1、第13章 結(jié)構(gòu)的動(dòng)力計(jì)算,13-2 單自由度體系的自由振動(dòng),13-3 單自由度體系的強(qiáng)迫振動(dòng),13-4 阻尼對振動(dòng)的影響,13-5 多自由度體系的自由振動(dòng),13-6 多自由度體系主振型的正交性和主振型矩陣,13-7 多自由度體系在簡諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動(dòng),13-11 近似法求自振頻率,13-1 動(dòng)力計(jì)算的特點(diǎn)和動(dòng)力自由度,1 結(jié)構(gòu)動(dòng)力計(jì)算的特點(diǎn),若荷載對結(jié)構(gòu)所產(chǎn)生的影響與靜荷載相比相差甚微 按靜荷載考慮； 若荷載對結(jié)構(gòu)所產(chǎn)生的影響與靜荷載相比相差甚大 按動(dòng)荷載考慮.,動(dòng)荷載與靜荷載的區(qū)別,動(dòng)荷載(大小、方向、作用位置）隨時(shí)間變化。,動(dòng)力計(jì)算與靜力計(jì)算的區(qū)別,(1)平衡方程中包括慣性力。,(2)

2、平衡方程是瞬間平衡,荷載和內(nèi)力都是時(shí)間的函數(shù),15-1 動(dòng)力計(jì)算的特點(diǎn)和動(dòng)力自由度,2 動(dòng)荷載的分類,典型的周期荷載是 簡諧荷載。機(jī)器轉(zhuǎn) 動(dòng)部分引起的荷載 屬于簡諧荷載,第一類周期荷載：荷載隨時(shí)間作周期性的變化。,簡諧荷載：可用正弦或余弦函數(shù)表示,非簡諧性的周期荷載,各種爆炸荷載屬于這一類,第二類沖擊荷載：荷載在很短的時(shí)間內(nèi)急劇增大或減小。,地震荷載和風(fēng)荷載是隨機(jī)荷載的典型例子,第三類隨機(jī)荷載：荷載在將來任一時(shí)刻的數(shù)值 無法事先確定。,某次地震波時(shí)程,3 動(dòng)力計(jì)算中體系的自由度,自由度:為了確定運(yùn)動(dòng)過程中任一時(shí)刻全部質(zhì)量的位 置所需確定的獨(dú)立幾何參數(shù)的數(shù)目.,動(dòng)力體系的簡化方法,(1)集中質(zhì)量

3、法,*(2)廣義質(zhì)量法 *(3)有限元法,質(zhì)點(diǎn)體系自由度的幾種情況,自由度為1,a 梁式桿（不計(jì)軸變）,自由度為2,自由度為1,自由度為2,自由度與質(zhì)體 的數(shù)目無關(guān),b 彈簧支撐,自由度為2,彈簧和桁架桿不影 響體系的自由度,自由度為2,c 考慮軸變的桁架桿,舉例,自由度為1,自由度為3,13-2 單自由度體系的自由振動(dòng),達(dá)朗伯原理 dAlemberts principle,ky(t),y(t),k,彈性力,與位移方向相反 慣性力,與加速度方向相反,FP(t),FP(t),必須明確的是,由牛頓第二定律得:,整理得:,體系在動(dòng)荷載、彈性力和慣性力的共同作用下處于動(dòng)態(tài)平衡,1 振動(dòng)方程的建立,剛度

4、法 體系在慣性力作用下 處于動(dòng)態(tài)平衡。,柔度法 質(zhì)體的動(dòng)位移等于質(zhì)體在 慣性力作用下的靜位移。,由剛度系數(shù)和柔度系數(shù)互為倒數(shù)可知，兩種方法建立的振動(dòng)微分方程是等價(jià)的。,對于超靜定結(jié)構(gòu)，剛度系數(shù)容易確定，常用剛度法； 對于靜定結(jié)構(gòu)，柔度系數(shù)容易確定，常用柔度法,2 振動(dòng)方程的解,將振動(dòng)微分方程改寫為,代入初始條件,通解,得動(dòng)位移為,總動(dòng)力位移,將動(dòng)位移表達(dá)式改寫成單項(xiàng)式,初始相位角,振幅（amplitude of vibration）,3 結(jié)構(gòu)的自振周期和圓頻率 （natural period and natural circular frequency ）,周期,頻率,圓頻率,完成一次振動(dòng)需要

5、的時(shí)間,單位時(shí)間內(nèi)完成振動(dòng)的次數(shù),2個(gè)單位時(shí)間內(nèi)完成振動(dòng)的次數(shù),先明確幾個(gè)定義,計(jì)算公式的幾種形式,自振周期的特性,（1）自振周期只與體系的質(zhì)量和剛度有關(guān)，與外界因素?zé)o關(guān)。,（2）自振周期與質(zhì)量的平方根成正比，與剛度的平方根成反比。,（3）自振周期相近的體系，動(dòng)力性能基本一致。,4 例題,例題1 求圖示單層剛架的自振頻率和周期,解,(1)超靜定剛架，采用剛度法,(2)畫質(zhì)體發(fā)生單位位移時(shí)的彎矩圖。,(3)取隔離體，列平衡方程，求剛度系數(shù),(4),EA=,k,12i/l2,體系,單位側(cè)移時(shí)的彎矩圖,隔離體,EI,EI,EI,EI,l,l,m,12i/l2,12i/l2,12i/l2,1,解,(3

6、),(2) 建立振動(dòng)方程,(1),例題1 建立圖示體系的振動(dòng)方程,求體系的自振頻率和周期,例題2 求圖示伸臂梁體系的自振遠(yuǎn)頻率和周期,解,(1)靜定梁，采用柔度法,(2)畫質(zhì)體單位力下的彎矩圖。,(3)彎矩圖自乘，求柔度系數(shù)。,(4),3 例題求圖示體系的自振遠(yuǎn)頻率和周期,3 例題求圖示體系的自振頻率和周期,3 例題求圖示體系的自振遠(yuǎn)頻率和周期,具有共同的自由度時(shí)，各質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量或轉(zhuǎn)動(dòng)慣量才能相加。,3 例題求圖示體系的自振遠(yuǎn)頻率和周期,3 例題求圖示體系的自振遠(yuǎn)頻率和周期,13-3 單自由度體系的強(qiáng)迫振動(dòng),1 強(qiáng)迫振動(dòng)微分方程的建立,剛度法 體系在慣性力和動(dòng)荷載的共同作用下處于動(dòng)態(tài)平衡。,柔度

7、法 質(zhì)體的動(dòng)位移等于質(zhì)體在慣性力和動(dòng)荷載的共同作 用下的靜位移。,動(dòng)力微分方程為,剛度法,等效動(dòng)荷載,當(dāng)荷載不作用在質(zhì)體上時(shí),只需求出等效動(dòng)荷載寫在等號(hào)右側(cè)即可.,柔度法,質(zhì)體動(dòng)位移以向下為正,等效動(dòng)荷載,質(zhì)量對應(yīng)的是同一個(gè) 自由度，可以相加。,2 振動(dòng)方程的解,將振動(dòng)微分方程寫成,二階常系數(shù)非齊次方程,齊次通解,將特解代入方程,得,非齊次特解,1) 簡諧荷載,全解為,代入初始條件,瞬態(tài)振動(dòng) 由于阻尼的存在很快消失,穩(wěn)態(tài)振動(dòng)特解,考慮穩(wěn)態(tài)振動(dòng),動(dòng)荷載幅值當(dāng)作靜載 作用時(shí)質(zhì)體的位移,動(dòng)力系數(shù),動(dòng)力系數(shù)的討論,增加,增加,共振,增加,降低,（剛性方案）,（柔性方案）,增大剛度,減小剛度,減小振幅的

8、方法,非齊次特解,代入方程，得,故,分母為零失效,令非齊次特解,共振時(shí)動(dòng)力位移會(huì)突然增大嗎?,非齊次通解,零初始條件,共振時(shí)，位移是隨時(shí)間逐漸增大。時(shí)間越短，位移越??；對于轉(zhuǎn)速高的機(jī)器，在啟動(dòng)或停車的過程中，應(yīng)迅速通過共振區(qū)。,利用共振振幅突出大的特點(diǎn)，不斷改變機(jī)器的轉(zhuǎn)速，可以測定自振頻率。,故,三者同時(shí)達(dá)到最大值。, 為負(fù)數(shù)時(shí)，位移和慣性力與動(dòng)荷載方向相反。,慣性力與位移總是同向。,動(dòng)荷載、動(dòng)位移、慣性力三者的關(guān)系,例題,試求剛架在動(dòng)荷載作用下的質(zhì)體振幅和柱端剪力和彎矩。,解,（1）質(zhì)體振幅,（2）柱端剪力和彎矩,在挑梁上有一電動(dòng)機(jī)，擾力,的幅值為 F=4.9kg，轉(zhuǎn)數(shù)為n=1200轉(zhuǎn)/分，

9、質(zhì)量為m=123kg。梁截面轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I=78cm4，彈性模量為E=2.1106kg/cm2，長為l=1m。試求梁端最大動(dòng)位移和動(dòng)彎矩圖。,解,（1）自振圓頻率,（2）頻率比,（3）靜位移和動(dòng)力系數(shù),（4）梁端最大動(dòng)位移,（5）固定端最大動(dòng)彎矩,動(dòng)內(nèi)力是動(dòng)荷載和慣性 力共同作用下產(chǎn)生的.,慣性力幅值,動(dòng)荷載幅值,m,2a,2a,a,已知: ，EI=常數(shù)。試求：質(zhì)體振幅和動(dòng)彎矩幅值圖。,解（1）質(zhì)體振幅,（2）動(dòng)彎矩幅值圖,m,l/2,已知:EI=常數(shù)。試求：質(zhì)體和梁兩端轉(zhuǎn)角的位移幅值。,解（1）質(zhì)體振幅,l/2,（2）兩端的轉(zhuǎn)角位移振幅,力不作用在質(zhì)點(diǎn)上時(shí)，體系沒有統(tǒng)一的動(dòng)力系數(shù),2 一般動(dòng)荷

10、載：將動(dòng)荷載分成一系列瞬時(shí)沖量,（2）質(zhì)體以這個(gè)速度作為初速度,開始 作自由振動(dòng)t時(shí)刻的動(dòng)位移為,（3）將時(shí)刻t之前的每一個(gè)瞬時(shí)沖量的反應(yīng)進(jìn)行疊加,（1）突加荷載,（2）短時(shí)荷載,（3）線性漸增荷載, 1 2；,如果升載時(shí)間很短( tr T/4)， 接近2，相當(dāng)于突加荷載；,如果升載時(shí)間很長( tr 4T)， 接近1，相當(dāng)于靜荷載。,1 有阻尼的自由振動(dòng),其解為,13-4 阻尼對振動(dòng)的影響,這兩種情況下的動(dòng)位移具有衰減的性質(zhì),不具有波動(dòng)的性質(zhì).,阻尼過大,由于外界干擾積聚的能量均用于消耗阻尼,沒有多余的能量再引起的振動(dòng),影響小,可以忽略,阻尼對自振特性的影響,阻尼越大,衰減速度越快,或,通過實(shí)

11、測振幅,可以測定阻尼比,阻尼對振幅的影響,例題,解,在橫梁處加F=98kN的水平力，橫梁發(fā)生側(cè)移y0=0.5cm。突然釋放。測得周期Tr=1.5s，一個(gè)周期后，橫梁的側(cè)移為y1=0.4cm。試求：質(zhì)體的質(zhì)量、對數(shù)衰減率、阻尼比。,1 有阻尼的強(qiáng)迫振動(dòng),（2）質(zhì)體以這個(gè)速度作為初速度，開始 作自由振動(dòng)t時(shí)刻的動(dòng)位移為,（3）將時(shí)刻t之前的每一個(gè)瞬時(shí)沖量的反應(yīng)進(jìn)行疊加,（1）突加荷載,圖13-28,(2)簡諧荷載,只考慮穩(wěn)態(tài)振動(dòng),寫成單項(xiàng)式,振幅,相位差,（1） / 對的影響,/ 1時(shí)，1，F(xiàn)(t) 可作為靜力荷載F處理。,/ 1時(shí)， 0， 做極微小的振動(dòng)，動(dòng)位移 0 。,/ =1的附近，阻尼對影

12、響明顯。 大、小。,0.75 / 1.3共振區(qū) 共振區(qū)以外不考慮阻尼的影響，按無阻尼計(jì)算。, 的最大值并不發(fā)生在/ =1處。,實(shí)際中,（2） / 對的影響, 位移與動(dòng)荷載同步。, 最大位移處，動(dòng)荷載與彈性 力平衡。,討論三個(gè)典型情況, 與彈性力相比,阻尼力和慣性 力都很小。,動(dòng)荷載的作用相當(dāng)于靜載, 動(dòng)荷載振動(dòng)很慢。, 位移滯后動(dòng)荷載900。, 動(dòng)荷載與阻尼力平衡。,共振時(shí),增大阻尼,可以降低位移, 位移與動(dòng)荷載反向,滯后1800。, 與慣性力相比,彈性力與阻尼 力很小。, 動(dòng)荷載振動(dòng)很快。, 動(dòng)荷載與慣性力平衡。,例題,解,已知:機(jī)器的轉(zhuǎn)速為n=800轉(zhuǎn)/分,擾力幅值F=3T,地基剛度k=1

13、34000T/m,機(jī)器和基礎(chǔ)的重量為Q=156T,阻尼比為0.2. 試求：質(zhì)體的振幅。,13-5 多自由度體系的自由振動(dòng),1剛度法兩個(gè)自由度,在慣性力和質(zhì)點(diǎn)位移的作用下，附加約束上的反力為零。,a 振動(dòng)方程,令,兩個(gè)質(zhì)體的運(yùn)動(dòng)具有以下特點(diǎn):,兩個(gè)質(zhì)體具有相同的圓頻率和相位角.,兩個(gè)質(zhì)體的位移比值不變.,b 振型方程和頻率方程,將位移表達(dá)式代入振動(dòng)方程,振型方程,振型,取非零振型解,則,展開,得,從小到達(dá)排列:1:第一頻率或基本頻率; 2:第二頻率;,頻率方程或 特征方程,將=1代入振型方程,第一振型,此時(shí),位移為,一般情況下,振動(dòng)是兩種振型的組合,例題 試求圖示體系的頻率和振型,解,(1)求剛

14、度系數(shù),(2)求頻率,若,則,討論,(3)求振型,第一振型的初始條件容易滿足, 所以位移中第一振型的比例較大,例題 試求圖示體系的頻率和振型,解,(1)求剛度系數(shù),(2)求頻率,解得,(3)求振型,1剛度法多個(gè)自由度,a 振動(dòng)方程,寫成矩陣形式,簡寫為,b 振型方程和頻率方程,代入振動(dòng)方程，得到振型方程,令位移解為,頻率方程為,展開頻率方程,得到n個(gè)頻率，按從小到大排列。,將=i代入振型方程，得,n個(gè)方程不獨(dú)立，一般令其中一個(gè)元素為1，得到振型向量的其它元素。,其中第i振型向量,1例題 已知 m1=2m， m2=m3=m， k1=k， k2=k/3， k3=k/5， 橫梁剛度EI=。試求圖示體

15、系的頻率和振動(dòng)，,m1,解,(1)求剛度系數(shù),m2,m3,k1,k2,k3,(2)形成剛度矩陣和質(zhì)量矩陣,解得,將=1代入振型方程,得,(2)求振型,展開,令Y31=1，解得,同理，可求得第二、第三振型,2柔度法,a 振動(dòng)方程,在慣性力的作用下，質(zhì)體的位移等于實(shí)際動(dòng)位移。,振動(dòng)方程,令,b 振型方程和頻率方程,展開頻率方程,得,頻率為,將=1, =2分別代入振型方程,得,例題 試求結(jié)構(gòu)的自振頻率和振型.EI=常數(shù),m1=m2=m,m1,m2,l/3,l/3,l/3,解,(1)求柔度系數(shù),(2)求頻率,(3)求振型,例題 試求結(jié)構(gòu)的自振頻率和振型.,解,(1)求柔度系數(shù),(2)求頻率,(3)求振

16、型,2柔度法多自由度體系,a 振動(dòng)方程,寫成矩陣形式,簡寫為,令,b 振型方程和頻率方程,將位移表達(dá)式代入振動(dòng)方程,振型方程,令,例題 試求結(jié)構(gòu)的自振頻率和振型.EI=常數(shù),m,m,l/4,l/4,l/4,l/4,m,解,(1)求柔度系數(shù),(2)求頻率,(3)求振型,令每個(gè)振型的第一個(gè)元素為1，得,13-6 多自由度體系振型的正交性和振型矩陣,1振型的正交性,若體系按第一振型振動(dòng)，則,功的互等定理,寫成矩陣形式,簡寫,一般地,同理,振型對質(zhì)量矩陣正交,振型對剛度矩陣正交,利用正交性判斷各振型的形狀特點(diǎn)和所求振型是否正確,由第k振型方程,利用廣義剛度和廣義質(zhì)量求自振頻率,利用廣義剛度和廣 義質(zhì)量

17、求自振頻率,利用正交性判斷各振型的形狀特點(diǎn)和所求振型是否正確,利用正交性進(jìn)行位移按振型的分解,位移按振型分解,2振型矩陣,1剛度法,y1,y2,在荷載、慣性力和質(zhì)點(diǎn)位移的作用下，附加約束上的反力為零。,a 振動(dòng)方程,位移幅值為,位移幅值為,若,則,n個(gè)自由度體系有n個(gè)共振區(qū),（1）共振問題,荷載,位移,慣性力,荷載、位移、慣性力同時(shí)達(dá)到幅值。 可以直接列幅值方程，求動(dòng)位移和動(dòng)內(nèi)力幅值。,（2）荷載、位移、慣性力同步,13-7 多自由度體系在簡諧荷載下的強(qiáng)迫振動(dòng),例題,解,(1)求剛度系數(shù),(2)求位移幅值,試求圖示體系的動(dòng)位移幅值。已知：,動(dòng)力吸振 器原理,1例題,m1,EI1=,m2,k1,

18、k2,EI1=,h,h,解,(1)求剛度系數(shù),(2)求位移幅值,已知,。求：一、二層樓,面的位移幅值、慣性力幅值及柱底截面彎矩值。,由已知條件知:,（3）計(jì)算慣性力幅值,（4）計(jì)算內(nèi)力：將荷載幅值和慣性力幅值作用在結(jié)構(gòu)上， 按靜力進(jìn)行計(jì)算,1剛度法:多自由度,a 振動(dòng)方程,2柔度法,a 振動(dòng)方程,質(zhì)體在慣性力和荷載的作用的靜位移等于動(dòng)位移。,FP2,FP1,已知：EI=常數(shù)，,解：,(1)求柔度系數(shù)和自由項(xiàng),(2)振幅,求振幅和動(dòng)彎矩圖及動(dòng)剪力圖.,（3）慣性力幅值,多自由度體系沒有統(tǒng)一的動(dòng)力系數(shù),位移動(dòng)力系數(shù),彎矩動(dòng)力系數(shù),剪力動(dòng)力系數(shù),13-8 多自由度體系在一般荷載下的強(qiáng)迫振動(dòng),振型疊加

19、法,a 振動(dòng)方程,先復(fù)習(xí)廣義剛度質(zhì)量阻尼矩陣及正交性，并定義廣義荷載矩陣和已知位移和振型求正則坐標(biāo)的公式。,例題,（1）求廣義質(zhì)量,（2）求廣義荷載,（3）寫出正則坐標(biāo)方程，求正則坐標(biāo),（3）求動(dòng)位移,0.1054,2.4113,2.5167,2.3059,總位移幅值,1,1,1,1,（4）討論,第一振型在動(dòng)位移中比例大的主要原因是第一振型的頻率低。,若動(dòng)荷載做如下變化,雖然全部為第二振型，但位移值很小。因此，實(shí)際工程中如果有這樣的情況發(fā)生，動(dòng)荷載的作用也可忽略不計(jì)。,例題,試用振型分解法計(jì)算圖示體系的動(dòng)位移。已知：,解,(1)建立振動(dòng)方程,（1）求廣義質(zhì)量,（2）求廣義荷載,（3）寫出正則坐標(biāo)方程，求正則坐標(biāo),（3）求動(dòng)位移,（4）若只考慮第一振型,則誤差為,在中低層地震反應(yīng)簡化分析方法中只考慮第一振型.,13-11近似法求自振頻率,1能量法求第一頻率瑞利法,出發(fā)點(diǎn)：無阻尼彈性體自由振動(dòng)時(shí)，任一時(shí)刻的總能量保持不變。,推論：最大應(yīng)變能=最大動(dòng)能。,等截面簡支梁自由振動(dòng)時(shí)，位移為,梁的彎曲應(yīng)變能為,最大值,梁的動(dòng)能為,最大值,若,則,速度為,若梁上有集中質(zhì)量，則,如果取結(jié)構(gòu)自重下的變形曲線作為位移函數(shù),則