1、本文作者：譚浩，趙羚，嚴哲峰，獲 9 8 全賽成功參賽獎. 摘要 本文借鑒了金融投資理論，在進一步明確“風險”和“總風險”這兩個概念 的基礎(chǔ)上，將本問題歸并為非線性規(guī)劃問題。在求解過程中，充分利用了 G i n o 軟件，并提出了多種求解準則。 首先，文中提出了一個“基本模型” 。接著為使求解方案更接近實際，文中 通過修正“總風險”的定義，提出了穩(wěn)利降險、限險求利、圖形模擬等模型， 繪制了 “收益風險遍歷圖” ， 使針對不同類型的投資者的投資方案更具有直觀性， 并對模型進行了優(yōu)化。然后，我們?yōu)槭鼓Ｐ透臃蠈嶋H，提出了兩種改進方 案。我們還借鑒層次分析法的思想，引入了對方案的評估準則。另外，我

2、們將 模型推廣到一個相當長的時期，并得到了一個新的連續(xù)性模型。最后，本文探 討了本模型在其他領(lǐng)域內(nèi)的一些應(yīng)用。 問題的提出 隨著社會經(jīng)濟的發(fā)展，人們逐漸地認識到，為了獲得較好的收益，應(yīng)將閑置資金 進行投資。某公司有數(shù)額為 M 的資金要用于投資，公司的財務(wù)分析人員對可投資的 n 種資產(chǎn) Si (i =1 n)進行了評估，預(yù)測出了 Si的風險 qi和平均收益率 ri。同時公司規(guī)定， 當購買若干種資產(chǎn)時，總風險由投資量最大的資產(chǎn)的風險來度量。 購買 Si應(yīng)付的交易費費率為 pi，并且當購買量不超過定值 ui時，交易費按購買額 為 ui來計算。另外，同期銀行的存款利率為 5%，且交易費和風險均為零。

3、現(xiàn)要求給出一種投資組合方案，使凈收益盡可能大，而總風險盡可能小。 符號說明及定義 M：公司可以投資的總資金 Si(i=1,2 n)：表示各種可投資的資產(chǎn) S0：銀行 Xi：購買 Si的資金份額，以百分比表示 ： 表示設(shè)定的風險。 Ri: 購買 Si的平均收益率 qi： Si的風險 Q：投資組合總風險 pi：購買 Si的費率 ui： 投資界限 當購買 Si費用低于 ui時，交易費為 uipi Rj：投資方案總的凈收益率 Rji：Si的平均凈收益率，其值為 ripi Rjs：投資方案總的凈收益 Rjsi：投資 Si的凈收益 Rjp：某一時期內(nèi)的市場平均收益率 Ai：Si所占市場份額 Hi：Si的市

4、場價格 Gi：Si的上市量 Sat：投資方案滿意度 滿意度評判標準：當兩種方案擁有相同的凈收益率時，如果其中一個的風險 比另一個小時， 我們就稱前者的滿意度較高；當兩種方案擁有相同的風險時，如果其中一個的凈收益率比另一個小時， 我們就稱后者的滿意度較高；當兩種方案一個的凈收益率比另一個高，同時風險比后者低時，我們稱 前者的滿意度較高；在其他情況下，二者滿意度無法比較。 基本假設(shè) 一， 投資行為只能發(fā)生在開始階段, 中途不得撤資或追加投資。 二， 任一資產(chǎn)可購買量足夠多，足以吸納全部投資資金。 三，幾種資產(chǎn)相互之間不會產(chǎn)生影響，例如股市的漲跌不會影響到債券的 漲跌。 四，財務(wù)分析人員對平均收益率

5、和風險的預(yù)測值是可信的。 五，M值足夠大，大至可忽略 ui的影響。 （因為一般情況下企業(yè)的投資動輒 成百上千萬元，而 ui僅為數(shù)百元，故可忽略其影響） 六，公司總會選擇滿意度高的方案。 問題分析 根據(jù)題中所給條件， 公司的財務(wù)分析人員對 n種資產(chǎn)進行了評估， 估算出了 這一時期內(nèi)購買 Si的平均收益率 ri和風險損失率 qi 。根據(jù)投資理論，衡量某種 資產(chǎn)的優(yōu)劣需要依靠兩個統(tǒng)計指標：平均收益率和圍繞平均收益率的波動程度。 前者用于衡量資產(chǎn)的收益狀況，其定義式為： ri=pr ijij j n = 1 其中 rij表示資產(chǎn) Si的第 j個收益率，pij表示資產(chǎn) Si的第 j個收益率出現(xiàn)的概 率。

6、 后者用于衡量證券的風險狀況，關(guān)于風險的定義，我們查找了有關(guān)資料： （1） 指資產(chǎn)未來的實際報酬低于預(yù)期報酬的機率，或是可能發(fā)生損失的機 率。 1 （2） 指投資者不能獲得預(yù)期投資收益或遭受損失的可能性。2 故此，我們按參考書2來定義“風險” ，即： qi=prr ijiji j n = ()2 1 即實際收益與平均收益的均方差。 題中提出當資金用于購買若干種資產(chǎn)時,總體風險可用所投資的 Si中最大的 一個風險來度量.這里我們認為總風險在數(shù)值上與所投資的 Si中投資量最大的 一個資產(chǎn)的風險相等。 模型的建立與求解 基本模型 ? , 模型假設(shè)：由問題分析可知，在問題 1的情況下，風險值只能是 2

7、.5%， 1.5%，5.5%，2.6%，0%中的某一個。 ? , 模型的建立與求解： 當風險為 2.5%時， 此時購買 S1的資金超過了 M的一半。 剩余的資金為了追 求最大收益，都將會購買凈收益率最大的資產(chǎn)。最后發(fā)現(xiàn)所有的資金全部購買 了 S1。凈收益率為 27%。 當風險為 1.5%時，可得購買 S1和 S2的資金大約各占一半，S2所耗資金略多 一點。凈收益率約為 23%。 當風險為 5.5%時，可得購買 S1和 S3的資金大約各占一半，S3所耗資金略多 一點。凈收益率約為 22.5%。 當風險為 2.6%時，可得購買 S1和 S4的資金大約各占一半，S4所耗資金略多 一點。凈收益率約為

8、22.5%。 當風險為 0%時， 可得購買 S1和 S0的資金大約各占一半， S0所耗資金略多一 點。凈收益率約為 16%。 通過對以上結(jié)果的分析， 我們發(fā)現(xiàn)模型中未體現(xiàn)出總風險隨投資的分散而減 小， 另外當有某種投資所耗資金超過 M的一半時， 無論其余的資金作何種投資， 總風險都不會發(fā)生變化。這些顯然都是不符合實際情況的，因此我們需要對條 件進行完善。 條件完善的模型 為解決基本模型中的一些不符合實際的情況， 我們需要給投資總風險重新定 義。考慮到當同時投資兩種資產(chǎn)時，根據(jù)風險的定義式，其總風險應(yīng)為： qp=Erpjrp =E(X1r1j+X2r2j)(X1r1p+ X2r2p) =X1 q

9、1+X2 q2+2X1X212 式中的12為協(xié)方差,表示兩種資產(chǎn)之間的關(guān)聯(lián)程度,其值越大,表明其關(guān)聯(lián)程 度越大。由基本假設(shè)可知各資產(chǎn)之間沒有聯(lián)系，因此12的值為零。故 qp可表示 為： qp= X1 q1+X2 q2 投資組合的這種特性可以推廣到兩種以上資產(chǎn)的情況。 當有 n種資產(chǎn)時， 如 每一種資產(chǎn) Si的投資比例為 Xi，故有: 定義: Q=Xq ii i n 2 0 = 這樣一來，我們就可得到新的模型。 模型一 穩(wěn)利降險 ? , 模型假設(shè)： 在投資收益和投資風險的矛盾權(quán)衡中， 有許多投資者并不追 求收益率最大或是風險最小， 而是追求在收益率不低于市場平均收益率 的情況下，使其投資的組合風

10、險最小。 ? , 模型建立： 根據(jù)基本假設(shè)中所提出的投資原則， 我們先計算這一時期內(nèi) 的市場平均收益率 Rjp。 設(shè)市場上共有 n種資產(chǎn) Si（i=1 n） 可投資， 另外還可以進行儲蓄。 每種資產(chǎn)的凈收益率為 rji，所占市場份額為 Ai，Hi為 Si的市場價格， Gi為 Si的上市量。可得 R 的表達式為： Rp=Arj ii i n = 0 Ai=（HiGi）/（HG ii i n = 0 ） 由于基本假設(shè)中已設(shè)定各種資產(chǎn)都足夠多，則不妨設(shè)各種資產(chǎn)所 占市場份額均相同。即 A1=A2=A3=A4=A5=1/5，這樣一來： Rp=（rj1+rj2+rj3+rj4+rj0）/5=17.6%

11、就可以得到模型: min 2.5%X1 +1.5%X2 +5.5%X3 +2.6% X4 +5% X0 St. 27%X1+19%X2+18.5%X3+18.5%X4+5%X017.6% 1Xi0 X1+ X2+X3+X4+X0=1 三，模型求解：所得模型是一個線性條件約束下的非線性規(guī)劃模型，我們 可以通過 0.618 法運用迭代來求得最優(yōu)解。 但我們考慮到這類問題的解 法較為復(fù)雜，因此使用計算機進行計算。 我們利用 Gino 軟件進行計算，最后算得當： X1=0%，X2=23.6%，X3=18.6%，X4=13.1%, X0=44.7%時，有最小 風險值 0.32%。(程序見附錄 2.1)

12、模型二 限險求利 一，模型假設(shè)：激烈的市場競爭使得企業(yè)不得不重視風險的存在。為此我 們提出“限險求利”模型，即在風險一定（不大于）的情況下，給出可使總收 益率 Rj最大的投資方案。 二，模型建立：根據(jù)條件，我們可得如下模型： max Rj=Xrj ii i n = 0 S.t. Q=Xq ii i n 2 0 = Xi i n = 0 i=1 1Xi0 模型求解： 我們使用規(guī)劃軟件 Gino 求解問題一， 結(jié)果見表一。（程序見附錄 2 . 2 ） (%) Rj(%) S1(%) S2(%) S3(%) S4(%) 銀行存款(%) 0.2 14.24679 19.036 20.181 5.256

13、 11.288 44.238 0.4 18.07683 26.899 28.613 7.508 15.849 21.131 0.6 21.01571 33.026 34.949 9.189 19.383 3.453 0.8 22.74902 48.258 29.419 7.180 15.142 0.000 1.0 23.60735 58.654 24.359 5.420 11.567 0.000 1.5 25.05522 76.127 16.112 2.512 5.204 0.000 2.0 26.12382 89.114 9.822 0.329 0.735 0.000 2.4 26.8373

14、5 97.967 2.033 0.000 0.000 0.000 2.5 27.00000 100.00 0.000 0.000 0.000 0.000 2.6 27.00000 100.00 0.000 0.000 0.000 0.000 3.0 27.00000 100.00 0.000 0.000 0.000 0.000 4.0 27.00000 100.00 0.000 0.000 0.000 0.000. 5.5 27.00000 100.00 0.000 0.000 0.000 0.000 表一: 限險求利表 * 表格說明：對于問題一，表中給出：當 Q 在一定范圍內(nèi)（Q ）時， R

15、j的最大值及此時各資產(chǎn)的 配額。 模型三 圖形模擬 在前兩個模型中，我們給出了風險一定，收益最高和收益一定，風險最低的 方案，并給出了一些數(shù)據(jù)進行對比。但是在實際投資情況下，由于投資公司的人 員配備，資金多少，管理模式各不相同，從而使投資方案差異很大，他們的方案 也不單純以險定利高或利定險高為最終目的。 為了對總收益與總風險進行綜合考 慮，我們建立二維坐標（Rj- Q） 。 為了較好地模擬公司的投資，可以將投資公司的投資方案傾向分成三類： 1、穩(wěn)妥型（如圖一） 。此方案追求的是風險與投資均衡，即高風險高收益或低 風險低收益 。 2、保守型（如圖二） 。此方案追求的是風險低，而不在意收益較低。

16、3、激進型（如圖三） 。此方案追求的是收益高，而不在意風險相當高。 穩(wěn)妥投資方案圖 保守投資方案圖 激進投資方案圖 *圖形說明： 同一條曲線上的點對投資公司而言沒有區(qū)別，滿意度一樣，故稱為無差別曲線。每一種投資類型為 曲線族（兩兩曲線不相交） 。曲線與 Y 軸截距越大，說明投資者的滿意度越高。 當各資產(chǎn)投資份額不同時，即給 S1，S2，S3，S4，S0（銀行）投資各不相同時， 將會得到市場總收益與市場總風險的對應(yīng)關(guān)系，在二維坐標（Rj- Q）中其表示 為二維圖形。 我們利用 C 語言進行編程，用離散量來模擬連續(xù)量，使四種資產(chǎn)以從 0%配 額開始，到 100% 結(jié)束（因五種配額總和為 100%，

17、四種確定，另一種也確定） ， 每次增加 0.5%，共模擬上億個點，得到圖四(Rj- Q）- - - 收益風險遍歷圖。 （程序 見附錄 2.5） 圖四 收益風險遍歷圖 圖五 * 圖形說明： 圖五上的閉合曲線為圖四中所有白點的包絡(luò)線. 依據(jù)實際情況, 我們可知: A點坐標為 （0 ， 5 ） ， 其對應(yīng)的投資方案是將全部資金都存入銀行; B 點坐標為（2 . 5 ，2 7 ） ，其對應(yīng)的投資方案是將所有的資金 都購買了資產(chǎn) S1。 定理: 滿意度最好的投資方案必為曲線 ABC 上的點 證明如下： 對于圖五 1 、 過 C 點做垂直線的 DE。 2 、 對位于 DE 右邊的 Rj- Q 點（包括 D

18、E 上的） ，其風險高于 C 點，收益低于 C 點，故他們的滿意度不如 C 點。 3 、 對位于 DE 左邊的 Rj- Q 點（不在曲線 ABC 上） ，任意選取一點 F，過 F 點作垂直線與曲線 ABC 交于 G 點，則 F 點的風險與 G 點相同，而收益小于 G 點，其滿意度不如 G 點。 4 、 由 2，3 知，若要使?jié)M意度最好，投資方案必為曲線 ABC 上的點。 定義曲線 ABC 為投資線，其上的點之間的滿意度無法直接比較,故采取何種方 案由投資公司的投資傾向決定，不妨以穩(wěn)妥型為例 圖六 穩(wěn)妥型方案選擇圖 曲線交點為可選方案（D,E,F） ，由于與 Y 軸截距越大曲線滿意度越高，故 F

19、 方案最佳。 保守型與激進型類似， 找出與 ABC 有交點且與 Y軸截距最大的曲線， 此交 點即為最佳方案。如圖七，八。 圖七 圖八 保守型方案選擇圖 激進型方案選擇圖 *圖形說明：找與 ABC 有交點且與 Y 軸 截距最大的曲線，則交點為最佳方案。 由這種方法， 我們就可以從總體上對各公司在實際情況下的大概決策有一個 比較直觀的了解。 模型改進 完全用窮舉法有很大的局限性， 當資產(chǎn)種類較多時，此法不可行。實際上從 圖四我們知道，關(guān)鍵在于如何畫出投資線附近點，將投資線勾勒出，而不必要 畫出所有點。為此我們提出一種方案，約束搜索范圍，降低復(fù)雜度。 定理：對于 Sa, Sb兩種資產(chǎn)，若 qaqb,

20、 r jar jb, Sa滿意度低于 Sb，對投資 線上的點的資產(chǎn)配額中必有 Xa2 qbXb/ ( qa- qb ) （一式） 證： 1 有 Xaqa+Xbqb(Xa+Xb)qb 反證： 若不是的話，將 Sa份額 Xa投入到 Sb中，由于 rjarjb, 則： Xarja+Xbrjb(Xa+Xb)rjb,則新方案收益不低于原方案。又由于 Xaqa+Xbqb(Xa+Xb)qb,則新方案風險低于原方案，故新方案滿意度高于原方案。因 為投資線上的點為滿意度最高的點，故原方案不在投資線上，這與題設(shè)矛盾。故必有 Xaqa+Xbqb(Xa+Xb)qb。 2由 Xaqa+Xbqb(Xa+Xb)qb，進行化

21、減合并得出下式： Xa2qbXb/ ( qa- qb) , 證明成立。 由于能夠降低 Xa的搜索范圍，這樣就可以除去大量的無用點，從而降低了 復(fù)雜度。注意到可將（一式）轉(zhuǎn)化為： Xa2Xb / (qa/qb- 1) （二式） 從此式可以看出：qa與 qb差距越大，Xa的搜索范圍越小 ，除去的無用點越 多。 根據(jù)題一所給數(shù)據(jù)，組（S3，S1） ， （S3，S2） ， （S3，S4） ， （S4，S1） ， （S4，S2） 均具有以上約束關(guān)系，依據(jù)此種約束關(guān)系可以大大提高效率。為此,我們對原程 序進行修改,得到比較圖圖九，在步長為 1%時，原程序耗時 82.54秒，而改進程 序耗時 27.02秒僅

22、為原來的 32.7%，而兩圖形的投資線極其相近，這說明我們的 改進是正確的。(程序見附錄 2.5) 圖九 *圖形說明：圖九中左邊的圖案為原程序運行結(jié)果，右邊的圖案為改進程序運行結(jié)果，二者比較可以看出， 投資線極其相近，而右邊的圖案比左邊的圖案少很多點。 模型小結(jié) 我們可以證明三個模型的結(jié)果是統(tǒng)一的。 以模型三為例： 在圖五中， 我們得到只有在曲線 A B C 上的點才會對應(yīng)著最優(yōu) 的投資組合。 模型一實質(zhì)上是在確定了凈收益率的情況下， 尋求風險最小的投資方案。 對 應(yīng)到圖五上，即是求一條平行與水平軸的直線與所得區(qū)域相交的點中 Q 值最小 的一點。顯然，所求點為水平直線與曲線 A B C 的交點

23、。可見，二者的結(jié)果是一 致的。 模型二是在限定了風險的情況下， 尋求凈收益率最大的投資方案。 對應(yīng)到圖 五上，即是在平面上取水平坐標為 0 的區(qū)域，并求該區(qū)域與所得區(qū)域的交集中 R j 值最大的點。在小于等于 2 . 5 的時候，該點為過（，0 ）點且與水平軸垂直 的直線與曲線 A B C 的交點。在大于等于 2 . 5 的時候，, 該點恒為 C 點。總之， 所求方案對應(yīng)的點是在曲線 A B C 上的，故這兩種模型的結(jié)果也是一致的。 綜上所述，我們所得的三個模型的結(jié)果是相輔相成的，是可以相互證明的。 一般情況討論 在實際情況下，可投資的資產(chǎn)往往很多，這時我們的模型仍然有效。 我們將題中第二問的

24、數(shù)據(jù)引入模型二。根據(jù)相同的算法，我們得到了在值 不同的情況下的一系列 Q 最優(yōu)解，如下列表格所示。(程序見附錄 2.3) ( %) 1 5 10 15 20 30 40 50 60 Rj(%) 15.7 28.88 35.6 37.6 38.8 40.5 41.6 42.6 43.4 X1 (%) 0.56 1.25 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 X2 (%) 1.78 3.99 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 X3 (%) 6.00 13.4 28.2 41.2 51.7 67.5 80.3 90.7 100 X4

25、 (%) 3.88 8,67 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 X5 (%) 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 X6 (%) 1.34 3.01 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 X7 (%) 4.13 9.27 14.1 16.0 16.3 15.6 12.6 9.24 0.00 X8 (%) 6.47 14.5 10.1 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 X9 (%) 4.56 10.2 11.0 7.20 1.90 0.00 0.00

26、0.00 0.00 X10 (%) 6.77 15.1 21.2 22.1 20.5 15.7 7.06 0.00 0.00 X11 (%) 0.53 1.15 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 X12 (%) 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 X13 (%) 5.56 12.4 15.4 13.4 9.50 1.15 0.00 0.00 0.00 X14 (%) 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 X15 (%) 0.99 2.19 0.00 0.

27、00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 銀行(%) 57.4 4.85 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 ( 由于紙張大小有限, 只得將表格倒置) 表二 雖然我們能夠通過計算機將這些數(shù)據(jù)處理出來， 但我們也應(yīng)想到如果數(shù)據(jù)的 增加引起了計算機的效率下降，或是超出了計算機的內(nèi)存容量時的情況，這就 迫使我們?nèi)ふ乙环N簡化的方法。 我們注意到， 從上面的表格中可以得到這樣的結(jié)論， 有些資產(chǎn)根本得不到投 資，還有一些只能得到很小的投資。因此我們就一定能夠去掉一些不必要的點， 同時不會引入太大的誤差。 當計算各資產(chǎn)的凈收益率時，可發(fā)現(xiàn) S5，S12，S1

28、4三種資產(chǎn)的凈收益率是低 于銀行利率的，但其風險是肯定大于零的。根據(jù)假設(shè)，這三種資產(chǎn)是肯定得不 到投資的。因此這三種資產(chǎn)是可以刪去的，并且不會對結(jié)果產(chǎn)生任何影響。 我們將所有的點畫在一個(Q- Rj)坐標系里，得下圖： 分析圖中各點我們可以發(fā)現(xiàn)， 越是靠上和靠左的點出現(xiàn)的幾率越大。 結(jié)合圖 形的具體意義，我們可知這種性質(zhì)是正確的，越靠上的點其凈收益率越高，越 靠左的點其風險越小。 因此我們只取靠左上區(qū)域的點進行計算，在本題中，我們只取 S3，S7，S8， S9，S10，S13來進行計算，結(jié)果如下. (程序見附錄 2.4) (%) Rj (%) X3(%) X7(%) X8(%) X9(%) X

29、10(%) X13(%) 銀行(%) 1 15.18 6.3 4.35 6.79 4.76 7.1 5.84 64.86 5 27.75 14.06 9.72 15.17 10.69 15.89 13.05 21.42 10 35.59 28.2 14.07 10.08 10.97 21.26 15.41 0 15 37.58 41.22 15.97 0 7.23 22.14 13.44 0 30 40.48 67.51 15.6 0 0 15.73 1.15 0 60 43.4 100 0 0 0 0 0 0 表三 我們給出下面的表格對優(yōu)化前后的情況進行比較,. (%) 0.2 05 10

30、2 5 8 原模型 Rj (%) 9775 1258 15671 201 28876 3411 優(yōu)化模型 Rj (%) 9551 12195 1518 19391 27753 33781 相對誤差 （%） 229 306 313 352 389 096 (%) 10 20 30 40 50 60 原模型 Rj (%) 3558 388 4048 41624 42632 434 優(yōu)化模型 Rj (%) 3558 388 4048 41624 42632 434 相對誤差 （%） 0 0 0 0 0 0 表四 從上表可見，優(yōu)化后的模型其誤差不超過 4%。因此，這種簡化策略是有效 的，的確能夠在不使

31、結(jié)果發(fā)生大的偏差的情況下，使計算大為簡化。 模型改進 前面提出的幾個模型都建立在較為理想化的假設(shè)之上, 但現(xiàn)實生活中并非 如此，故我們對基本假設(shè)進行一些改進以符合實際。 改進一 （1 ） 企業(yè)可根據(jù)需要，向銀行貸出一定數(shù)量款項用于投資。但，數(shù)量有 限（例如不大于自有款項的一半） ，利率也較存款略高（不妨定為 7 % ） ，由于到 期后必須還本付息，故其風險為零。 （2 ） 市場上很可能出現(xiàn)某些資產(chǎn)數(shù)量 Gi不足以吸納全部資金，即：Si上 最多可投入份額 XXi= Gi/M。 對以上兩項， 我們只需對原模型略加修改就能處理， 下以模型二對問題一進 行求解為例： 設(shè)貸款利率 f=7%;XX1=0.

32、5,XX2=0.6,XX3=0.3,XX4=0.8; 貸款量 Xf 5 0 % ; 則模型變?yōu)? max Rj=XRXf ii i n i = 0 S . t. i n = 0 XiXf=1 i n = 0 Xi qi Xi0 XiXXi 對此也可以用 G i n o 來求解, 結(jié)果如下。(程序見附錄 2.7) (%) R j ( % ) X1 (%) X2 (%) X3 (%) X4 (%) 存款(%) 貸款(%) 0.5 19.62 30.080 32.019 8.375 17.699 11.827 0 0.8 23.27 39.363 39.325 10.251 21.740 0 10.

33、679 1.0 25.19 43.976 43.985 11.493 24.312 0 23.766 1.5 28.80 50. 60. 4.790 35.210 0 50 2.0 28.80 50. 60. 0 40 0 50 2.5 28.80 50. 60. 0 40 0 50 表五 由上表不難看出,因為貸款風險為零,故如不是過于懼怕風險,應(yīng)該充分利用 貸款,這與現(xiàn)實生活中企業(yè)都希望盡可能多地獲得貸款的情況很相符。 改進二 為簡化模型, 在基本假設(shè)中, 我們忽略了 ui的影響. 為了使模型更具普遍性, 我們對模型解法作了一些修改, 成功地求出了模型解。 模型改為: max Rjs= i

34、n = 0 Rjsi S.t. 1 . i n = 0 Xi0 2 . i n = 0 Xi=1 3 . 若 XiM = 0 ) , 2 ( x 0 ) 化成 f ( x ) = 4 - ( 1 - A B S ( x ) / x ) 。 運用層次分析法對方案進行評估 不同的公司對同一個方案的滿意程度是不同的， 為適應(yīng)不同的需求， 我們建 立了如下的層次結(jié)構(gòu)： 對于不同的公司， 其對凈收益率和風險的重視程度都不一樣。 不妨設(shè)某公司 的方案評估準則如下： 方案評估 凈收益率 風險 優(yōu)先權(quán)重 凈收益率 1 1/3 1/4 風險 3 1 3/4 表六 現(xiàn)在我們給出兩種投資方案： 方案 一 (%) 二

35、 (%) 凈收益率 25 11 風險 16 7 表七 因為凈收益率越大越好， 而風險越低越好， 所以我們將兩者定義成相除的關(guān) 系，這樣我們可以給出一個關(guān)于滿意度的近似計算式。 Sat 1=(3/425)/(1/416)=4.69 凈收益率風險 方案 方案評估 Sat 2=(3/411)/ ( 1/47)=4.71 Sat 1Sat 2，故對于該公司，方案二優(yōu)于方案一。 但是這種判斷帶有很大的主觀性， 如果另一家公司改用別的評估準則， 很可 能得出截然相反的結(jié)論，所以各公司應(yīng)結(jié)合本公司的實際情況，建立起相應(yīng)的 決策系統(tǒng)進行評估，這樣才能得到比較符合實際的結(jié)果。 模型推廣 前文建立的模型都是離散的

36、模型，即收益、風險和投資量在所研究的時期 內(nèi)保持不變, 這對一個相當短的時期來說與實際符合得很好, 但對一個較長時期 進行討論則顯得力不從心, 所以我們把原來離散的模型推廣成連續(xù)的模型。 模型假設(shè) 1 ， 某種資產(chǎn)的收益率不僅與當時的市場環(huán)境有關(guān)， 還與購買的數(shù)量有關(guān) （大 量的買入或賣出都可能導(dǎo)致價格波動） 。我們分別用購買量 X的函數(shù) f(X)和時間 t 的函數(shù) g(t)來描述其對收益率 R 的影響，即 Ri=fi(X) gi(t) 我們假設(shè)公司財務(wù)分析人員能估算給出一定區(qū)域內(nèi) f(x)- x，gi(t)- t 的圖形。 2 , 取投資開始作為時間軸的原點，投資結(jié)算時刻為 T 。 3 ，對

37、投資方案的評估只考慮整個時期的總收益率和總風險率。 模型建立 1 ，投資 Si在時間段t1,t2內(nèi)的平均收益率 Ri= 1 1 2 0 1 t t t fi(x)gi(t)dxdt t=t2- t1 2 , 其風險 qi=() ()() fgRd x d t ixiti t t 1 2 2 0 1 3 ，t時刻總平均收益率 RtX R ji i n i ( ) = = 0 ( 時間取 0,t ) 4 ，t時刻總平均收益率 Q tX q ji i n i ( ) = = 2 0 ( 時間取 0,t ) 模型求解 模型如下 max RTX R ji i n i ( ) = = 0 S.t. Q T

38、X q ji i n i ( ) = = 2 0 Xi i n = = 0 1 Xi0 * 說明：對于追加投資或撤回投資的情況，由于追加或撤回為離散行為，即公司不可能每時每刻都改變投 資，所以我們可以將時間分成一段一段區(qū)間，且使每一區(qū)間僅在開始時進行追加投資或撤回投資。利用上 面的求解方法，可以分別求出每段區(qū)間的最優(yōu)解從而得出總的最優(yōu)解。 穩(wěn)定性分析 為了檢驗?zāi)Ｐ偷姆€(wěn)定性， 我們試著變動一些參數(shù)， 看是否會造成求出的解變 化過大。以模型二對問題二的求解為例，由于 X3可以達到 1 0 0 % ，即所得結(jié)果 Rj對其最敏感，故我們分別通過變動 q3和 rj3以檢驗?zāi)Ｐ偷姆€(wěn)定性。 下面是分別把 r

39、j3和 q3減小 5%而其它條件不變的情況下對各值求得的 Rj1 和 Rj2與原值 Rj的比較表。 （%） 1 5 1 0 2 0 3 0 5 7 6 0 Rj (%) 1 5 . 6 8 2 8 . 8 8 3 5 . 5 8 3 8 . 8 4 0 . 4 8 4 3 . 1 8 4 3 . 4 Rj1 (%) 1 5 . 5 5 2 8 . 5 9 3 4 . 9 9 3 7 . 6 9 3 9 . 0 3 4 1 . 0 7 4 1 . 2 3 變化率一( % ） 0 . 8 3 1 . 0 0 1 . 6 6 2 . 8 6 3 . 5 8 4 . 8 9 5 Rj2 (%) 1 5 . 7 4 2 9 . 0