1、光纖傳輸機(jī)理的光線理論分析 研究分析光波導(dǎo)的傳光機(jī)理有兩種方法:波動理論方法即求解波動方程，進(jìn)行模式分析，這種方法可獲得精確的解析或數(shù)值結(jié)果;光線理論方法即將光視為射線，利用光線的反射、折射原理解釋光在光纖中的傳播規(guī)律與物理現(xiàn)象。本章將介紹的光線理論分析方法具有物理圖像簡明、直觀的優(yōu)點，目前仍是分析研究光波導(dǎo)中傳輸規(guī)律與特性的一種重要手段。,本章的主要內(nèi)容是，利用光線理論分析兩種主要類型光學(xué)纖維的傳光機(jī)理與主要特性，其中包括: 利用全反射原理研究光在階躍型多模光纖(纖芯與包層折射率均勻分布、n1 n2的反射型光纖)中的傳播規(guī)律與光纖的性能參數(shù); 用光線理論研究漸變折射率光纖(具有梯度折射率分布

2、的折射型光纖)中光的傳播規(guī)律與折射率分布的關(guān)系。在此基礎(chǔ)上分析自聚焦光纖與透鏡的性能。,應(yīng)該指出，將光視為“光線”來處理問題是一種視 0 的近似方法，只在所討論對象的幾何尺度遠(yuǎn)大于光的波長因而可忽略衍射效應(yīng)時才是有效的。因而，用光線理論分析階躍折射率分布的多模光纖具有良好的近似程度;用于分析梯度折射率分布的多模光纖，近似程度較差;而對單模光纖(其直徑僅為幾個波長的數(shù)量級)則完全不適用。 2. 1光在階躍型圓柱光纖中的傳播規(guī)律 本節(jié)將運用光線光學(xué)的方法，依次研究分析在理想的階躍型直圓柱光纖中子午光線與空間光線，以及存在形狀偏差的階躍型圓柱光纖中子午光線的傳播規(guī)律。這里所研究的階躍光纖主要針對多模

3、光纖。,2.1.1光在理想階躍型直圓柱光纖中的傳播規(guī)律 研究理想的階躍型直圓柱光纖是指，不考慮透明介質(zhì)本身的吸收損耗、纖芯與包層界面上全反射不完全而產(chǎn)生的反射損耗以及端面上的菲涅耳反射損耗等因索，即將光纖視為沒有能量損耗的理想介質(zhì)來研究。,1.理想階躍型光纖中子午光線的傳播規(guī)律與特性 (1)子午光線的全反射與數(shù)值孔徑 圓柱光纖中通過光纖中心軸線的任何平面均為子午面，位于子午面內(nèi)的子午光線投射到芯與包層界面上，當(dāng)滿足全反射條件時(n1n2 , , 為全反射臨界角)，則發(fā)生依次的全反射，其軌跡為子午面內(nèi)的平面折線，且在一個周期內(nèi)與芯軸相交兩次，如圖2. 1所示。,由于n1、n2相對差值很小，因而大

4、多數(shù)光纖的全反射臨界角 在 以上。,芯層與包層發(fā)生投射的全反射角為,(2.1),圖2.1 理想階躍型光纖子午光線傳播規(guī)律,若光纖位于 介質(zhì)中，對應(yīng)于界面B點發(fā)生全反射(投射角 時端面A點處的人射角 應(yīng)為,(2.2),(2.3),與界面全反射臨界角 相對應(yīng)的光纖端面軸心A點處最大入射角應(yīng)為,通常稱 為“孔徑角”，并定義光纖的數(shù)值孔徑為,NA是階躍多模光纖的一個重要參數(shù)，它表示光纖集光能力的大小，亦即能進(jìn)人光纖的光通量的多少。 即為光纖端面處能激發(fā)出導(dǎo)波的最大入射角，又稱“接收角”。數(shù)值孔徑NA在一定程度上反映了光纖是否容易被激發(fā)、是否容易進(jìn)行光束禍合的性質(zhì)。,根據(jù)上述定義，顯然僅當(dāng)滿足 的端面入

5、射光線才能在階躍光纖中得到傳播;而大于 的端面人射光線，在芯與包層界面將發(fā)生部分折射，進(jìn)入包層，并且能量將很快損耗，因而不能在光纖中傳播。從光波導(dǎo)的觀點看， 的任意光線對應(yīng)于相應(yīng)的傳導(dǎo)模;與最大入射角 全反射臨界角 相對應(yīng)的則是多模光纖中的最高階傳導(dǎo)模;而 的光線，在界面將產(chǎn)生部分折射，因而對應(yīng)于輻射模。,當(dāng)芯與包層折射率n1、n2差值很小時，(2. 3)式經(jīng)變換可表為,式中，稱為相對折射率差。當(dāng)1時，則稱這種芯與包層折射率差值很小的光波導(dǎo)為“弱導(dǎo)光波導(dǎo)”(weakly guiding optical waveguide)。一般，對標(biāo)準(zhǔn)的石英階躍多模光纖與漸變折射率多模光纖， 而對階躍單模光纖

6、， 。,(2.4)式表明，光纖的數(shù)值孔徑主要取決于纖芯與包層的相對折射率差值，即只與芯及包層材料的折射率有關(guān)，而與光纖芯及包層的幾何尺寸(直徑)無關(guān)。因此，光纖可以制成數(shù)值孔徑很大而直徑很細(xì)，從而實現(xiàn)其結(jié)構(gòu)細(xì)長、具有柔性、可彎曲的特點。光纖的數(shù)值孔徑與透鏡的相對孔徑 具有相同的物理概念，即都是表示集光能力的強(qiáng)弱;然而，兩者大小所取決的結(jié)構(gòu)因索有本質(zhì)差別:前者只取決于n1、n2的相對折射率差值，而后者則取決于透鏡日徑大小與焦距的比值。調(diào)整相對折射率差值，可以顯著地改變光纖的數(shù)值孔徑。,因而，改變n1、n2配比，調(diào)整值，可以獲得具有較大數(shù)值孔徑動態(tài)范圍的各種類型光纖(參見表2. 1和圖2. 2 )

7、，并且能獲得大的數(shù)值孔徑是多模光纖的一顯著特點。但應(yīng)指出，在使值增大提高NA值的同時，也帶來多模光纖中模間色散增大的負(fù)面效應(yīng)。,計算舉例:計算與光纖具有相同數(shù)值孔徑0. 551的透鏡的光圈數(shù)(或相對孔徑值),因而應(yīng)有對應(yīng)透鏡的光圈數(shù)了f/D為0. 91，或其相對孔徑D/f為1. 11。顯然，對透鏡性能的設(shè)計要求已很高了。,圖2.2 光纖數(shù)值孔徑n1/n2關(guān)系曲線,然而應(yīng)該指出，上述有關(guān)數(shù)值孔徑的概念與規(guī)律，主要是針對多模光纖而言的;對于單模光纖，由于一般芯徑2a810um，光線光學(xué)不能解釋其可能產(chǎn)生的干涉等現(xiàn)象，因而數(shù)值孔徑的概念實際已不存在，而是采用模斑直徑來反映其光場特性。 有時僅為形象類

8、比而借用此名稱，但并不能表征其實際接收角的大小，一般單模光纖的數(shù)值孔徑約為0.1的數(shù)量級,(2)子午光線在光纖中的光路長度與全反射次數(shù) 子午光線在階躍光纖中傳播的軌跡為一平面折線，其實際的光路長度大于光纖長度。為求長度為L的光纖中子午光線的光路長度，必須首先求取單位光纖長度的光路長度 可按(2.6)式計算(參見圖2.1),式中 為無量綱數(shù)。上式表明，當(dāng)n1,n0(通常在空氣中為1)確定時， 只取決于端面的入射角，而與光纖的芯徑2a無關(guān)。,(2.6),長度為L的光纖的子午光線實際光路長度為,(2.7),(2.8),為了求取長度為L光纖中的反射次數(shù)，應(yīng)首先確定光纖中相鄰兩次反射的間隔 ：,單位光纖

9、長度的反射次數(shù)為,(2.9),長度為L的光纖總反射次數(shù)為,(2.10),上式表明，光纖中的總反射次數(shù)除與n1 , 有關(guān)外，還與光纖長度L成正比，而與光纖芯徑2a成反比。 (3)子午光線傳播的時延差與模間色散分析 色散特性是光纖最重要的傳輸特性之一，也是對長距離光纖通信最重要的影響因索。由于色散將使光纖中傳輸?shù)哪M信號或脈沖數(shù)字信號發(fā)生畸變，最終導(dǎo)致接收端的脈沖展寬，影響光纖傳輸信息的容量。光纖中影響產(chǎn)生色散的因索包括:模間色散，波導(dǎo)色散和材料色散。對于階躍多模光纖，光纖中傳輸多種模式，其模間色散或稱多模色散引起的脈沖展寬占色散總量影響中最重要的數(shù)量級。,以光通信中常用的脈碼調(diào)制為例，多模色散是

10、指發(fā)射端由脈沖同時激勵起的多種傳輸模式，由于各種模的群速度不同，因而不同模式到達(dá)接收端的時刻不同，從而產(chǎn)生脈沖展寬的現(xiàn)象。用光線光學(xué)做定性概略分析可以認(rèn)為，光纖中每一條實際傳播的子午光線代表一種電磁場分布的模式。由于芯中折射率均勻分布，不同光線傳播的速度雖然相同，然而不同（）角的光線經(jīng)歷的光路不同，其沿軸向平均速度不同，因而最終到達(dá)光纖出射端所需的時間也不同。不同模式間的時延差只取決于不同光線間的光路程差。其中，最大的時延差由 的最大孔徑角人射光線與=0的沿軸向入射光線決定(如圖2. 1所示)。 當(dāng) =0 ，則有,（2.11）,當(dāng) ，應(yīng)有,（2.12）,上兩式中，c為真空中光速，L為光纖沿z向

11、的長度， 、 分別為沿軸向的最大和最小平均速度。由上兩式可得到沿單位長度階躍多模光纖傳播所產(chǎn)生的最大時延差(亦即脈沖展寬)應(yīng)為,（2.13）,上式即可用于概略分析多模光纖因模間色散引起的最大脈沖展寬，這種模間色散、脈沖展寬降低了波導(dǎo)傳輸?shù)男畔⑷萘?。顯然，時延差:與芯和包層間的相對折射率差成正比，越小，則時延差越小，即色散越小。為此，采用減小值，即制造“弱導(dǎo)光纖”，即可實現(xiàn)低色散。為分析方便，引人單位長度光纖的色散與脈沖展寬 ，以 表示。例如，若n1=1.5，則 ，當(dāng)=1%時， =50 ns/km。即每千米的時延差為50 ns，其色散值已很大，相應(yīng)的傳輸帶寬為20 MHzkm；而若= 3%時，則

12、 =15 ns/km，其色散值減小，相應(yīng)的傳輸帶寬為66.67MHzkm。,另外，脈沖展寬的大小除與光纖的色散特性有關(guān)外，還與傳輸?shù)木嚯x有關(guān)。對一段光纖傳輸線，實際可用的頻帶寬度或數(shù)碼率，受到相鄰兩個再生站間距離的限制。因而，從對最終光纖信息承載容量的影響分析，只提頻帶寬度是不全面的，而應(yīng)用帶寬長度乘積(例如MHzkm或GHzkm)表示。 還應(yīng)指出，上述對多模光纖模間色散、脈沖展寬的分析還僅限于子午光線，對更大量的空間光線尚未考慮。正是由于階躍多模光纖的色散嚴(yán)重，限制了帶寬，因而在光纖與光通信的發(fā)展中，陸續(xù)興起了漸變折射率多模光纖和階躍單模光纖(詳見爾后分析)。,(4)光纖的透射特性 光纖的透

13、射性能是其重要的傳輸性能指標(biāo)之一，通常以透過率表示。定義透過率為光纖的輸出光通量(以I表示)與輸入光通量(以I。表示)之比，表為下式:,（2.14）,（2.14）,對于理想狀態(tài)的單根光纖，影響其透過率降低，即造成其損耗的主要因索有:光纖端面上的菲涅耳反射損失，纖芯與包層界面上的全反射損失，纖芯材料的吸收損失。 光纖端面上的菲涅耳反射損失。光從空氣中人射到光纖端面上，將有一部分光能量被界面反射而損失，此即菲涅耳反射損失。菲涅耳反射損失系數(shù)與光線人射角有關(guān)，如圖2. 3所示。圖中表明，在入射角=0即垂直人射的條件下，反射損失最小;隨著入射角增大，反射損失逐漸增大。,圖2.3 菲涅爾反射系數(shù)與端 面

14、入射角關(guān)系,在通常的孔徑角范圍內(nèi)，入射光線的反射損失系數(shù)可近似取垂直入射的反射損失系數(shù)。垂直入射即=0 時的反射損失系數(shù)為,（2.15）,若n1=1.52, n0=1，則R=0. 0426，通常取近似值R=0. 04。 當(dāng)只考慮入射及出射端面的菲涅耳反射損失時，光纖的透過系數(shù)應(yīng)為,（2.16）,纖芯與包層界面上的全反射損失。由于光纖拉制的原因，光纖芯與包層界面不可能是完全理想的光學(xué)接觸，可能存在界面缺陷，因而存在全反射損失。令全反射損失系數(shù)為 ，則界面實際的全反射系數(shù)為1- 。對玻璃纖維1- 值約為0.9995;對塑料纖維約為0.99。若有長度為L的光纖，則僅由界面全反射損失所決定的光纖透過率

15、應(yīng)為,（2.17）,式中， 為單位長度光纖的全反射次數(shù)。 芯料的吸收損失。纖芯的吸收損失是由于芯料的成分及加工工藝造成的。設(shè)吸收損失系數(shù)為a，則僅由芯料吸收損耗所決定的光纖透過率可由如下的指數(shù)衰減函數(shù)表示:,（2.18）,式中，sec表示單位光纖長度的光路長，L為光纖長度。 綜合考慮上述三方面損失影響的光纖透過率應(yīng)由下式表示:,（2.19）,2.理想階躍型光纖中空間光線的傳播 以上討論理想階躍光纖中子午光線的傳播規(guī)律，其軌跡在子午平面內(nèi);以下將討論理想階躍光纖中空間光線(斜光線)的傳播規(guī)律。,(1)空間光線的傳播規(guī)律 空間光線是與光纖中心軸線既不平行也不相交的光線，從立體幾何觀點，空間光線與光

16、纖軸線為異面直線。如圖2.4（a）所示，位于n。介質(zhì)中的入射光線S在光纖端面芯與包層界面處A點以 角人射，并以 角折射，爾后與界面相交于B點并發(fā)生全反射。A、B可視為圓柱階躍光纖兩相鄰反射點，它們處于芯與包層界面的圓柱面上。 為在B點發(fā)生全反射的人射光線，B 點是從B點到過A點的光纖橫截面所作的垂足，顯然， 。連接 ，并從O點向 作垂線 ，則 是空間光線 相對于光纖軸線的距離。圖中標(biāo)出的各有關(guān)量值的物理意義為:,N。:端面人射點處的法線; :空間光線在端面A點處的入射角; :空間光線在端面A點處的折射角; :反射光線與法線(A點處法線 從與B點處法線 )之間的夾角，即為反射角(亦等于B點處的入

17、射角);,（2.20）, :軸傾角，即光線所在平面ABBA(與端面垂直)與法線 從的夾角，它反映空間光線軌跡靠近光軸的程度，其物理意義非常重要。 圖2.4（a），中AAB為直角三角形，因而有 ;又在Rt ACO，中，應(yīng)有 。由于A點處、 各自所在的平面才相互垂直，根據(jù)立體幾何定理，上述三面體各角之間應(yīng)有如下關(guān)系:,應(yīng)該注意B點處的、與A點處各相應(yīng)角值相等，且這一規(guī)律在爾后光線進(jìn)行中各反射點處均成立。其中，空間光線的反射角為一不變值。將 代入(2. 20）式應(yīng)有,（2.21）,變換上式得到,（2.22）,（2.22）,（2.23）,對應(yīng)于空間光線全反射臨界角 的端面處，應(yīng)為入射的空間光線最大孔徑

18、角 ：,式中， 為子午光線的最大孔徑角。顯然，空間光線(斜光線)能夠以連續(xù)全反射傳播應(yīng)滿足如下條件:,（2.24）,式中，由于一般 ，因而有 。表明空間光線的孔徑角大于子午光線的孔徑角。,根據(jù)上式以及圖2.4(a)所示，可得出以下結(jié)論:空間(斜)光線在階躍圓柱光纖中傳播的軌跡為一空間螺旋折線，斜光線在光纖中每反射一次就改變一次空間方位，各段空間折線與光纖中心軸線是等距的。當(dāng) 時，空間螺旋折線在光纖橫截面上的投影為一圓內(nèi)接折線如圖2.4(b)所示。此外，還應(yīng)指出兩種特殊情況:當(dāng) 時，有 ,圓柱面內(nèi)的空間螺旋折線就蛻變?yōu)樽游缑鎯?nèi)的平面折線。此時， ;而當(dāng) 時，空間光線的螺旋折線即演化為與圓柱表面相

19、切的圓柱螺旋線。其在光纖端面上的投影則為一個圓。,(2)空間光線的數(shù)值孔徑 與子午光線的數(shù)值孔徑概念類似，空間光線的數(shù)值孔徑可由(2. 23)式兩端同乘以n。得到:,（2.25）,對空間光線的上述分析表明，當(dāng)考慮光纖的集光性能時，不僅應(yīng)考慮子午光線的貢獻(xiàn)，尚應(yīng)考慮大量空間光線的貢獻(xiàn)。因此，應(yīng)定義包括空間光線在內(nèi)的集光率為總集光率。,由于 ，因而顯然有 ，即空間光線的數(shù)值孔徑一般大于子午光線的數(shù)值孔徑。,2. 1. 2圓柱階躍光纖的形狀偏差對子午光線傳播規(guī)律的影響 上節(jié)分析了子午光線在理想的直圓柱階躍光纖中的傳播規(guī)律。實際上由于光纖的制造誤差和使用狀態(tài)，階躍光纖可能偏離直圓柱而出現(xiàn)形狀偏差，由此

20、將影響光線的傳播規(guī)律發(fā)生一定的變化。常見的階躍光纖形狀偏差有如下三種(參見圖2.5 )，即光纖彎曲偏差參見圖2. 5(a)、光纖錐度偏差參見圖2. 5(b),光纖端面垂直度偏差參見圖2.5(c)。以下僅簡要分析三種形狀偏差對子午光線傳播規(guī)律的影響。,(a) 光纖彎曲對子午光線傳播的影響 (b) 光纖維度對子午光線傳播的影響,圖2.5 階躍光纖三種形狀偏差對子午光線傳播的影響,1.光纖彎曲對子午光線傳播的影響 實際應(yīng)用中光纖經(jīng)常處于彎曲或微彎曲狀態(tài)下傳遞光信息與光能量，因而研究光纖彎曲對子午光線傳播規(guī)律的影響具有重要實際意義。設(shè)光纖子午截面在P點處發(fā)生彎曲，光線在距光纖軸線高為h的P點進(jìn)入光纖的

21、彎曲部分，則光纖芯與包層之間的上、下界面的入射角(反射角) 將發(fā)生變化，且有 參見圖2. 5(a)。當(dāng) 時，由于 ，因而上界面的部分投射光線將可能從纖芯逸出到包層中而損失;另外，光纖彎曲將使子午截面光纖的數(shù)值孔徑向減小的方向變化。經(jīng)推導(dǎo)可獲得如下光纖彎曲條件下子午截面光纖數(shù)值孔徑 的解析公式:,（2.26）,式中，d為光纖芯徑。,理論概略分析所導(dǎo)出的對光纖彎曲半徑的極限要求為R2. 75d。意指當(dāng)滿足此條件時，光纖彎曲對子午光線能量減小的影響是不大的。然而實驗結(jié)果卻有很大出入，實驗表明:當(dāng)R/d50時，透過率T已開始下降;當(dāng)R/d約為20時，透過率T明顯下降，表明光線大量從側(cè)壁逸出。 上述實驗結(jié)果與根據(jù)子午