1、2020/7/31，劉亞娟，經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院金融與投資系，1，第6章，高階差分方程，2020/7/31，劉亞娟，經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院金融與投資系，2，在離散時(shí)間分析中，這可能發(fā)生：T期的經(jīng)濟(jì)變量，如yt，不僅取決于yt-1，還取決于yt-2。這導(dǎo)致了二階差分方程。嚴(yán)格地說，二階差分方程是包含表達(dá)式2yt的方程，但是不高于二階差分。2yt被讀取為yt的二階差。符號(hào)2是離散時(shí)間中符號(hào)d2ydt2的對(duì)應(yīng)物，這意味著“取二階差”如下：2yt=(yt)=(YT 1-YT)=(YT 2-YT 1)-(YT 1-YT)=(YT 2-2YT 1YT，2020/7/31因?yàn)橄?yt和YT這樣的表達(dá)式很難寫，所以我們將二

2、階差分方程重新定義為包含變量的兩個(gè)時(shí)間延遲周期的方程。類似地，三階差分方程是具有三級(jí)延遲的方程；等等。我們首先關(guān)注二階差分方程的解，然后在后面的章節(jié)中把它推廣到高階差分方程。為了控制討論的范圍，在本章中，我們只討論常系數(shù)線性差分方程。然而，常數(shù)項(xiàng)和變量項(xiàng)都被研究。2020/7/31，劉亞娟，經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院金融與投資系，4。常系數(shù)常項(xiàng)二階線性差分方程。一個(gè)簡單的二階差分方程的形式是yt 2 a1yt 1 a2y=c，它是線性的和非齊次的，具有常數(shù)系數(shù)(a1，a2)和常數(shù)項(xiàng)c。二階差分方程的通解由余函數(shù)和特殊積分組成：ytyc yp。2020/7/31，劉亞娟，經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院金融與投資系，5。特別積分

3、為、2020/7/31，劉亞娟，經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院金融與投資系，6。為了找到余函數(shù)，我們必須討論簡化方程yt 2 a1yt 1 a2y0。求解一階差分方程的經(jīng)驗(yàn)告訴我們，Abt在這個(gè)方程中。因此，我們首先嘗試ytAbt形式的解決方案，這自然意味著YTABt 1 aBt 1，以此類推。我們的任務(wù)是確定a和b的值。將暫定解代入簡化方程，方程變?yōu)锳bt 2 a1Abt 1 a2Abt0或在消除(非零)公因式Abt后，有b2a1a20，2020/7/31，劉亞娟，7，經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院金融與投資系。該二階差分方程的特征方程與二階微分方程的特征方程相似。它有兩個(gè)特征根：對(duì)于求解Abt中的B，上述每個(gè)根都是可以接受的

4、。事實(shí)上，b1和b2都應(yīng)該出現(xiàn)在齊次差分方程的通解中，就像在微分方程中一樣，這個(gè)通解必須包括兩個(gè)線性獨(dú)立的部分，每個(gè)部分都有自己的任意乘積常數(shù)。與微分方程特征根的三種情況一樣，差分方程的特征根也有三種情況：兩個(gè)不相等的實(shí)根，兩個(gè)相等的實(shí)根和一對(duì)共軛復(fù)根。2020/7/31，劉亞娟，經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院金融與投資系，8，第一種情況(不同的實(shí)根):b1和b2在a124a2時(shí)是不同的實(shí)根。在這種情況下，b1t和b2t是線性獨(dú)立的，余函數(shù)可以簡單地寫成b1t和b2t的線性組合，即yc=A1b1t A2b2t。2020/7/31，劉亞娟，經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院金融與投資系，9，第二種情況(重實(shí)根):當(dāng)a124a2時(shí)，特征

5、根為重根：b(b1b2)-a12。現(xiàn)在，如果余函數(shù)以不同的實(shí)數(shù)根的形式表示，這兩個(gè)部分將合并成一個(gè)項(xiàng)：a1b1ta2bit (a1a2) bta3bt。此公式無效，因?yàn)楝F(xiàn)在缺少一個(gè)常數(shù)。為了彌補(bǔ)缺失的部分(我們記得這部分應(yīng)該與A3bt項(xiàng)線性無關(guān))，還需要用bt乘以變量T的舊方法。通過這種方式，這個(gè)新項(xiàng)目可以采用A4tbt的形式。顯而易見，它與A3bt項(xiàng)沒有線性關(guān)系，因?yàn)槲覀冇肋h(yuǎn)也不能把一個(gè)常數(shù)加到A3bt項(xiàng)上得到一個(gè)4tb。像A3bt一樣，A4tbt可以用作簡化方程的解，這一事實(shí)很容易驗(yàn)證：通過將yt=A4tbt和yt 1=A4(t 1)bt 1代入簡化方程，我們可以看出該方程是一個(gè)恒等式。因

6、此，重實(shí)根情況下的余函數(shù)是YC=A3bta4tbt，2020年7月31日，劉亞娟，經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院金融與投資系，10，例如：求下式(1)的通解；(2)；(3)，2020/7/31，劉亞娟，經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院金融與投資系，11，解：(1)方程的特殊積分為：方程的特征方程為b2-10b 16=0，所以特征根為：因此，方程的通解為y0=10，Y1=0。劉亞娟，經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院金融與投資系，12，設(shè)t=0，t=1:根據(jù)初始條件，設(shè)y0=10，y1=36，然后A1A2 2=102A1 A22=36，用聯(lián)立方程求解A15和A2=3，最后代入通解，得到特解：2020/7/。(2)方程的特殊積分是：方程的特征方程是b2-6

7、b 5=0，所以特征根是：所以，方程的通解是，2020/7/31，劉亞娟，經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院金融與投資系，14，(3)方程的特殊積分是：方程的特征方程是：2020/7/31，劉亞娟，經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院金融與投資系，15，第三種情況(復(fù)數(shù)具體地說，根是hvi的形式，其中，因此，余函數(shù)變成yc=a1 B1 ta2 b2t=a1(h VI)ta2(h-VI)t。上述公式表明，解釋YC不容易。幸運(yùn)的是，由于迪爾莫夫定理，這個(gè)余函數(shù)可以很容易地轉(zhuǎn)換成三角函數(shù)，我們知道如何解釋三角函數(shù)。具體如下。2020/7/31，劉亞娟，經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院金融與投資系，16，如果v=Rsin，h=Rcos，共軛復(fù)數(shù)可轉(zhuǎn)換如下：hviR

8、cosRisinR(cosisin)。此外，歐拉關(guān)系(即ei=cos isin，e-i=cos-isin)可以改寫為hviRei，相應(yīng)地(h vi)n(Rei)n=Rnein，類似地，(h-VI)n(Re-I)n=Ree in，所以(HVI) NR(科斯尼辛)根據(jù)蒂莫弗定理，我們可以寫出(HVI) tr(科斯尼辛)TRT(科斯蒂辛)，2020/7/31，劉亞娟，金融與投資系，學(xué)校滿足條件，2020/7/31，劉亞娟，經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院金融與投資系，18。因此，余函數(shù)可以轉(zhuǎn)換如下：YC=A1RT(成本isint) A2RT(成本isint) RT (A1A2)成本(A1-A2) isint) RT (

9、A5成本A6sint)首先，成本和Sint這兩個(gè)表達(dá)式取代了cosvt和sinvt。其次，產(chǎn)品因素Rt(基于R的指數(shù))取代了自然指數(shù)eht?？傊?，我們已經(jīng)從笛卡兒坐標(biāo)系的復(fù)數(shù)根(H和V)轉(zhuǎn)換到極坐標(biāo)系統(tǒng)(R和V)。一旦h和v已知，r和的值可以相應(yīng)地確定，或者可以直接由參數(shù)a1和a2確定。2020/7/31，劉亞娟，經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院金融與投資系，19，示例：找到y(tǒng)t 2 1/4yt=5的一般解。這里，系數(shù)a10和a21/4是a124a2的復(fù)數(shù)根的例子。根的實(shí)部和虛部分別為h0和v1/2。可以得到，由于該值可以滿足兩個(gè)方程，/2，/2020/7/31，和劉亞娟，20，經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院金融與投資系，因此，余

10、函數(shù)為yp，所以我們嘗試求解完整方程中的常值ypk。這就產(chǎn)生了k4，所以yp4，一般解可以寫成：2020/7/31，劉亞娟，經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院金融與投資系，21，時(shí)間路徑的收斂性與一階差分方程中的相同。時(shí)間路徑y(tǒng)t的收斂性僅取決于當(dāng)T時(shí)yc是否趨近于零。因此，我們?cè)?個(gè)關(guān)于T的區(qū)域分布圖中所知道的關(guān)于bt類型的各種圖仍然可以應(yīng)用，盡管這里我們必須檢驗(yàn)兩個(gè)特征根而不是一個(gè)。2020/7/31，劉亞娟，經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院金融與投資系，22，收斂的時(shí)間路徑，首先，檢查不同的真正根源：b1b2。如果b11，b21，共函數(shù)中的兩個(gè)項(xiàng)A1b1t和A2b2t將被放大，那么yc一定是發(fā)散的。相反，如果b11和b21，當(dāng)t

11、無限增加時(shí)，yc中的兩個(gè)項(xiàng)將收斂到零，yc也將收斂到零。但是如果b11和b21呢？在這種中間情況下，很明顯A2b2t項(xiàng)將“消失”，而另一項(xiàng)將越來越偏離零值。因此，A1b1t最終將控制局面，使路徑發(fā)散。2020/7/31，劉亞娟，經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院金融與投資系，23，我們稱之為絕對(duì)值較大的根為強(qiáng)根。從這個(gè)角度來看，實(shí)際上決定時(shí)間路徑的特征，至少是關(guān)于它的收斂和發(fā)散，是有很強(qiáng)的根源的。因此，我們可以這樣說；不管初始條件如何，當(dāng)且僅當(dāng)強(qiáng)根的絕對(duì)值小于1時(shí)，時(shí)間路徑將收斂。然而，應(yīng)該注意的是，雖然收斂最終只取決于強(qiáng)根，但非強(qiáng)根也會(huì)對(duì)時(shí)間路徑產(chǎn)生一定的影響，至少在初始階段是這樣。因此，yt的精確圖形仍然依賴于

12、兩個(gè)根。2020/7/31，劉亞娟，經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院金融與投資系，24。其次，研究了余數(shù)函數(shù)包含項(xiàng)A3bt和項(xiàng)A4tbt時(shí)的多根情況。我們對(duì)前者很熟悉，但我們?nèi)匀恍枰忉尯笳?它包含一個(gè)產(chǎn)品因素)。如果b1，bt項(xiàng)將被放大，乘積項(xiàng)T將隨著T的增加而進(jìn)一步增強(qiáng)放大。另一方面，如果b1，bt部分(當(dāng)T增加時(shí)，M趨于零)和T部分反方向變化，即T值將抵消而不是增強(qiáng)bt。那么，哪種力量更強(qiáng)大？答案是，bt的衰減功率總是超過t的放大功率。因此，在多根的情況下，收斂的基本要求是根的絕對(duì)值小于1。2020/7/31，劉亞娟，經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院金融與投資系，25，例如，解是：其特征根分別為2和8，瞬時(shí)均衡值為2。因?yàn)閺?qiáng)根

13、的絕對(duì)值大于1，所以時(shí)間路徑分叉。解決辦法是它的特征根是1和5，并且有一個(gè)移動(dòng)平衡3t。因?yàn)閺?qiáng)根的絕對(duì)值大于1，所以時(shí)間路徑也會(huì)發(fā)散。2020/7/31，劉亞娟，經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院金融與投資系，26歲，現(xiàn)在我們將調(diào)查復(fù)數(shù)根的情況。從余函數(shù)ycRt(A5cost A6sint)的一般形式可知，括號(hào)中的表達(dá)式，像連續(xù)時(shí)間狀態(tài)下的表達(dá)式一樣，將產(chǎn)生一個(gè)周期波動(dòng)形式。但是在這里，變量t只取整數(shù)值0，1，2，我們只能捕捉和利用三角函數(shù)圖中的一個(gè)子集。在每個(gè)這樣的點(diǎn)上，y值在一個(gè)完整的周期內(nèi)有效，直到到達(dá)下一個(gè)相關(guān)點(diǎn)。2020/7/31，經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院金融與投資系劉亞娟，2020/7/31，27，經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院金融

14、與投資系劉亞娟，28，如圖17.1所示，生成的路徑既不是通常的振蕩形式(在近期，yp值不上下交替)，也不是通常的波動(dòng)形式。就收斂性而言，雖然決定性因素實(shí)際上是Rt項(xiàng)，但它和連續(xù)時(shí)間狀態(tài)下的eht項(xiàng)一樣，將決定T增加時(shí)階躍波動(dòng)是增強(qiáng)還是減弱。在這種情況下，當(dāng)也只有當(dāng)R1時(shí)，波動(dòng)才能逐漸減小。因?yàn)镽定義為共軛復(fù)數(shù)根的絕對(duì)值，所以收斂條件是特征根的絕對(duì)值小于1。2020/7/31，劉亞娟，經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院金融與投資系，29，總而言之，對(duì)于所有三種情況的特征根，無論初始條件是什么，當(dāng)且僅當(dāng)每個(gè)根的絕對(duì)值小于L時(shí)，時(shí)間路徑將收斂到(穩(wěn)定或移動(dòng)的)瞬時(shí)均衡。示例：yt 2 1/4yt=5和yt 2-4yt 1

15、 16yt=0的時(shí)間路徑是否收斂。這里，yt 2 1/4yt=5的一般解是R1/2，因此時(shí)間路徑將收斂到穩(wěn)定平衡(4)。2020/7/31，劉亞娟，經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院金融與投資系，30，yt 2-4yt 1 16yt=0。一般的解決方法是存在R4，所以時(shí)間路徑不再收斂于平衡(0)。2020/7/31，劉亞娟，經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院金融與投資系，31，家庭作業(yè)，1。寫出下列每個(gè)方程的特征方程，找出特征根：(1)yt2-yt11/2YT=2；(2)yt 2 1/2yt 1-1/2yt=5；(3)yt 2-4yt 1 4yt=7；(4)yt 2-2yt 1 3yt=4 2。對(duì)于上述問題中的每個(gè)差分方程，確定時(shí)間路徑

16、是否包含振蕩或階躍波動(dòng)，以及時(shí)間路徑是否根據(jù)特征根而擴(kuò)大。3.找出等式的特殊積分它們代表靜止平衡還是運(yùn)動(dòng)平衡？2020/7/31，劉亞娟，經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院金融與投資系，32，薩繆爾森乘數(shù)-加速相互作用模型，我們引用薩繆爾森教授的經(jīng)典相互作用模型作為例子來描述二階差分方程在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用。該模型探討了加速原理和基思乘數(shù)共同作用時(shí)收入決策的動(dòng)態(tài)過程。此外，該模型還證明了只有乘數(shù)和加速度之間的相互作用才能產(chǎn)生內(nèi)生的周期性波動(dòng)。2020/7/31，劉亞娟，經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院金融與投資系，33，結(jié)構(gòu)，假設(shè)國民收入Yt由三個(gè)支出流組成：消費(fèi)CT；投資于它；政府支出Gt。Ct被認(rèn)為是以前收入的Yt-1的函數(shù)，而不是

17、當(dāng)前收入的函數(shù)。為簡單起見，假設(shè)Ct與Yt-1嚴(yán)格成比例。作為一個(gè)“原因”變量，投資是消費(fèi)者當(dāng)前消費(fèi)傾向的函數(shù)。當(dāng)然，正是通過這種誘導(dǎo)投資，加速原理才能進(jìn)入模型。具體來說，我們假設(shè)它與消費(fèi)增量Ct-1Ct-Ct-1成固定比例。第三支出流Gt可以被視為一個(gè)外生變量。事實(shí)上，我們將假設(shè)它是一個(gè)常數(shù)，并將其表示為G0。2020/7/31，劉亞娟，經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院金融與投資系，34，這些假設(shè)可以轉(zhuǎn)化為以下等式：代表邊際消費(fèi)傾向和加速度數(shù)(加速度系數(shù)的縮寫)。由于模型中包含了誘導(dǎo)投資，我們得到了一個(gè)描述乘數(shù)和加速度相互作用的二階差分方程。2020/7/31，劉亞娟，經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院金融與投資系，35，利用第二個(gè)方程，我們可以表示如下：將這個(gè)方程和Ct代入第一個(gè)方程并進(jìn)行排序，模型可以簡化為一個(gè)方程或等效(將下標(biāo)前移兩個(gè)周期)，這是一個(gè)二階常系數(shù)常項(xiàng)線性