1、概率與統(tǒng)計(jì),開課系：理學(xué)院 統(tǒng)計(jì)與金融數(shù)學(xué)系 課程主頁(yè): e-mail: stat ,教材：概率與統(tǒng)計(jì)(第二版） 陳萍 等編 科學(xué)出版社,參考書：1.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 浙江大學(xué) 盛驟等 編 高等教育出版社 2. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)三十三講 魏振軍 編 中國(guó)統(tǒng)計(jì)出版社,序 言,?,概率論是研究什么的？,隨機(jī)現(xiàn)象：不確定性與統(tǒng)計(jì)規(guī)律性,概率論研究和揭示隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的科學(xué),第一章 隨機(jī)事件及其概率,隨機(jī)事件及其運(yùn)算 概率的定義及其運(yùn)算 條件概率 事件的獨(dú)立性,1.1隨機(jī)事件及其概率一、隨機(jī)試驗(yàn)(簡(jiǎn)稱“試驗(yàn)”),隨機(jī)試驗(yàn)的特點(diǎn)(p2) 1.可在相同條件下重復(fù)進(jìn)行； 2.試驗(yàn)可能結(jié)果不止一個(gè),但能

2、確定所有的可能結(jié)果; 3.一次試驗(yàn)之前無(wú)法確定具體是哪種結(jié)果出現(xiàn)。 隨機(jī)試驗(yàn)可表為E,E1: 拋一枚硬幣，分別用“H” 和“T” 表示出正面和反面; E2: 將一枚硬幣連拋三次，考慮正反面出現(xiàn)的情況； E3:將一枚硬幣連拋三次，考慮正面出現(xiàn)的次數(shù); E4:擲一顆骰子，考慮可能出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)； E5: 記錄某網(wǎng)站一分鐘內(nèi)受到的點(diǎn)擊次數(shù)； E6:在一批燈泡中任取一只，測(cè)其壽命; E7:任選一人，記錄他的身高和體重 。,隨機(jī)實(shí)驗(yàn)的例,隨機(jī)事件,二、樣本空間(p2),1. 樣本空間：試驗(yàn)的所有可能結(jié)果所組成的集合稱為樣本空間，記為S=e； 2. 樣本點(diǎn): 試驗(yàn)的每一個(gè)結(jié)果或樣本空間的元素稱為一個(gè)樣本點(diǎn),記

3、為e. 3. 由一個(gè)樣本點(diǎn)組成的單點(diǎn)集稱為一個(gè)基本事件,也記為e.,EX 給出E1-E7的樣本空間,幻燈片 6,隨機(jī)事件,1.定義 (p3) 試驗(yàn)中可能出現(xiàn)或可能不出現(xiàn)的情況叫“隨機(jī)事件”, 簡(jiǎn)稱“事件”.記作A、B、C等 任何事件均可表示為樣本空間的某個(gè)子集. 稱事件A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)試驗(yàn)的結(jié)果是子集A中的元素 2.兩個(gè)特殊事件: 必然事件S 、不可能事件.(p3) 例如:對(duì)于試驗(yàn)E4，以下A 、B、C即為三個(gè)隨機(jī)事件 A“至少出一個(gè)正面” HHH, HHT, HTH, THH，HTT，THT，TTH； B=“兩次出現(xiàn)同一面”=HHH,TTT C=“恰好出現(xiàn)一次正面”=HTT，THT，TTH,三

4、、事件之間的關(guān)系,可見，可以用文字表示事件，也可以事件表示為樣本空間的子集，后者反映了事件的實(shí)質(zhì)，且更便于今后計(jì)算概率 還應(yīng)注意，同一樣本空間中，不同的事件之間有一定的關(guān)系，如試驗(yàn)E2 ，當(dāng)試驗(yàn)的結(jié)果是HHH時(shí)，可以說(shuō)事件A和B同時(shí)發(fā)生了；但事件B和C在任何情況下均不可能同時(shí)發(fā)生。易見，事件之間的關(guān)系是由它們所包含的樣本點(diǎn)所決定的，這種關(guān)系可以用集合之間的關(guān)系來(lái)描述。,1.包含關(guān)系(p4)“ A發(fā)生必導(dǎo)致B發(fā)生”記為AB AB AB且BA.,2.和事件： (p4)“事件A與B至少有一個(gè)發(fā)生”，記作AB,2n個(gè)事件A1, A2, An至少有一個(gè)發(fā)生，記作,3.積事件(p4) :A與B同時(shí)發(fā)生，記

5、作 ABAB,3n個(gè)事件A1, A2, An同時(shí)發(fā)生，記作 A1A2An,4.差事件(p4) ：AB稱為A與B的差事件,表示事件A發(fā)生而B不發(fā)生,思考：何時(shí)A-B=?何時(shí)A-B=A？,5.互斥的事件(p5) ：AB ,6. 互逆的事件(p5) AB , 且AB ,五、事件的運(yùn)算(p5),1、交換律：ABBA，ABBA 2、結(jié)合律：(AB)CA(BC)， (AB)CA(BC) 3、分配律：(AB)C(AC)(BC)， (AB)C(AC)(BC) 4、德摩根(De Morgan)律：,例：甲、乙、丙三人各向目標(biāo)射擊一發(fā)子彈，以A、B、C分別表示甲、乙、丙命中目標(biāo)，試用A、B、C的運(yùn)算關(guān)系表示下列事

6、件：,1.2 概率的定義及其運(yùn)算,從直觀上來(lái)看，事件A的概率是指事件A發(fā)生的可能性,?,P（A）應(yīng)具有何種性質(zhì)？,?,拋一枚硬幣，幣值面向上的概率為多少？ 擲一顆骰子，出現(xiàn)6點(diǎn)的概率為多少？ 出現(xiàn)單數(shù)點(diǎn)的概率為多少？ 向目標(biāo)射擊，命中目標(biāo)的概率有多大？,(p6)若某試驗(yàn)E滿足 1.有限性：樣本空間Se1, e 2 , , e n ; 2.等可能性：（公認(rèn)） P(e1)=P(e2)=P(en). 則稱E為古典概型也叫等可能概型。,1.2.1.古典概型與概率,設(shè)事件A中所含樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為N(A) ，以N(S)記樣本空間S中樣本點(diǎn)總數(shù)，則有,P(A)具有如下性質(zhì)(P7),(1) 0 P(A) 1； (

7、2) P(S)1； P( )=0 (3) AB，則 P( A B ) P(A) P(B),古典概型中的概率(P7):,例:有三個(gè)子女的家庭,設(shè)每個(gè)孩子是男是女的概率相等,則至少有一個(gè)男孩的概率是多少? 解:設(shè)A-至少有一個(gè)男孩,以H表示某個(gè)孩子是男孩,N(S)=HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TTT,N(A)=HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,二、古典概型的幾類基本問(wèn)題,乘法公式：設(shè)完成一件事需分兩步， 第一步有n1種方法,第二步有n2種方法， 則完成這件事共有n1n2種方法,復(fù)習(xí)：排列與組合的基本概念,加法公式：設(shè)完成一件事可有兩種途徑，第一種途

8、徑有n1種方法，第二種途徑有n2種方法，則完成這件事共有n1+n2種方法。,有重復(fù)排列：從含有n個(gè)元素的集合中隨機(jī) 抽取k 次，每次取一個(gè)，記錄其結(jié)果 后放回，將記錄結(jié)果排成一列，,n,n,n,n,共有nk種排列方式.,無(wú)重復(fù)排列：從含有n個(gè)元素的集合中隨機(jī)抽取k 次， 每次取一個(gè)，取后不放回，將所取元素排成一列，,共有Ank=n(n-1)(n-k+1)種排列方式.,n,n-1,n-2,n-k+1,組合：從含有n個(gè)元素的集合中隨機(jī)抽取k 個(gè)， 共有,種取法.,1、抽球問(wèn)題 例1:設(shè)盒中有3個(gè)白球，2個(gè)紅球，現(xiàn)從盒中任抽2個(gè)球，求取到一紅一白的概率。 解:設(shè)A-取到一紅一白,答:取到一紅一白的概

9、率為3/5,一般地，設(shè)盒中有N個(gè)球，其中有M個(gè)白球，現(xiàn)從中任抽n個(gè)球，則這n個(gè)球中恰有k個(gè)白球的概率是,在實(shí)踐中，產(chǎn)品的檢驗(yàn)、疾病的抽查、農(nóng)作物的選種等均可化為隨機(jī)抽球問(wèn)題。我們選擇抽球模型的目的在于是問(wèn)題的數(shù)學(xué)意義更加突出,而不必過(guò)多的交代實(shí)際背景。,2、分球入盒問(wèn)題 例2：將3個(gè)球隨機(jī)的放入3個(gè)盒子中去，問(wèn)： （1）每盒恰有一球的概率是多少？ （2）空一盒的概率是多少？,解:設(shè)A:每盒恰有一球,B:空一盒,一般地，把n個(gè)球隨機(jī)地分配到N個(gè)盒子中去(nN)，則每盒至多有一球的概率是：,P8,某班級(jí)有n 個(gè)人(n365)， 問(wèn)至少有兩個(gè)人的生日在同一天 的概率有多大？,?,3.分組問(wèn)題 例3

10、30名學(xué)生中有3名運(yùn)動(dòng)員，將這30名學(xué)生平均分成3組，求： （1）每組有一名運(yùn)動(dòng)員的概率； （2）3名運(yùn)動(dòng)員集中在一個(gè)組的概率。 解:設(shè)A:每組有一名運(yùn)動(dòng)員;B: 3名運(yùn)動(dòng)員集中在一組,一般地，把n個(gè)球隨機(jī)地分成m組(nm),要求第 i 組恰 有ni個(gè)球(i=1,m)，共有分法：,4 隨機(jī)取數(shù)問(wèn)題,例4 從1到200這200個(gè)自然數(shù)中任取一個(gè), (1)求取到的數(shù)能被6整除的概率 (2)求取到的數(shù)能被8整除的概率 (3)求取到的數(shù)既能被6整除也能被8整除的概率,解:N(S)=200,N(3)=200/24=8,N(1)=200/6=33,N(2)=200/8=25,(1),(2),(3)的概率分

11、別為：33/200,1/8,1/25,某人向目標(biāo)射擊， 以A表示事件“命中目標(biāo)”， P（A）=？,?,定義:(p9) 事件A在n次重復(fù)試驗(yàn)中出現(xiàn)nA次，則 比值nA/n稱為事件A在n次重復(fù)試驗(yàn)中 出現(xiàn)的頻率，記為fn(A). 即 fn(A) nA/n.,1.3 頻率與概率,歷史上曾有人做過(guò)試驗(yàn),試圖證明拋擲勻質(zhì)硬幣時(shí)，出現(xiàn)正反面的機(jī)會(huì)均等。 實(shí)驗(yàn)者 n nH fn(H) De Morgan 2048 1061 0.5181 Buffon 4040 2048 0.5069 K. Pearson 12000 6019 0.5016 K. Pearson 24000 12012 0.5005,頻率的

12、性質(zhì) (1) 0 fn(A) 1； (2) fn(S)1； fn( )=0 (3) 可加性：若AB ，則 fn(AB) fn(A) fn(B).,實(shí)踐證明：當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n增大時(shí)， fn(A) 逐漸 趨向一個(gè)穩(wěn)定值?？蓪⒋朔€(wěn)定值記作P(A)， 作為事件A的概率,1.3.2. 概率的公理化定義,注意到不論是對(duì)概率的直觀理解，還是頻率定義方式，作為事件的概率，都應(yīng)具有前述三條基本性質(zhì)，在數(shù)學(xué)上，我們就可以從這些性質(zhì)出發(fā)，給出概率的公理化定義,1.定義(p10) 若對(duì)隨機(jī)試驗(yàn)E所對(duì)應(yīng)的樣本空間中的每一事件A，均賦予一實(shí)數(shù)P(A)，集合函數(shù) P(A)滿足條件： (1)非負(fù)性： P(A) 0； (2) 規(guī)范

13、性：P(S)1； (3) 可列可加性：設(shè)A1，A2，, 是一列兩兩互不相容的事件，即AiAj，(ij), i , j1, 2, , 有 P( A1 A2 ) P(A1) P(A2)+. (1.1) 則稱P(A)為事件A的概率。,2.概率的性質(zhì) P(10-12) (1) 有限可加性：設(shè)A1，A2，An , 是n個(gè)兩兩互不相容的事件，即AiAj ，(ij), i , j1, 2, , n ,則有 P( A1 A2 An) P(A1) P(A2)+ P(An);,(3)事件差 A、B是兩個(gè)事件，則 P(A-B)=P(A)-P(AB),(2) 單調(diào)不減性：若事件AB，則 P(A)P(B),(4) 加法

14、公式：對(duì)任意兩事件A、B，有 P(AB)P(A)P(B)P(AB) 該公式可推廣到任意n個(gè)事件A1，A2，An的情形； (3) 互補(bǔ)性：P(A)1 P(A); (5) 可分性：對(duì)任意兩事件A、B，有 P(A)P(AB)P(AB ) .,某市有甲,乙,丙三種報(bào)紙,訂每種報(bào)紙的人數(shù)分別占全體市民人數(shù)的30%,其中有10%的人同時(shí)定甲,乙兩種報(bào)紙. 沒有人同時(shí)訂甲丙或乙丙報(bào)紙.求從該市任選一人,他至少訂有一種報(bào)紙的概率.,EX,解:設(shè)A,B,C分別表示選到的人訂了甲,乙,丙報(bào),例1.3.2.在110這10個(gè)自然數(shù)中任取一數(shù)，求 （1）取到的數(shù)能被2或3整除的概率； （2）取到的數(shù)即不能被2也不能被3

15、整除的概率；（3）取到的數(shù)能被2整除而不能被3整除的概率。,解:設(shè)A取到的數(shù)能被2整除; B-取到的數(shù)能被3整除,故,袋中有十只球，其中九只白球，一只紅球，十人依次從袋中各取一球(不放回)，問(wèn) 第一個(gè)人取得紅球的概率是多少？ 第二 個(gè)人取得紅球的概率是多少？,?,1.4 條件概率,若已知第一個(gè)人取到的是白球，則第二個(gè)人取到紅球的概率是多少？,已知事件A發(fā)生的條件下， 事件B發(fā)生的概率稱為 A條件下B的條件概率，記作P(B|A),若已知第一個(gè)人取到的是紅球，則第二個(gè)人取到紅球的概率又是多少？,一、條件概率 例1 設(shè)袋中有3個(gè)白球，2個(gè)紅球，現(xiàn)從袋中任意抽取兩次，每次取一個(gè)，取后不放回， （1）已

16、知第一次取到紅球，求第二次也取到紅球的 概率; （2）求第二次取到紅球的概率； （3）求兩次均取到紅球的概率。,設(shè)A第一次取到紅球,B第二次取到紅球,S=,A,B,A第一次取到紅球, B第二次取到紅球,顯然，若事件A、B是古典概型的樣本空間S中的兩個(gè)事件，其中A含有nA個(gè)樣本點(diǎn),AB含有nAB個(gè)樣本點(diǎn)，則,稱為事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的條件概率(p14),一般地，設(shè)A、B是S中的兩個(gè)事件，則,?,“條件概率”是“概率”嗎？,何時(shí)P(A|B)=P(A)? 何時(shí)P(A|B)P(A)? 何時(shí)P(A|B)P(A)?,概率定義 若對(duì)隨機(jī)試驗(yàn)E所對(duì)應(yīng)的樣本空間S中的每一事件A，均賦予一實(shí)數(shù)P(A)，集

17、合函數(shù)P(A)滿足條件： P(A) 0； (2) P(S)1; (3) 可列可加性：設(shè)A1，A2，, 是一列兩兩互不相容的事件，即AiAj，(ij), i , j1, 2, , 有 P( A1 A2 ) P(A1) P(A2)+. 則稱P(A)為事件A的概率。,例2.(p14)一盒中混有100只新 ,舊乒乓球，各有紅、白兩色，分 類如下表。從盒中隨機(jī)取出一球，若取得的是一只紅球，試求該紅球是新球的概率。,設(shè)A-從盒中隨機(jī)取到一只紅球. B-從盒中隨機(jī)取到一只新球.,A,B,二、乘法公式(p14),設(shè)A、BS，P（A）0,則 P(AB)P(A)P(B|A). (1.4.1) 式(1.4.1)就稱

18、為事件A、B的概率乘法公式。,式(1.4.1)還可推廣到三個(gè)事件的情形： P(ABC)P(A)P(B|A)P(C|AB). (1.4.2) 一般地，有下列公式： P(A1A2An)P(A1)P(A2|A1).P(An|A1An1). (1.4.3),例3 盒中有3個(gè)紅球，2個(gè)白球,每次從盒中任取一只，觀察其顏色后放回，并再放入一只與所取之球顏色相同的球，若從盒中連續(xù)取球4次,試求第1、2次取得白球、第3、4次取得紅球的概率。,解：設(shè)Ai為第i次取球時(shí)取到白球，則,三、全概率公式與貝葉斯公式,例4.(p15)市場(chǎng)上有甲、乙、丙三家工廠生產(chǎn)的同一品牌產(chǎn)品，已知三家工廠的市場(chǎng)占有率分別為1/4、1/

19、4、1/2，且三家工廠的次品率分別為 2、1、3，試求市場(chǎng)上該品牌產(chǎn)品的次品率。,B,定義 (p16)事件組A1，A2，An (n可為)，稱為樣本空間S的一個(gè)劃分，若滿足：,A1,A2,An,B,定理1、(p16) 設(shè)A1，, An是S的一個(gè)劃分，且P(Ai)0，(i1，n)， 則對(duì)任何事件BS有,式(1.4.4)就稱為全概率公式。,例5 (P16)有甲乙兩個(gè)袋子，甲袋中有兩個(gè)白球，1個(gè)紅球，乙袋中有兩個(gè)紅球，一個(gè)白球這六個(gè)球手感上不可區(qū)別今從甲袋中任取一球放入乙袋，攪勻后再?gòu)囊掖腥稳∫磺?，?wèn)此球是紅球的概率？,解：設(shè)A1從甲袋放入乙袋的是白球； A2從甲袋放入乙袋的是紅球； B從乙袋中任取

20、一球是紅球；,甲,乙,定理2 (p17) 設(shè)A1，, An是S的一個(gè)劃分，且P(Ai) 0，(i1，n)，則對(duì)任何事件BS，有,式(1.4.5)就稱為貝葉斯公式。,思考：上例中，若已知取到一個(gè)紅球，則從甲袋放入乙袋的是白球的概率是多少？,答:,(P21)22. 商店論箱出售玻璃杯，每箱20只，其中每箱含0，1，2只次品的概率分別為0.8, 0.1, 0.1，某顧客選中一箱，從中任選4只檢查，結(jié)果都是好的，便買下了這一箱.問(wèn)這一箱含有一個(gè)次品的概率是多少？,解:設(shè)A:從一箱中任取4只檢查,結(jié)果都是好的. B0, B1, B2分別表示事件每箱含0，1，2只次品,已知:P(B0)=0.8, P(B1

21、)=0.1, P(B2)=0.1,由Bayes公式:,例6 數(shù)字通訊過(guò)程中，信源發(fā)射0、1兩種狀態(tài)信號(hào)，其中發(fā)0的概率為0.55，發(fā)1的概率為0.45。由于信道中存在干擾，在發(fā)0的時(shí)候，接收端分別以概率0.9、0.05和0.05接收為0、1和“不清”。在發(fā)1的時(shí)候，接收端分別以概率0.85、0.05和0.1接收為1、0和“不清”。現(xiàn)接收端接收到一個(gè)“1”的信號(hào)。問(wèn)發(fā)端發(fā)的是0的概率是多少?,0.067,解：設(shè)A-發(fā)射端發(fā)射0， B- 接收端接收到一個(gè)“1”的信號(hào),0 (0.55),0 1 不清,(0.9) (0.05) (0.05),1 (0.45),1 0 不清,(0.85) (0.05) (0.1),條件概率,條件概率 小 結(jié),縮減樣本空間,定義式,乘法公式,全概率公式,貝葉斯公式,1.4.5 事件的獨(dú)立性一、兩事件獨(dú)立,(P18) 定義1 設(shè)A、B是兩事件，P(A) 0,若 P(B)P(B|A) (1.5.1) 則稱事件A與B相互獨(dú)立。 式(1.5.1)等價(jià)于： P(AB)P(A)P(B) (1.5.2),從一付52張的撲克牌中任意抽取一張，以A表示抽出一張A，以B表示抽出一張黑桃，問(wèn)A與B是否獨(dú)立？,定理、以下四件事等價(jià)： (1)事件A、B相互獨(dú)立；(2)事件A、B相互獨(dú)立； (3)事件A、B