)量,第l個原胞的位置,原胞中各原子的位置, 一個原胞中有n個原子,三維晶格振動的動力學(xué)方程組,30,學(xué)習(xí)交流PPT,第k個原子運動方程, 原子在三個方向上的位移分量, 一個原胞中有3n個類似的方程,方程右邊是原子位移的線性齊次函數(shù)，其方程的解,將方程解代回3n個運動

7、方程,31,學(xué)習(xí)交流PPT, 3n個線性齊次方程, 系數(shù)行列式為零條件，得到3n個,長波極限,存在3個解, 趨于一致, 三個頻率對應(yīng)的格波描述不同原胞之間的相對運動 3支聲學(xué)波,32,學(xué)習(xí)交流PPT, 3n3支長波極限的格波描述一個原胞中各原子間的相對運動 3n3支光學(xué)波,即： 1.晶體中的格波的支數(shù)原胞內(nèi)的自由度數(shù)。 2.若晶體中一個原胞中有n個原子組成，則有3n支格波，其中3支聲學(xué)波、3n3支光學(xué)波。 3.若晶體為二維結(jié)構(gòu)，則有2n支格波，相應(yīng)的有2支是聲學(xué)波，2n-2支光學(xué)波。 4.若晶體為一維結(jié)構(gòu)，則有n支格波，相應(yīng)的有1支聲學(xué)波，n-1支光學(xué)波。,金剛石有幾支聲學(xué)波，幾支光學(xué)波？,3

8、3,學(xué)習(xí)交流PPT,q取值與倒格子空間,波矢, 波矢空間的3個基矢, 倒格子基矢, 3個系數(shù),34,學(xué)習(xí)交流PPT,采用波恩卡曼邊界條件,35,學(xué)習(xí)交流PPT,波矢,波矢空間一個點占據(jù)的體積, 倒格子原胞體積,狀態(tài)密度,36,學(xué)習(xí)交流PPT,波矢的取值_ h1 h2 h3, 原子振動波函數(shù),波矢改變一個倒格矢, 不同原胞之間位相聯(lián)系, 原子振動狀態(tài)一樣,從原子振動考查，q的作用只在于確定不同原胞之間振動位相的聯(lián)系,37,學(xué)習(xí)交流PPT,為了得到所有不同的格波，也只需考慮一定范圍的q值 q的取值限制在一個倒格子原胞中, 第一布里淵區(qū), 個取值,38,學(xué)習(xí)交流PPT,由于邊界條件允許的q的分布密度

9、為,因此不同q的總數(shù)為,倒格子原胞的體積,39,學(xué)習(xí)交流PPT,對應(yīng)于一個波矢q 3支聲學(xué)波和3n3支光學(xué)波,總的格波數(shù)目,結(jié)論： 1. 在簡約布里淵區(qū)范圍內(nèi)，晶格中振動波矢q數(shù)晶格的原胞數(shù)，即存在N個波矢。 2.晶格振動的模式數(shù)（振動狀態(tài)數(shù)）晶體的總自由度數(shù)3nN,正好等于晶體Nn個原子的自由度上述的格波已概括了晶體的全部振動模,40,學(xué)習(xí)交流PPT,例1：若晶體A為簡單立方結(jié)構(gòu)，B為閃鋅礦結(jié)構(gòu)，它們立方單胞的邊長均為4埃，晶體均為4*4*4cm3，試求：a)原胞體積；b)布里淵區(qū)體積；c)每個原胞中原子數(shù)；d)晶格中原子數(shù)；e)格波總數(shù)；f)光學(xué)波支數(shù)；g)聲學(xué)波支數(shù)；h)q空間代表點密度

10、；i)格波波矢取分立值的個數(shù)。,41,學(xué)習(xí)交流PPT,布里淵區(qū)Brillouin Zone,簡約布里淵區(qū)/第一布里淵區(qū)：由原點出發(fā)的各倒格子矢量的垂直平分面，由這些平面所圍成的最小體積。 其體積倒格子原胞體積 環(huán)繞原點對稱；是單連通區(qū)域 第一布里淵區(qū)界面與次遠(yuǎn)垂直平分面所圍成的區(qū)域為第二布里淵區(qū)；第一、第二布里淵區(qū)與再次遠(yuǎn)垂直平分面所圍成的區(qū)域為第三布里淵區(qū)。 各布里淵區(qū)關(guān)于原點對稱。 除第一布里淵區(qū)外，其它區(qū)并不是但連通區(qū)域。 任一布里淵區(qū)的面積（二維）/體積（三維）之和倒易空間中原胞的體積。 布里淵區(qū)的形狀取決于晶體的布拉伐格子。 第一布里淵區(qū)實際是倒易點陣的維格納賽茨原胞。,42,學(xué)習(xí)交

11、流PPT,二維布里淵區(qū) 正方格子的布里淵區(qū),正方格子的基矢,倒格子原胞基矢,43,學(xué)習(xí)交流PPT,維格納賽茨原胞Wigner-Seitz 簡化版作法,為了確定WS原胞，實際上往往只需作出由原點到最近鄰及次近鄰的連接直線，再檢查它們的垂直平分面在原點附近所圍成的凸多面體的體積是否與原胞體積相等而決定是否需要作更多的連接直線。 最近鄰、次近鄰是否圍成閉合多面體 檢查圍成的多面體體積？=原胞體積 點陣的格點處于原胞的中心 WS原胞只含一個格點，其體積=原胞體積,44,學(xué)習(xí)交流PPT, 第一布里淵區(qū),倒格子空間離原點最近的四個倒格點,垂直平分線方程, 第一布里淵區(qū),大小,45,學(xué)習(xí)交流PPT, 第二布

12、里淵區(qū)：第一布里淵區(qū)界面與次遠(yuǎn)垂直平分面所圍成的區(qū)域,由4個倒格點, 第二布里淵區(qū)大小,的垂直平分線和第一布里淵區(qū)邊界所圍成,46,學(xué)習(xí)交流PPT,由4個倒格點, 第三布里淵區(qū)：第一、第二布里淵區(qū)邊界與再次遠(yuǎn)垂直平分面所圍成的區(qū)域,第三布里淵區(qū)大小,的垂直平分線和第二布里淵區(qū)邊界邊界所圍成,47,學(xué)習(xí)交流PPT,第一、第二和第三布里淵區(qū),48,學(xué)習(xí)交流PPT, 正方格子其它布里淵區(qū)的形成,49,學(xué)習(xí)交流PPT, 正方格子其它布里淵區(qū)的形狀, 每個布里淵區(qū)經(jīng)過適當(dāng)?shù)钠揭浦蠛偷谝徊祭餃Y區(qū)重合,50,學(xué)習(xí)交流PPT, 二維六角格子其它布里淵區(qū)的形成,51,學(xué)習(xí)交流PPT, 二維六角格子其它布里淵區(qū)

13、的形狀, 每個布里淵區(qū)經(jīng)過適當(dāng)?shù)钠揭浦蠛偷谝徊祭餃Y區(qū)重合,52,學(xué)習(xí)交流PPT, 二維斜格子的第一布里淵區(qū),53,學(xué)習(xí)交流PPT, 三維簡單立方結(jié)構(gòu)晶格點陣的簡約布里淵區(qū) 倒格子為簡單立方 原點和六個近鄰格點連線的垂直平分面，簡單立方,三維體心立方結(jié)構(gòu)晶格點陣的簡約布里淵區(qū) 倒格子為面心立方 原點和十二個近鄰格點連線的垂直平分面，正十二面體,三維面心立方結(jié)構(gòu)晶格點陣的簡約布里淵區(qū) 倒格子為體心立方 截角八面體,54,學(xué)習(xí)交流PPT,例2：,55,學(xué)習(xí)交流PPT,金剛石的色散關(guān)系。沿100與111的兩支橫波發(fā)生簡并,56,學(xué)習(xí)交流PPT,Si的聲子色散關(guān)系。圓與三角點為測量值，實線為計算值。人

14、們常用約化波矢q(2/a)。 沿100及111方向，兩支橫波發(fā)生簡并；在點處，縱向光學(xué)支與橫向光學(xué)支發(fā)生簡并 b) 兩相鄰的布里淵區(qū)。,57,學(xué)習(xí)交流PPT,3 .8 晶格熱容的量子理論,晶格熱容-定義，經(jīng)典理論，實驗相關(guān) 晶格熱容的量子理論 總能量和總熱容 能譜分布函數(shù) 愛因斯坦模型 徳拜模型,58,學(xué)習(xí)交流PPT,熱容 heat capacity,熱容：一個系統(tǒng)在某一過程中溫度升高1k所吸收的熱量。以Q表示系統(tǒng)在某一過程中溫度升高T所吸收的熱量，則系統(tǒng)在該過程的熱容量C為：,在等容過程中，系統(tǒng)的體積不變，外界對系統(tǒng)不作功，W=0.,59,學(xué)習(xí)交流PPT,晶格振動對熱容的貢獻 經(jīng)典理論,玻耳

15、茲曼分布導(dǎo)出能量均分定理：對于處在溫度為T的平衡狀態(tài)的經(jīng)典系統(tǒng)，粒子能量中的每個平方項的平均值 固體中的原子在其平衡位置附近作微小振動，假設(shè)各原子的振動是相互獨立的簡諧振動。原子在一個自由度上的能量為： 有兩個平方項。由于每個原子有3個自由度，根據(jù)能量均分定理，在溫度為T時，一個原子的平均能量為 N個原子總的內(nèi)能為 E=3NkBT，熱容Cv=3NkB=3R是一個與溫度和材料性質(zhì)無關(guān)的常數(shù), 杜隆 珀替定律,60,學(xué)習(xí)交流PPT,實驗相關(guān)：,固體的定容熱容, 固體的平均內(nèi)能, 固體內(nèi)能包括晶格振動的能量和電子熱運動的能量,實驗結(jié)果：低溫下，金屬的熱容, 溫度不是太低的情況，忽略電子對比熱的貢獻,

16、 電子對比熱的貢獻, 晶格振動對比熱的貢獻, 在高溫下，這條定律與實驗符合的很好。 實驗表明在低溫時，熱容量隨溫度迅速趨于零 !,61,學(xué)習(xí)交流PPT,實驗結(jié)論：, 固體內(nèi)能包括晶格振動的能量和電子熱運動的能量, 在高溫下，熱容=3R，與理論結(jié)果一致。 在低溫下，熱容量隨溫度迅速趨于零 !,為了解決這一矛盾，愛因斯坦發(fā)展了普朗克的量子假說，第一次提出了量子的熱容量理論，這項成就在量子理論發(fā)展中占有重要地位,62,學(xué)習(xí)交流PPT,低溫下： 絕緣體熱容與溫度的關(guān)系為：CV=bT3 金屬熱容與溫度的關(guān)系為： CV=bT3+T bT3是晶格熱容，在低溫下遵從徳拜T3定律。T 是自由電子熱容。低溫情況下

17、，晶格熱容不占絕對優(yōu)勢，因而不能忽略電子對熱容的貢獻。 高溫下，金屬和絕緣體熱容=3R，可用經(jīng)典熱容理論描述。,63,學(xué)習(xí)交流PPT,晶格熱容的量子理論,根據(jù)量子理論，各個簡諧振動的能量是量子化的，為,把晶體視作一個熱力學(xué)系統(tǒng)，在簡諧近似下各簡正坐標(biāo),所代表的振動是相互獨立的，因而可以認(rèn)為這些振子構(gòu)成近獨立的子系，可直接寫出它們的統(tǒng)計平均能量,64,學(xué)習(xí)交流PPT,晶格熱容的量子理論,一個頻率為j的振動模對熱容的貢獻,頻率為j的振動模由一系列量子能級為 組成, 子體系,子體系處于量子態(tài) 的概率,頻率j格波的平均聲子數(shù),65,學(xué)習(xí)交流PPT,一個振動模的平均能量, 與晶格振動頻率和溫度有關(guān)系,一

18、個振動模對熱容貢獻,振動模的平均能量,66,學(xué)習(xí)交流PPT,1. 高溫極限, 與杜隆 珀替定律相符,一個振動模對熱容貢獻, 忽略不計,Remarks:當(dāng)振子能量遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于能量的量子時，量子化的效應(yīng)可能忽略,67,學(xué)習(xí)交流PPT,2. 低溫極限, 與實驗結(jié)果相符,一個振動模對熱容貢獻,Remarks:此時，振動被“凍結(jié)”在基態(tài)，很難被熱激發(fā)，因而對熱容的貢獻趨于零,68,學(xué)習(xí)交流PPT,B. 晶體中有3N個振動模，總的能量,晶體總的熱容,69,學(xué)習(xí)交流PPT,愛因斯坦模型,N個原子構(gòu)成的晶體，假設(shè)所有的原子以相同的頻率0振動,一個振動模式的平均能量,晶體熱容,總能量,70,學(xué)習(xí)交流PPT,愛因斯坦

19、溫度, 選取合適的E值，在較大溫度變化的范圍內(nèi)，理論計算的結(jié)果和實驗結(jié)果相當(dāng)好地符合, 大多數(shù)固體, 愛因斯坦熱容函數(shù),71,學(xué)習(xí)交流PPT,金剛石,理論計算和實驗結(jié)果比較,72,學(xué)習(xí)交流PPT,1. 溫度較高時, 與杜隆 珀替定律相符,晶體熱容,73,學(xué)習(xí)交流PPT,2. 溫度非常低時, 按溫度的指數(shù)形式降低,實驗測得結(jié)果, 愛因斯坦模型忽略了各格波的頻率差別,晶體熱容,74,學(xué)習(xí)交流PPT,德拜模型 Debye model,1912年德拜提出以連續(xù)介質(zhì)的彈性波來代表格波，將布拉伐晶格看作是各向同性的連續(xù)介質(zhì), 有1個縱波和2個獨立的橫波, 不同q的縱波和橫波，構(gòu)成了晶格的全部振動模, 不同

20、的振動模，能量不同,色散關(guān)系,考慮了頻率分布,75,學(xué)習(xí)交流PPT,三維晶格，態(tài)密度 V: 晶體體積, 受邊界條件限制波矢q分立取值，允許的取值在q空間形成了均勻分布的點子,體積元,態(tài)的數(shù)目, q是近連續(xù)變化的,振動數(shù)目,76,學(xué)習(xí)交流PPT,頻率在 之間振動模式的數(shù)目,各向同性的介質(zhì), 頻率也近似于連續(xù)取值, 振動頻率分布函數(shù)，或者振動模的態(tài)密度函數(shù),一個振動模的熱容,晶體總的熱容, 振動頻率分布函數(shù) 和m的計算,77,學(xué)習(xí)交流PPT,頻率在 之間，縱波數(shù)目,頻率在 之間，格波數(shù)目,頻率在 之間，橫波數(shù)目,波矢的數(shù)值在 之間的振動方式的數(shù)目,78,學(xué)習(xí)交流PPT,頻率分布函數(shù),格波總的數(shù)目,

21、頻率在 間，格波數(shù)目,晶體總的熱容,79,學(xué)習(xí)交流PPT,德拜溫度,晶體總的熱容,令,德拜熱容函數(shù),80,學(xué)習(xí)交流PPT,在高溫極限下,晶體總的熱容, 與杜隆珀替定律一致,德拜熱容函數(shù),81,學(xué)習(xí)交流PPT,低溫極限, T3成正比, 德拜定律, 溫度愈低時，德拜模型近似計算結(jié)果愈好 溫度很低時，主要的只有長波格波的激發(fā),晶體熱容,晶體熱容,82,學(xué)習(xí)交流PPT,83,學(xué)習(xí)交流PPT,晶體中同時可以存在不同頻率的簡諧振動 不同頻率的振動模對應(yīng)不同的能量,給定晶體，總的振動模數(shù)目是一定的 按振動頻率分布 g() 用晶格振動模式密度來描述,3 .振動模式密度函數(shù),84,學(xué)習(xí)交流PPT, 從振動模式密

22、度，研究晶格熱容、晶體電學(xué)、光學(xué)性質(zhì),晶格振動模式密度 單位頻率間隔，振動模式的數(shù)目,在q空間，晶格振動模是均勻分布的，狀態(tài)密度,兩個等頻率面 和,之間的振動模式數(shù)目,根據(jù),做出一個等頻率面,85,學(xué)習(xí)交流PPT,頻率是q的連續(xù)函數(shù),86,學(xué)習(xí)交流PPT,振動模式密度函數(shù),87,學(xué)習(xí)交流PPT,簡單幾種情況下振動模式密度的表示,例1 一維單原子鏈 ,色散關(guān)系, 最大頻率,振動模式密度,一維情況下,88,學(xué)習(xí)交流PPT,考慮到一個頻率可以有 兩個值,振動模式密度,89,學(xué)習(xí)交流PPT,也可以直接由q空間的狀態(tài)密度來計算,狀態(tài)密度,振動模式密度,90,學(xué)習(xí)交流PPT,例2 德拜近似下的振動模式密度,振動頻率與波矢成正比,91,學(xué)習(xí)交流PPT,例3 色散關(guān)系,q空間的等頻率面是一個球面，球面面積,振動模式密度, 1）三維情形,92,學(xué)習(xí)交流PPT,2）二維情況，等頻率是一個圓,3）一維情況,振動模式密度,93,學(xué)習(xí)交流PPT,如果色散關(guān)系,三維情況振動模式密度 二維情況振動模式密度 一維情況振動模式密度,在 的一些點,奇點, 范霍夫奇點，是晶體中一些高對稱點（布里淵區(qū)邊界） 這些臨界點與晶體的對稱性密切相聯(lián),94,學(xué)習(xí)交流PPT,習(xí)題,3.