1、圖論算法 -最大流問題,長沙市雅禮中學(xué) 朱 全 民,運(yùn)輸網(wǎng)絡(luò),現(xiàn)在想將一些物資從S運(yùn)抵T，必須經(jīng)過一些中轉(zhuǎn)站。連接中轉(zhuǎn)站的是公路，每條公路都有最大運(yùn)載量。 每條弧代表一條公路，弧上的數(shù)表示該公路的最大運(yùn)載量。最多能將多少貨物從S運(yùn)抵T？,基本概念,這是一個典型的網(wǎng)絡(luò)流模型。為了解答此題，我們先了解網(wǎng)絡(luò)流的有關(guān)定義和概念。 若有向圖G=(V,E)滿足下列條件： 有且僅有一個頂點(diǎn)S，它的入度為零，即d-(S) = 0，這個頂點(diǎn)S便稱為源點(diǎn)，或稱為發(fā)點(diǎn)。 有且僅有一個頂點(diǎn)T，它的出度為零，即d+(T) = 0，這個頂點(diǎn)T便稱為匯點(diǎn)，或稱為收點(diǎn)。 每一條弧都有非負(fù)數(shù)，叫做該邊的容量。邊(vi, vj)

2、的容量用cij表示。 則稱之為網(wǎng)絡(luò)流圖，記為G = (V, E, C),可行流,可行流 對于網(wǎng)絡(luò)流圖G，每一條弧(i,j)都給定一個非負(fù)數(shù)fij，這一組數(shù)滿足下列三條件時稱為這網(wǎng)絡(luò)的可行流，用f表示它。 1. 每一條弧(i,j)有fijCij 2. 流量平衡 除源點(diǎn)S和匯點(diǎn)T以外的所有的點(diǎn)vi，恒有： j(fij)= k(fjk) 該等式說明中間點(diǎn)vi的流量守恒，輸入與輸出量相等。 3.對于源點(diǎn)S和匯點(diǎn)T有 ， i(fSi)= j(fjT)= V(f),可增廣路,給定一個可行流f=fij。若fij = Cij，稱為飽和?。环駝t稱為非飽和弧。若fij = 0，稱為零流?。环駝t稱為非零流弧。 定義

3、一條道路P，起點(diǎn)是S、終點(diǎn)是T。把P上所有與P方向一致的弧定義為正向弧，正向弧的全體記為P+；把P上所有與P方向相悖的弧定義為反向弧，反向弧的全體記為P-。 譬如在圖中，P = (S, V1, V2, V3, V4, T)，那么 P+ = , , , P- = 給定一個可行流f，P是從S到T的一條道路，如果滿足： fij是非飽和流，并且 P+ , fij是非零流，并且 P- 那么就稱P是f的一條可增廣路。之所以稱作“可增廣”，是因為可改進(jìn)路上弧的流量通過一定的規(guī)則修改，可以令整個流量放大。,剩余圖(殘余網(wǎng)絡(luò)),剩余圖G=(V,E) 流量網(wǎng)絡(luò)G=(V,E)中，對于任意一條邊(a,b)，若 flo

4、w(a,b)0 則(a,b) E,可以沿著a-b方向增廣,剩余圖中，從源點(diǎn)到匯點(diǎn)的每一條路徑都對應(yīng)一條增廣路,剩余圖中，每條邊都可以沿其方向增廣,剩余圖的權(quán)值代表能沿邊增廣的大小,G = (V, E, C)是已知的網(wǎng)絡(luò)流圖，設(shè)U是V的一個子集，W = VU，滿足S U，TW。即U、W把V分成兩個不相交的集合，且源點(diǎn)和匯點(diǎn)分屬不同的集合。 對于弧尾在U，弧頭在W的弧所構(gòu)成的集合稱之為割切，用（U，W）表示。把割切（U，W）中所有弧的容量之和叫做此割切的容量，記為C（U，W），即：,割切,割切示例,上例中，令U = S, V1，則W = V2, V3, V4, T，那么， C(U, W) = +

5、+ + =8+4+4+1=17,流量算法的基本理論,定理1：對于已知的網(wǎng)絡(luò)流圖，設(shè)任意一可行流為f，任意一割切為(U, W)，必有：V(f) C(U, W)。 定理2：可行流f是最大流的充分必要條件是：f中不存在可改進(jìn)路。 定理3：整流定理。 如果網(wǎng)絡(luò)中所有的弧的容量是整數(shù)，則存在整數(shù)值的最大流。 定理4：最大流最小割定理。 最大流等于最小割，即max V(f) = min C(U, W)。,最大流算法,第1步，令x=(xij)是任意整數(shù)可行流，可能是零流，給s一個永久標(biāo)號(-, )。 第2步(找增廣路)，如果所有標(biāo)號都已經(jīng)被檢查，轉(zhuǎn)到第4步。 找到一個標(biāo)號但未檢查的點(diǎn)i, 并做如下檢查， 對

6、每一個弧(i,j),如果xij0,且j未標(biāo)號，則給j一個標(biāo)號(-i, (j) ),其中， (j)=minxji , (i) 第3步(增廣)，由點(diǎn)t開始，使用指示標(biāo)號構(gòu)造一個增廣路,指示標(biāo)號的正負(fù)則表示通過增加還是減少弧流量來增加還是減少弧流量來增大流量，抹去s點(diǎn)以外的所有標(biāo)號，轉(zhuǎn)第二步繼續(xù)找增廣軌。 第4步(構(gòu)造最小割)，這時現(xiàn)行流是最大的，若把所有標(biāo)號的集合記為S，所有未標(biāo)號點(diǎn)的集合記為T,便得到最小割(S,T)。,實(shí)例,復(fù)雜度分析,設(shè)圖中弧數(shù)為m,每找一條增廣軌最多需要進(jìn)行2m次弧的檢查。如果所有弧的容量為整數(shù)，則最多需要v(其中v為最大流)次增廣，因此總的計算量為O(mv)。,利用找增廣

7、路的其他流量算法,增廣路的思想在于每次從源點(diǎn)搜索出一條前往匯點(diǎn)的增廣路，并改變路上的邊權(quán)，直到無法再進(jìn)行增廣： 一般增廣路方法：在剩余圖中，每次任意找一條增廣路徑增廣。O(nmU) 容量縮放增廣路方法:在剩余圖中，每次任意找一條最大可增廣容量和的增廣路徑增廣。O(nm*logU) 最短增廣路方法(MPLA)：在剩余圖中，每次任意找一條含結(jié)點(diǎn)數(shù)最少的增廣路徑增廣。O(nm2) 連續(xù)最短增廣路方法（DINIC）：在剩余圖中，每次BFS找增廣路徑增廣路徑時，記錄每個點(diǎn)的距離標(biāo)號。在距離標(biāo)號最短路圖上，不斷dfs找增廣路，即一次標(biāo)號，多次增廣。O(n2m),DINIC算法演示：,用預(yù)流推進(jìn)辦法求網(wǎng)絡(luò)流

8、,預(yù)流推進(jìn)算法給每一個頂點(diǎn)一個標(biāo)號h(v)，表示該點(diǎn)到t的最短路（在殘量網(wǎng)絡(luò)中）。 第一步hights()過程，就是BFS出初始最短路，計算出每一個頂點(diǎn)的h(v)。 預(yù)流推進(jìn)算法的特征是運(yùn)用了預(yù)流來加快運(yùn)算。預(yù)流說明圖中的節(jié)點(diǎn)(除s, t)，僅需要滿足流入量 = 流出量。其中流入量流出量的結(jié)點(diǎn)，我們稱之為活動節(jié)點(diǎn)。我們的算法就是不斷地將活動結(jié)點(diǎn)，變?yōu)榉腔顒咏Y(jié)點(diǎn)，使得預(yù)流成為可行流。,預(yù)流推進(jìn)算法流程,算法過程prepare()，即首先將與s相連的邊設(shè)為滿流，并將這時產(chǎn)生的活動結(jié)點(diǎn)加入隊列Q。這是算法的開始。 以后便重復(fù)以下過程直到Q為空： (1).選出Q的一個活動頂點(diǎn)u。并依次判斷殘量網(wǎng)絡(luò)G中

9、每條邊(u, v)，若h(u) = h(v) + 1，則順著這里條邊推流，直到Q變成非活動結(jié)點(diǎn)（不存在多余流量）。(Push推流過程) (2).如果u還是活動結(jié)點(diǎn)。則需要對u進(jìn)行重新標(biāo)號：h(u) = minh(v) + 1，其中邊(u,v)存在于G 中。然后再將u加入隊列。(relable過程) 可以證明，通過以上算法得到的結(jié)果就是最大流。,預(yù)流推進(jìn)算法示例,頂點(diǎn)u的通過量g(u)： 剩余圖中，找入邊權(quán)和與出邊權(quán)和的較小值 增廣時，每次找一個通過量最小的點(diǎn)v，從點(diǎn)v 向源點(diǎn)“推”大小為g(v)的流量 向匯點(diǎn)“拉”大小為g(v)的流量 盡量使剩余圖中的邊飽和,用預(yù)流推進(jìn)方法的一些網(wǎng)絡(luò)流算法,預(yù)

10、流推進(jìn)的算法核心思想是以邊為單元進(jìn)行推流操作： 一般的預(yù)流推進(jìn)算法：在剩余圖中，維護(hù)一個預(yù)流，不斷對活躍點(diǎn)執(zhí)行push操作，或者relable操作來重新調(diào)整這個預(yù)流，直到不能操作。 O(nm2) 先進(jìn)先出預(yù)流推進(jìn)算法：在剩余圖中，以先進(jìn)先出隊列維護(hù)活躍點(diǎn)。 O(n3) 最高標(biāo)號預(yù)流推進(jìn)算法：在剩余圖中，每次檢查最高標(biāo)號的活躍點(diǎn)，需要用到優(yōu)先隊列。 O(n2m1/2),費(fèi)用流,流最重要的應(yīng)用是盡可能多的分流物資，這也就是我們已經(jīng)研究過的最大流問題。然而實(shí)際生活中，最大配置方案肯定不止一種，一旦有了選擇的余地，費(fèi)用的因素就自然參與到?jīng)Q策中來。 右圖是一個最簡單的例子：弧上標(biāo)的兩個數(shù)字第一個是容量，

11、第二個是費(fèi)用。這里的費(fèi)用是單位流量的花費(fèi)，譬如fs1=4，所需花費(fèi)為3*4=12。 容易看出，此圖的最大流（流量是8）為：fs1 = f1t = 5, fs2 = f2t = 3。所以它的費(fèi)用是：3*5+4*5+7*3+2*3 = 62。,費(fèi)用流定義,設(shè)有帶費(fèi)用的網(wǎng)絡(luò)流圖G = (V, E, C, W)，每條弧對應(yīng)兩個非負(fù)整數(shù)Cij、Wij，表示該弧的容量和費(fèi)用。若流f滿足： 流量V(f)最大。 滿足a的前提下，流的費(fèi)用Cost(f) =E (fij * Wij)最小。 就稱f是網(wǎng)絡(luò)流圖G的最小費(fèi)用最大流。 最小費(fèi)用可改進(jìn)路 設(shè)P是流f的可改進(jìn)路，定義P+ Wij - P- Wij 為P的費(fèi)用

12、(為什么如此定義？) 如果P是關(guān)于f的可改進(jìn)路中費(fèi)用最小的，就稱P是f的最小費(fèi)用可改進(jìn)路。,費(fèi)用流算法,求最小費(fèi)用最大流的基本思想是貪心法。即：對于流f，每次選擇最小費(fèi)用可改進(jìn)路進(jìn)行改進(jìn)，直到不存在可改進(jìn)路為止。這樣的得到的最大流必然是費(fèi)用最小的。 算法可描述為： 第1步. 令f為零流。 第2步. 若無最小費(fèi)用可改進(jìn)路，轉(zhuǎn)第5步；否則找到最小費(fèi)用可改進(jìn)路，設(shè)為P。 第3步. 根據(jù)P求delta（改進(jìn)量）。 第4步. 放大f。轉(zhuǎn)第2步。 第5步. 算法結(jié)束。此時的f即最小費(fèi)用最大流。,如何求最小費(fèi)用可改進(jìn)路,設(shè)帶費(fèi)用的網(wǎng)絡(luò)流圖G = (V, E, C, W)，它的一個可行流是f。我們構(gòu)造帶權(quán)有向

13、圖B = (V, E)，其中： V = V。 若E，fijE，權(quán)為Wij。若E，fij0，那么E，權(quán)為-Wij。 顯然，B中從S到T的每一條道路都對應(yīng)關(guān)于f的一條可改進(jìn)路；反之，關(guān)于f的每條可改進(jìn)路也能對應(yīng)B中從S到T的一條路徑。即兩者存在一一映射的邏輯關(guān)系。 故若B中不存在從S到T的路徑，則f必然沒有可改進(jìn)路；不然，B中從S到T的最短路徑即為f的最小費(fèi)用可改進(jìn)路。 現(xiàn)在的問題變成：給定帶權(quán)有向圖B = (V, E)，求從S到T的一條最短路徑。,迭代法求最短路經(jīng),考慮到圖中存在權(quán)值為負(fù)數(shù)的弧，不能采用Dijkstra算法；Floyd算法的效率又不盡如人意所以，這里采用一種折衷的算法：迭代法（b

14、ellman算法）。 設(shè)Shorti表示從S到i頂點(diǎn)的最短路徑長度；從S到頂點(diǎn)i的最短路徑中，頂點(diǎn)i的前趨記為Lasti。那么迭代算法描述如下：（為了便于描述，令n = |V|，S的編號為0，T的編號為n+1） step 1. 令Shorti +（1in+1），Short0 0。 step 2. 遍歷每一條弧。若Shorti + ，同時Lastj i。重復(fù)做step 2直到不存在任何任何弧滿足此條件為止。 step 3. 算法結(jié)束。若Shortn + 1= +，則不存在從S到T的路徑；否則可以根據(jù)Last記錄的有關(guān)信息得到最短路徑。 一次迭代算法的時間復(fù)雜度為O(kn2)，其中k是一個不大于n

15、的變量。在費(fèi)用流的求解過程中，k大部分情況下都遠(yuǎn)小于n。,思維發(fā)散與探索,可改進(jìn)路費(fèi)用：“遞增！遞增？” 設(shè)f從零流到最大流共被改進(jìn)了k次，每i次選擇的可改進(jìn)路的費(fèi)用為pi，那么會不會有p1p2p3pk呢？ 迭代法：“小心死循環(huán)！嘿嘿” 迭代法會出現(xiàn)死循環(huán)嗎？也就是說，構(gòu)造的帶權(quán)有向圖B中會存在負(fù)回路嗎？ 費(fèi)用：“你在乎我是負(fù)數(shù)嗎？” 容量：“我管的可不僅是弧?！?網(wǎng)絡(luò)流圖中的“容量”都是對弧而言的，但若是給每個頂點(diǎn)也加上一個容量限制：即通過此頂點(diǎn)的流量的上限；任務(wù)仍然是求從S到T的最小費(fèi)用最大流。你能解決嗎？,有上下界的最大流,上面討論的網(wǎng)絡(luò)流都只對每條弧都限定了上界（其實(shí)其下界可以看成0）

16、，現(xiàn)在給每條弧加上一個下界限制Aij (即必須滿足Aijfij)。 弧上數(shù)字對第一個是上界，第二個是下界。若是撇開下界不看，此圖的最大流如圖所示，流量是6；但若是加入了下界的限制，它的最大流量就只有5了。,怎樣找可行流,一種自然的想法是去掉下界，將其轉(zhuǎn)化為只含上界的網(wǎng)絡(luò)流圖。這種美好的愿望是可以實(shí)現(xiàn)的。具體方法如下： 設(shè)原網(wǎng)絡(luò)流圖為G = (V, E, C, A)，構(gòu)造不含下界的網(wǎng)絡(luò)流圖G = (V, E, C)： V = VS, T 對每個頂點(diǎn)x，令h-(x)= E AiX ，若h-(x)0，就添加一條弧，其上界為h-(x) 。 對每個頂點(diǎn)x，令h+(x)= E AXi ，若h+(x)0，就

17、添加一條弧，其上界為h+(x) 。 對于任何E，都有E，其上界Cij = Cij Aij。 新增E，其上界CTS = +。 在G中以S為源點(diǎn)、T為匯點(diǎn)求得最大流f。若f中從S發(fā)出的任意一條弧是非飽和弧，則原網(wǎng)絡(luò)流圖沒有可行流。否則可得原圖的一個可行流f = f + A，即所有的fij = f ij + Aij 。 然后再求可改進(jìn)路（反向弧必須滿足fijAij，而非fij0），不斷放大f，直到求出最大流。,另外一種構(gòu)圖方法,C(u, v) = C(u, v) - B(u, v) 設(shè) 如果M(i)非負(fù)，那么設(shè)一附加源S0，則可以令C(S0, i) = M(i)。 如果M(i)非負(fù)，那么設(shè)一附加匯T

18、0，則可以令C(S0, i) = -M(i)。 在這樣一個加入附加源和附加匯的流網(wǎng)絡(luò)C中，如果任意g(S0, i)或g(i, T0)都達(dá)到滿載，那么C中的這一個可行流g一定對應(yīng)原網(wǎng)絡(luò)G中的一個可行流f；反之G中的任意一個可行流f都可以對應(yīng)C中的一個g(S0, i)或g(i, T0)都滿載的流。,思考？,在一個容量有上下界的流網(wǎng)絡(luò)G中，怎樣盡快求源點(diǎn)s到匯點(diǎn)t的一個可行的最大流？ 在一個容量有上下界的流網(wǎng)絡(luò)G中，怎樣盡快求源點(diǎn)s到匯點(diǎn)t的一個可行的最小流？,多源點(diǎn)、多匯點(diǎn)的最大流,已知網(wǎng)絡(luò)流圖有n個源點(diǎn)S1、S2、Sn，m個匯點(diǎn)T1、T2、Tm，求該圖的最大流。這樣的問題稱為多源點(diǎn)、多匯點(diǎn)最大流

19、。 它的解決很簡單： 增設(shè)一個“超級源”S，對每個源點(diǎn)Si，新增弧，容量為無窮大。 增設(shè)一個“超級匯”T，對每個匯點(diǎn)Ti，新增弧，容量為無窮大。 以S為源點(diǎn)、T為匯點(diǎn)求最大流f。 將f中的S和T去掉，即為原圖的最大流。,頂點(diǎn)有容量限制的最大流,對除源點(diǎn)和匯點(diǎn)之外的每個頂點(diǎn)i拆分成兩個頂點(diǎn)i和i。新增一條弧，其容量為點(diǎn)i的流量限制。 對于原圖中的弧，我們將其變換成。 對變換后的圖求最大流即可。 這里我們運(yùn)用到了化歸的思想：將未知的“點(diǎn)限制”問題轉(zhuǎn)化為已知的“邊限制”問題。,網(wǎng)絡(luò)流與二部圖的匹配,設(shè)二部圖為G = (X, Y, E)。 增設(shè)點(diǎn)S，對于所有iX，新增弧，容量為1；增設(shè)點(diǎn)T，對于所有i

20、Y，新增一條弧，容量也為1。原圖中所有的弧予以保留，容量均為+。對新構(gòu)造出來的網(wǎng)絡(luò)流圖以S為源點(diǎn)、T為匯點(diǎn)求最大流：流量即為最大匹配數(shù)；若?。╥X，jY）的流量非零，它就是一條匹配邊。 二部圖最大匹配問題解決。 那么二部圖的最佳匹配問題又如何？ 仍然按照上述方法構(gòu)圖。同時令原圖中弧的費(fèi)用保持不變；新增弧的費(fèi)用置為0。然后以S為源點(diǎn)、T為匯點(diǎn)求最小費(fèi)用最大流即可。最大流的費(fèi)用即為原二部圖最佳匹配的費(fèi)用。,思考題1：餐巾問題,某軟件公司正在規(guī)劃一項n天的軟件開發(fā)計劃，根據(jù)開發(fā)計劃第i天需要ni個軟件開發(fā)人員，為了提高工作效率，公司給軟件人員提供了很多的服務(wù)，其中一項服務(wù)就是要為每個開發(fā)人員每天提供

21、一塊消毒毛巾，這種毛巾使用一天后必須再做消毒處理后才能使用。消毒方式有兩種，A種方式的消毒時間需要a天時間，B中方式的消毒需要b天時間（ba），A種消毒方式的費(fèi)用為每塊毛巾fA，B種消毒方式的費(fèi)用為每塊毛巾fB，而買一塊新毛巾的費(fèi)用為f（新毛巾是已消毒的，當(dāng)天可以使用）；而且ffAfB。公司經(jīng)理正在規(guī)劃在這n天中，每天買多少塊新毛巾、每天送多少塊毛巾進(jìn)行A種消毒和每天送多少塊毛巾進(jìn)行B種消毒。當(dāng)然，公司經(jīng)理希望費(fèi)用最低。 你的任務(wù)就是：求出提供毛巾服務(wù)的最低總費(fèi)用。 輸入文件：第1行為n, a, b, f, fA, fB. 第2行為n1, n2, , nn（注：1f, fA, fB60, 1n

22、1000） 輸出文件：最少費(fèi)用 input.txt output.txt 4 1 2 3 2 1 38 8 2 1 6,分析,公司第i天需要ni 塊毛巾，可以把這ni 塊毛巾的來源列舉如下： 新買的毛巾。 第i a 1天之前通過A種方式消毒的毛巾。 第i b 1天之前通過B種方式消毒的毛巾。 我們構(gòu)造帶費(fèi)用的網(wǎng)絡(luò)流圖G = (V, E, C)。V = S, V1, V2, , Vn, V1, V2, , Vn, T，其中S是源點(diǎn)、T是匯點(diǎn)。E中包含如下幾類?。?（1in），容量為ni，費(fèi)用為0。表示第i天需要ni塊毛巾。 （1in），容量為正無窮大，費(fèi)用為f。該弧的流量表示第i天通過方式a得到

23、的毛巾數(shù)量。 （a+2in），容量為正無窮大，費(fèi)用為fA。該弧的流量表示第i天通過方式b得到的毛巾數(shù)量。 （b+2in），容量為正無窮大，費(fèi)用為fB。該弧的流量表示第i天通過方式c得到的毛巾數(shù)量。 （2in），容量為正無窮大，費(fèi)用為0。由于題目中沒有說消毒完的毛巾要馬上使用，所以第3天就消毒好的毛巾可以暫且留著，到第7天、第8天再使用也可以。因此這里增設(shè)此弧。 （1in），容量為ni，費(fèi)用為0。 然后對這個網(wǎng)絡(luò)流圖以S為源點(diǎn)、T為匯點(diǎn)的求最小費(fèi)用最大流即可。求得的最大流費(fèi)用就是原問題的答案。,思考題2： Agent,有n名雙重間諜潛伏在敵軍內(nèi)部，分別編號為1, 2, 3, , n。在給定的時間

24、內(nèi)，任意兩人之間至多只進(jìn)行一次點(diǎn)對點(diǎn)的雙人聯(lián)系。 數(shù)據(jù)將給你一份表格，表格中將提供任意兩位間諜i和j之間進(jìn)行聯(lián)系的安全程度，用一個0，1的實(shí)數(shù)Sij表示；以及他們聯(lián)系時，能夠互相傳遞的消息的最大數(shù)目，用一個正整數(shù)表示Mij。（如果在表格中沒有被提及，那么間諜i和j之間不進(jìn)行直接聯(lián)系）。 假消息從盟軍總部傳遞到每個間諜手里的渠道也不是絕對安全的，我們用0，1的實(shí)數(shù)ASj表示總部與間諜j之間進(jìn)行聯(lián)系的安全程度，AMj則表示總部和間諜j之間進(jìn)行聯(lián)系時傳遞的消息的最大數(shù)目。對于不和總部直接聯(lián)系的間諜，他的AMj=0（而表格中給出的他的ASj是沒有意義的）。,當(dāng)然，假消息從間諜手中交到敵軍的情報部官員的

25、辦公桌上的過程是絕對安全的，也就是說，間諜與敵軍情報部門之間要么不進(jìn)行聯(lián)系，要么其聯(lián)系的安全程度是1（即完全可靠）。 現(xiàn)在我軍司令部想利用這些間諜將k條假消息發(fā)布到敵軍情報機(jī)關(guān)的負(fù)責(zé)人。消息先由總部一次性發(fā)給n名間諜中的一些人，再通過它們之間的情報網(wǎng)傳播，最終由這n名間諜中某些人將情報送到敵軍手中。 對于一條消息，只有安全的通過了所有的中轉(zhuǎn)過程到達(dá)敵軍情報部，這個傳遞消息的過程才算安全的；因此根據(jù)乘法原理，它的安全程度P就是從總部出發(fā)，經(jīng)多次傳遞直到到達(dá)敵軍那里，每一次傳遞該消息的安全程度的乘積。 而對于整個計劃而言，只有當(dāng)k條消息都安全的通過情報網(wǎng)到達(dá)敵軍手中，沒有一條引起懷疑時，才算是成功

26、的。所以計劃的可靠程度是所有消息的安全程度的乘積。 顯然，計劃的可靠性取決于這些消息在情報網(wǎng)中的傳遞方法。 你的任務(wù)是：擬定一個方案，確定消息應(yīng)該從那些人手中傳遞到那些人手中，使得最終計劃的可靠性最大。,輸入文件： 第一行:兩個整數(shù)N和K，分別是間諜的總?cè)藬?shù)和計劃包含的消息總數(shù)。 第二行:2n個數(shù)，前n個數(shù)實(shí)數(shù)AS1, AS2, , ASn（范圍在0, 1以內(nèi)）;后n個數(shù)是整數(shù)AM1, AM2, , AMn。 第三行:n個整數(shù)，其中第i（i = 1, 2, , n）個整數(shù)如果為0表示間諜i與敵軍情報部不進(jìn)行聯(lián)系，如果為1則表示間諜與敵軍情報部進(jìn)行聯(lián)系。 第四行開始，每行包括4個數(shù)，依次分別是：

27、代表間諜編號的正整數(shù)i和j，間諜i和j聯(lián)系的安全性參數(shù)Sij（0, 1范圍內(nèi)的實(shí)數(shù)），以及i、j之間傳遞的最大消息數(shù)Mij（每以行的i均小于j）。 最后一行包含兩個整數(shù)-1 1，表示輸入數(shù)據(jù)的結(jié)束。 0 n 300, 0 k 300。 輸出文件： 輸出文件中只有一行。這一行中包含一個實(shí)數(shù)P，給出的是整個計劃的可靠程度P，保留5位有效數(shù)字（四舍五入）。 如果情報根本不能將K條消息傳到敵軍手中，那么計劃的可靠性為0。（你可以假定，如果計劃存在，那么它的可靠性大于1e-12）,輸入輸出樣例 Agent.in Agent.out 6 13 0.00021184 0.9 0.7 0.8 0 0 0 2

28、6 8 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 4 0.5 2 2 3 0.9 5 2 5 0.8 2 2 6 0.8 7 3 5 0.8 2 5 6 0.8 4 -1 -1,分析,題目中的“總部”、“敵軍情報部”與“間諜”的地位是完全相等的，為了方便敘述可以將兩者亦看作是間諜：“總部”編號為0、“敵軍情報部”編號為n+1。那么S0i = ASi，M0i = AMi；若間諜i可以與敵軍司令部直接聯(lián)系Si,n+1=1, Mi,n+1=+，否則Si,n+1=0, Mi,n+1=0。 我們構(gòu)造帶費(fèi)用的網(wǎng)絡(luò)流圖G = (V, E, M, S)。（M為容量，S位費(fèi)用） 第i個間諜抽象成頂點(diǎn)i，另外增加匯

29、點(diǎn)T。所有頂點(diǎn)構(gòu)成的集合記為V。 若Mij0，則存在弧和：其容量皆為Mij；費(fèi)用Sji =Sij = ln(Sij)。 增設(shè)弧，其容量為k，費(fèi)用為0。 然后以V0為源點(diǎn)、T為匯點(diǎn)求最大費(fèi)用最大流。若流量小于k，則不存在可行方案 不然則最大可靠性為：,證明,設(shè)最大費(fèi)用最大流的費(fèi)用為Cost，那么： 因為Cost達(dá)到最大，所以可靠性也達(dá)到最大。證畢。,思考題3：Plan問題,某軟件公司有n個可選的程序項目，其中第i個項目需要耗費(fèi)資金ai元，開發(fā)成功后可獲收益bi元。 當(dāng)然，程序項目之間不是獨(dú)立的：開發(fā)第i個項目前，必須先開發(fā)出一些其他的項目（正如開發(fā)Office前必須開發(fā)Windows）。這些項目

30、就稱為第i個項目的“前趨項目”。 現(xiàn)在給出所有項目的ai、bi，以及前趨項目。你的任務(wù)是：幫助該公司從這n個程序項目中選擇若干個進(jìn)行開發(fā)，使得總收益最大。 輸入文件： 輸入文件有n + 3行。 第1行包含一個整數(shù)n（1n200）。 第2行有n個正整數(shù)a1, a2, , an。 第3行有n個正整數(shù)b1, b2, , bn。 第i + 3行（1in）包含若干正整數(shù)：ri, k1, k2, , kri。第一個數(shù)ri表示第i個項目共有多少前趨項目；接下來有ri個正整數(shù)k1, k2, , kri，分別表示每個前趨項目的編號。 輸出文件： 輸出文件只有一個整數(shù)max，表示最大收益。,分析,令di = bi ai，A = i | di 0，B = i | di ，容量為di。 對所有的iB，存在弧，容量為|di|。 若第i個項目的某前趨項目編號為j，則存在弧，容量為+。 然后對此網(wǎng)絡(luò)流圖求最大流，設(shè)為f。 根據(jù)f易得最小割切（U, W）（即最大流最小割定理） 那么選擇的項目集合就是U，其最大收益即：,思考題4：最大獲利,THU集團(tuán)的CS&T公司得到了一共N個可以作為通訊信號中轉(zhuǎn)站的地址，建立第i個通訊中轉(zhuǎn)站需要的成本為Pi（1iN）。 另外公司用戶群一共M個。關(guān)于第i個用戶群的信息概括為Ai, Bi和Ci：這些用戶會使用中轉(zhuǎn)站Ai和中轉(zhuǎn)站Bi進(jìn)行通訊，公司可以獲益Ci。（1iM, 1Ai,