1、1,第三章 線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析,3.1 引言 3.2 連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析 3.3 連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 3.4 連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)矩陣 3.5 連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析 3.6 連續(xù)時(shí)間線性系統(tǒng)的時(shí)間離散化 3.7 離散時(shí)間線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析 3.8 小結(jié)和評述,2,概述,分析系統(tǒng)的目的是揭示系統(tǒng)狀態(tài)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律和基本特性，分為定量分析和定性分析 本章以線性系統(tǒng)為對象，討論系統(tǒng)的定量分析問題，指出它的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，闡明它的運(yùn)動(dòng)性質(zhì)，介紹它的分析方法,3,3.1 引言,運(yùn)動(dòng)分析的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì) 分析系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的目的，是從其數(shù)學(xué)模型(狀態(tài)空間描述等)出發(fā)，定量地

2、和精確地定出系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的變化規(guī)律，以便為系統(tǒng)的實(shí)際運(yùn)動(dòng)過程作出估計(jì)。從數(shù)學(xué)上看，即是相對于給定的初始狀態(tài)x0和外輸入作用u，求解出狀態(tài)方程的解x(t)，即由初始狀態(tài)和外輸入作用所引起的響應(yīng)。 運(yùn)動(dòng)的形態(tài)主要由系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)決定，所以我們有可能通過x(t)分析系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)特性，或者通過引入附加的部分改變系統(tǒng)的參數(shù)或結(jié)構(gòu)使系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)形態(tài)在性能上達(dá)到期望的要求。,4,解的存在性和唯一性條件,線性時(shí)變系統(tǒng)，如果A(t)和B(t)的所有元在時(shí)間定 義區(qū)間t0, ta上均為t的實(shí)值連續(xù)函數(shù)，而輸入u(t)的元在t0, ta上是連續(xù)實(shí)函數(shù)，則其狀態(tài)方程解x(t)存在且唯一。數(shù)學(xué)上常將上述條件減弱為 A(t)的各

3、元aij(t)在t0, ta上是絕對可積的，即 B(t)的各元bik(t)在t0, ta上是平方可積的，即 u(t)的各元uk(t)在t0, ta上是平方可積的，即,5,由許瓦爾茲(Schwarz)不等式,上述條件 和 即等價(jià)于B(t)u(t)的元在t0, ta上絕對可積。 對線性時(shí)不變系統(tǒng)，系數(shù)矩陣A和B均為常陣，因此只要其元的值為有限值，那么上述條件 和 總是能滿足的。 下面的討論，總是假定系統(tǒng)滿足上述存在唯一性條件。,6,零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng),系統(tǒng)運(yùn)動(dòng),自由運(yùn)動(dòng),強(qiáng)迫運(yùn)動(dòng),零輸入響應(yīng) x0u(t),零初態(tài)響應(yīng) x0 x(t),系統(tǒng)響應(yīng) x(t) = x0u(t) + x0 x(t),7

4、,定義:零輸入響應(yīng)和零初態(tài)響應(yīng),定義3.1 零輸入響應(yīng) 線性系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)x0u(t)定義為只有初始狀態(tài)作用即 而無輸入作用即 時(shí)系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)。,定義3.2 零初態(tài)響應(yīng) 線性系統(tǒng)的零初態(tài)響應(yīng)x0 x(t)定義為只有輸入作用即 而無初始狀態(tài)作用即x00 時(shí)系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)。,返回,8,3.2 連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析,系統(tǒng)的零輸入響應(yīng),方程,矩陣指數(shù)函數(shù),連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)的零輸入響應(yīng),證明：設(shè)方程的解為冪級數(shù),9,可導(dǎo)出,比較等式兩邊的系數(shù)向量,解的表達(dá)式可進(jìn)一步表示為,令上式中t=0，并滿足初始條件x(0)=x0，得到 b0 = x0 代入解的表達(dá)式，結(jié)論3.1得證。,10,對

5、結(jié)論3.1的討論,幾何表征：系統(tǒng)自由運(yùn)動(dòng)是從初始狀態(tài)x0出發(fā)的,由x0的各時(shí)刻的變換點(diǎn)所組成的一條軌線； eAt包含自由運(yùn)動(dòng)性質(zhì)的全部信息，唯一決定自由運(yùn)動(dòng)軌線的形態(tài)，也即零輸入響應(yīng)的形態(tài)； 線性時(shí)不變系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充分必要條件是 進(jìn)一步，當(dāng)且僅當(dāng)矩陣A的特征值均具有負(fù)實(shí)部，也即均位于左半開復(fù)平面時(shí)，上式成立；,eAt的計(jì)算方法，見下文 若t0 0，則,11,矩陣指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),基本性質(zhì),12,結(jié)論3.2 定義法,結(jié)論3.3 特征值法，A的特征值兩兩互異時(shí)，可做變換,A包含重特征值時(shí)，可做變換化為約當(dāng)規(guī)范性，原理同上，可求出相應(yīng)eAt，但形式復(fù)雜。,矩陣指數(shù)函數(shù)的算法,13,結(jié)論3.4 eAt

6、 算法 設(shè)n = 5，特征值l1(代數(shù)重?cái)?shù)s1 = 3，幾何重?cái)?shù)a1 = 1)，l2(s2 = 2，a2 = 1)，廣義特征向量構(gòu)成的變換矩陣為Q，則基于約當(dāng)規(guī)范形，A可化為,14,有限項(xiàng)展開法,結(jié)論3.5 eAt 算法令 則對A的特征值兩兩互異的情況，有,證明上式可利用凱萊-哈密頓(Cayley-Hamilton)定理，即A必滿足其本身的零化特征多項(xiàng)式，即成立 進(jìn)而， An, An+1, 可表示為An-1, ,A,I的線性組合，再利用eAt的定義式和結(jié)論3.3，可證明上式 A有重特征值時(shí)，可類似得出相應(yīng)公式。,結(jié)論3.6 eAt 算法,例,15,系統(tǒng)的零初態(tài)響應(yīng),方程,連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)

7、的零狀態(tài)響應(yīng) 若 ，則零狀態(tài)響應(yīng)的一般表達(dá)式,例,16,例3.2 給定一個(gè)連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng),其中，初始狀態(tài)x1(0)=x2(0)=0, 輸入u(t)=1(t)即為單位階躍函數(shù)。,例3.1 中已經(jīng)導(dǎo)出，矩陣A的矩陣指數(shù)函數(shù)為：,基此，并利用基本關(guān)系式(2.50)，即可定出系統(tǒng)零初狀態(tài)響應(yīng)為：,17,18,下面，對零初態(tài)響應(yīng)的特征和屬性作如下幾點(diǎn)討論,可以看出，積分式中矩陣指數(shù)函數(shù)影響和輸入作用函數(shù)影響在時(shí)序上是對偶的。對考察時(shí)刻t，輸入作用函數(shù)的影響是從 考慮到 ，矩陣指數(shù)函數(shù)的影響則從 考慮到 。數(shù)學(xué)上，稱這種類型的積分為“卷積”。卷積具有對稱性，即可將上述x0 x(t)關(guān)系式化為如下等

8、價(jià)形式：,(3.55),19,為證明這一點(diǎn)，在式(3.54)中引入新時(shí)間變量 ，并可根據(jù)此導(dǎo)出：,基此，就可由(3.54)得到,(3.56),再將上式作符號替換，令 ，即證得式(3.55)。,20,(2)零初態(tài)響應(yīng)的幾何特征,對零初態(tài)響應(yīng)x0 x(t)關(guān)系式(3.50)，可進(jìn)而表示為,可以看出，xu(t)代表時(shí)刻t 輸入作用等價(jià)狀態(tài)，x0 x(t)是輸入作用等價(jià)狀態(tài)xu(t)以eAt為變換陣導(dǎo)出的變換點(diǎn)， eAt為矩陣指數(shù)函數(shù)。這就表面，零初態(tài)響應(yīng)x0 x(t)幾何上代表狀態(tài)空間中由各個(gè)時(shí)刻t 輸入作用等價(jià)狀態(tài)的變換點(diǎn)構(gòu)成的一條軌跡。,21,(3)零初態(tài)響應(yīng)的運(yùn)動(dòng)屬性,零初態(tài)響應(yīng)x0 x(t)

9、隨時(shí)間t演化的軌跡在屬性上屬于輸入驅(qū)動(dòng)下的強(qiáng)迫運(yùn)動(dòng)。輸入是導(dǎo)致零初態(tài)響應(yīng)的惟一激勵(lì)作用。由x0 x(t)的運(yùn)動(dòng)屬性決定， x0 x(t)的形態(tài)在穩(wěn)態(tài)過程中同于輸入函數(shù)結(jié)構(gòu)，在過渡過程中則同時(shí)依賴于系統(tǒng)特性和輸入作用。,22,(4) 零初態(tài)響應(yīng)對任意狀態(tài)點(diǎn)的可達(dá)屬性,對零初態(tài)響應(yīng)x0 x(t)，如果對任意指定的狀態(tài)空間的狀態(tài)點(diǎn) ，都存在一個(gè)輸入u和一個(gè)有限時(shí)間 ，使成立 ，那么就稱x0 x(t)具有能達(dá)性。由x0 x(t)關(guān)系式(3.50)可知，可達(dá)屬性同時(shí)取決于系數(shù)矩陣A, B。能達(dá)性及相關(guān)的能控性是線性系統(tǒng)的一個(gè)重要概念，對其一般意義下的討論將在第4章給出。,23,(5) 零初態(tài)響應(yīng)相對于任

10、意初始時(shí)刻的表達(dá)式,若更為一般地取初始時(shí)刻 ，則零初態(tài)響應(yīng)x0 x(t)地關(guān)系式對應(yīng)地具有形式：,(3.57),24,系統(tǒng)狀態(tài)運(yùn)動(dòng)規(guī)律的基本表達(dá)式,方程,連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)在初始狀態(tài)和外輸入 同時(shí)作用下的狀態(tài)運(yùn)動(dòng)的表達(dá)式 更一般的表達(dá)式為,25,3.3 連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣,狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣和基本解陣,對于給定的線性時(shí)不變系統(tǒng) 其中x為n維狀態(tài)向量，稱滿足如下矩陣方程 的nn解陣F(t-t0)為系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。,26,由于系統(tǒng)有n維，所以自由方程 有且僅有 n個(gè)線性無關(guān)的解，以它們?yōu)榱袠?gòu)成nn矩陣函 數(shù)Y(t)，稱Y(t)為 的一個(gè)基本解陣，其 必滿足如下矩陣方程 其中H為

11、非奇異實(shí)常值矩陣。,狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣(唯一)和基本解陣(不唯一)的關(guān)系,線性時(shí)不變系統(tǒng),27,基于狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的系統(tǒng)響應(yīng)表達(dá)式,和,幾何意義：如圖 以二維狀態(tài)向量為例,28,狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì),不變性 逆轉(zhuǎn)性 組合性1 組合性2 倍時(shí)性 求導(dǎo) 逆求導(dǎo),返回,29,3.4 連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)矩陣,脈沖響應(yīng)矩陣,單位脈沖函數(shù)：函數(shù)d(t-t)滿足以下條件時(shí) 稱d(t-t)為t處發(fā)生的Dalta函數(shù)，或脈沖函數(shù)，由 于積分時(shí)面積為1，所以又稱單位脈沖函數(shù)。,脈沖響應(yīng)零初始狀態(tài)下以單位脈沖為輸入的系統(tǒng)輸出響應(yīng),單輸入單輸出系統(tǒng)，初始狀態(tài)為零，輸入u，則輸出為,30,脈沖響應(yīng)矩陣：p維輸入q維

12、輸出系統(tǒng)，零初始狀 態(tài)，在t時(shí)刻加于第j個(gè)輸入端一單位脈沖函數(shù)d(t-t)， 其它輸入端輸入為零，用hij(t-t) (i=1,2,q; j=1, 2,p)表示第i個(gè)輸出端在t時(shí)刻的脈沖響應(yīng)。則 稱為系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)矩陣。,因?yàn)橄到y(tǒng)滿足因果律，所以H(t-t)具有性質(zhì),31,系統(tǒng)的任意輸入可由脈沖函數(shù)表示為,則系統(tǒng)輸出可表示為,如果t0=0，則,自變量置換，可得到卷積或折積公式,32,脈沖響應(yīng)矩陣和狀態(tài)空間描述,線性時(shí)不變系統(tǒng) 結(jié)論3.25 脈沖響應(yīng)矩陣為 更為常用的形式可寫為,結(jié)論3.26 脈沖響應(yīng)矩陣還可表為如下形式 和,33,結(jié)論3.27 兩個(gè)代數(shù)等價(jià)的連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)具有相同的脈沖

13、響應(yīng)矩陣。 證明：系統(tǒng)1,系統(tǒng)2,二者代數(shù)等價(jià),結(jié)論3.28 兩個(gè)代數(shù)等價(jià)的連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)的輸出的零狀態(tài)響應(yīng)和零輸入響應(yīng)相同。 證明：原理同上,34,脈沖響應(yīng)矩陣和傳遞函數(shù)矩陣,結(jié)論3.29 二者關(guān)系如下,結(jié)論3.30 兩個(gè)系統(tǒng)(A,B,C,D)和 ，二者具有相同的輸出和輸入維數(shù)，但它們的狀態(tài)維數(shù)不一定相同，則此兩系統(tǒng)具有相同脈沖響應(yīng)矩陣(即相同傳遞函數(shù)矩陣)的充分必要條件是,證明：略,返回,35,3.5 連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析,狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣,對于連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng) 其中x為n維狀態(tài)向量，稱滿足如下矩陣方程 的nn解陣F(t，t0)為系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。,與線性時(shí)不變系統(tǒng)類似

14、，線性時(shí)變系統(tǒng)存在基本解陣 由自治方程的任意n個(gè)線性無關(guān)解為列構(gòu)成,36,線性時(shí)變系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì),不變性 逆轉(zhuǎn)性 組合性 F(t,t0)由A(t)唯一地確定，但基本解陣Y(t)不唯一 逆求導(dǎo) A(t)給定后，F(xiàn)(t,t0)的表達(dá)式為：,37,系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng),結(jié)論3.37 連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)由初始狀態(tài)和輸入作用同時(shí)引起的狀態(tài)運(yùn)動(dòng)規(guī)律表達(dá)式,實(shí)際中F(, )很難求得，所以上述結(jié)論的意義在于系統(tǒng)理論研究應(yīng)用 線性時(shí)變系統(tǒng)與線性時(shí)不變系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律表達(dá)相類似，區(qū)別在于時(shí)變系統(tǒng)F(t,t0)依賴于初始時(shí)刻t0，而時(shí)不變系統(tǒng)F(t-t0)只依賴于時(shí)間差t-t0 ，而與初始時(shí)刻t0無直接關(guān)系。,討

15、論 x(t)可分解為 零輸入響應(yīng) 零狀態(tài)響應(yīng),38,脈沖響應(yīng)矩陣,結(jié)論3.38 脈沖響應(yīng)矩陣為,A(t)為周期陣的線性時(shí)變系統(tǒng)的狀態(tài)運(yùn)動(dòng)分析,其中，A(t)滿足,該系統(tǒng)的屬性 若Y(t)是系統(tǒng)的一個(gè)基本解陣，則Y(t+T)也必是它的一個(gè)基本解陣；,存在一個(gè)常值矩陣 ，使成立,39,A()為周期變化的線性時(shí)變系統(tǒng)和變換后的系統(tǒng)是李亞普諾夫意義下等價(jià)的，即線性時(shí)變系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的充分必要條件是 的特征值均具有負(fù)實(shí)部。,返回,40,3.6 連續(xù)時(shí)間線性系統(tǒng)的時(shí)間離散化,問題的提出,線性連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)間離散化問題的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)，就是在一定的采樣方式和保持方式下，由系統(tǒng)的連續(xù)時(shí)間狀態(tài)空間描述導(dǎo)出對應(yīng)的離散時(shí)間

16、狀態(tài)空間描述，并建立兩者系數(shù)矩陣間的關(guān)系式。,41,基本約定,采樣周期為T，采樣時(shí)間寬度為，滿足 T，則存在關(guān)系式,采樣周期T的值需滿足申農(nóng)(shannon)采樣定理。,申農(nóng)(shannon)采樣定理：設(shè)wc為信號的上限頻率， ws為采樣頻率，則離散信號yi(k)可以完滿地復(fù)原 為原來連續(xù)信號yi(t)的條件為 ws 2wc 或 T p /wc,零階保持器,42,基本結(jié)論,結(jié)論3.43 給定連續(xù)時(shí)變系統(tǒng) 則其在基本假設(shè)下的時(shí)間離散化模型為 兩者的系數(shù)矩陣間存在如下關(guān)系式,43,結(jié)論3.44 給定連續(xù)時(shí)不變系統(tǒng) 則其在基本假設(shè)下的時(shí)間離散化模型為 兩者的系數(shù)矩陣間存在如下關(guān)系式,例,返回,44,

17、3.7 離散時(shí)間線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析,線性離散系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析歸結(jié)為對時(shí)變的差分方程 或時(shí)不變線性差分方程 進(jìn)行求解。,45,迭代法求解狀態(tài)響應(yīng),給定系統(tǒng)初始狀態(tài)x(0)=x0，以及各采樣瞬時(shí)輸入u(0)， u(1)， ，則狀態(tài)計(jì)算步驟如下 令k = 0，由已知x(0)和u(0)，求得 x(1) = G(0) x(0)+H(0) u(0) 令k = 1，由已知x(1)和u(1)，求得 x(2) = G(1) x(1)+H(1) u(1) 令k = l-1，l為給定問題的時(shí)間區(qū)間的末時(shí)刻，由已知x(l-1)和u(l-1)，求得 x(l) = G(l-1) x(l-1)+H(l-1) u(l-1) 優(yōu)

18、點(diǎn)：宜于計(jì)算機(jī)計(jì)算 缺點(diǎn)：后一步計(jì)算依賴前一步計(jì)算結(jié)果，易造成誤差積累,46,狀態(tài)響應(yīng)的解析關(guān)系式,系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，即滿足矩陣方程 F(k+1,m) = G(k) F(k,m)， F(m,m) = I 的解陣F(k,m) 。,結(jié)論3.48 線性時(shí)變離散系統(tǒng)F(k,m)表達(dá)式是 F(k,m) = G(k-1) G(k-2) G(m) 線性時(shí)不變離散系統(tǒng)F(k-m)表達(dá)式是 F(k-m) = Gk-m 其中，,47,結(jié)論3.49 線性離散系統(tǒng) 時(shí)變，F(xiàn)(k,m)非奇異 G(i)非奇異，i=m, m+1,k-1 時(shí)不變， F(k)非奇異 G非奇異 結(jié)論3.50 連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)間離散化系統(tǒng)，其狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣必是非奇異的。,結(jié)論3.51 線性時(shí)變離散系統(tǒng)，其狀態(tài)運(yùn)動(dòng)為 或,48,結(jié)論3.52 線性時(shí)不變離散系統(tǒng)，狀態(tài)運(yùn)動(dòng)為,結(jié)論3.53 線性離散系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)可分解為零輸入和零狀態(tài)響應(yīng)，即 x(k) = x0u(k) + x0 x(k) 結(jié)論3.54 線性離散系統(tǒng)零輸入響應(yīng) 時(shí)變， x0u(k) = F(k，0)x0 時(shí)不變 x0u(k) = F(k)x0,49,結(jié)論3.55 線性離散系統(tǒng)零初態(tài)響應(yīng) 時(shí)變， 時(shí)不變,結(jié)論3.56 線性時(shí)