1、第一章 空間幾何體1.3空間幾何體的表面積與體積1.3.1柱體、錐體、臺體的表面積與體積學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解柱體、錐體、臺體的表面積和體積計(jì)算公式,提高學(xué)生的空間想象能力和幾何直觀能力,培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識,增加學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.2.掌握簡單幾何體的體積與表面積的求法,提高學(xué)生的運(yùn)算能力,培養(yǎng)學(xué)生轉(zhuǎn)化、化歸以及類比的能力.學(xué)習(xí)過程一、課題導(dǎo)入,問題探究問題1:我們已經(jīng)學(xué)過正方體和長方體的表面積,以及它們的展開圖,你知道上述幾何體的展開圖與其表面積的關(guān)系嗎?問題2:棱柱、棱錐、棱臺也是由多個(gè)平面圖形圍成的幾何體,如何計(jì)算它們的表面積?問題3:類比棱柱和棱錐,如何根據(jù)圓柱、圓錐的幾何結(jié)構(gòu)特征,求它們的

2、表面積?問題4:聯(lián)系圓柱、圓錐的側(cè)面展開圖,你能想象圓臺側(cè)面展開圖的形狀,并且畫出它嗎?如果圓臺的上、下底面半徑分別是r,r,母線長為l,你能計(jì)算出它的表面積嗎?二、類比思考,引起聯(lián)想問題5:請同學(xué)們聯(lián)想一下圓柱、圓錐和圓臺的結(jié)構(gòu)特征,它們的表面積之間有什么關(guān)系?問題6:回顧長方體、正方體和圓柱,你能將它們的體積公式統(tǒng)一成一種形式嗎,并依次類比出柱體的體積公式.問題7:怎么得到錐體和臺體的體積公式呢?三、典型例題【例1】若一個(gè)正三棱柱的三視圖如圖所示,則這個(gè)正三棱柱的表面積為()A.18B.15C.24+8D.24+16【例2】已知棱長為a,各面均為等邊三角形的四面體S-ABC,求它的表面積.

3、【例3】(1)兩個(gè)平行于圓錐底面的平面將圓錐的高分成相等的三段,那么圓錐被分成的三部分的體積的比是()A.123B.1719C.345D.1927(2)三棱錐V-ABC的中截面是A1B1C1,則三棱錐V-A1B1C1與三棱錐A-A1BC的體積之比是()A.12B.14C.16D.18【例4】 有一堆規(guī)格相同的鐵制(鐵的密度是7.8 g/cm3)六角螺帽,共重5.8 kg,已知底面是正六邊形,邊長為12 mm,內(nèi)孔直徑為10 mm,高為10 mm,問這堆螺帽大約有多少個(gè)?(取3.14)四、作業(yè)精選,鞏固提高1.如果一個(gè)空間幾何體的正視圖與側(cè)視圖均為全等的等邊三角形,俯視圖為一個(gè)半徑為1的圓及其圓

4、心,那么這個(gè)幾何體的體積為()A.B.C.D.2.向高為H的水瓶中勻速注水,注滿為止,如果注水量V與水深h的函數(shù)關(guān)系如圖所示,那么水瓶的形狀是()3.一個(gè)圓臺的上、下底面面積分別是1 cm2和49 cm2,一個(gè)平行于底面的截面面積為25 cm2,則這個(gè)截面與上、下底面的距離之比是()A.21B.31C.1D.14.已知一圓錐的側(cè)面展開圖為半圓,且面積為S,則圓錐的底面面積是.5.已知某幾何體的俯視圖是如圖所示的矩形,正視圖是一個(gè)底邊長為8、高為4的等腰三角形,側(cè)視圖是一個(gè)底邊長為6、高為4的等腰三角形.求(1)該幾何體的體積V;(2)該幾何體的側(cè)面積S.布置作業(yè)課本P28習(xí)題1.3A組第1,2

5、,3題.參考答案一、問題1:正方體、長方體是由多個(gè)平面圖形圍成的幾何體,它們的表面積就是各個(gè)面的面積的和.問題2:棱柱的側(cè)面展開圖是平行四邊形,其表面積等于圍成棱柱的各個(gè)面的面積的和;棱錐的側(cè)面展開圖是由多個(gè)三角形拼接成的,其表面積等于圍成棱錐的各個(gè)面的面積的和;棱臺的側(cè)面展開圖是由多個(gè)梯形拼接成的,其表面積等于圍成棱臺的各個(gè)面的面積的和.問題3:由于它們的底面都是圓面,其底面積直接應(yīng)用圓的面積公式即可,其中圓柱的側(cè)面展開圖是矩形,圓錐的側(cè)面展開圖是扇形,利用它們的側(cè)面展開圖來求得它們的側(cè)面積,表面積等于側(cè)面積與底面積的和.如果圓柱的底面半徑為r,母線長為l,那么圓柱的底面面積為r2,側(cè)面面積

6、為2rl,因此,圓柱的表面積S=2r2+2rl=2r(r+l).如果圓錐的底面半徑為r,母線長為l,那么它的表面積S=r2+rl=r(r+l).(設(shè)計(jì)意圖:將空間圖形問題轉(zhuǎn)化為平面圖形問題,是解決立體幾何問題常用的方法.)問題4:圓臺的側(cè)面展開圖是一個(gè)扇環(huán),它的表面積等于上、下兩個(gè)底面的面積和加上側(cè)面的面積,即S=(r2+r2+rl+rl).二、問題5:圓柱和圓錐都可以看做是圓臺變化而成的幾何體,有如下的關(guān)系:S圓柱表=2r(r+l)S圓臺表=(r1l+r2l+)S圓錐表=r(r+l).問題6:柱體的體積是V柱體=Sh(S為底面積,h為柱體的高).問題7:錐體的體積公式V錐體=Sh(S為底面積

7、,h為錐體的高).臺體的體積公式V=(S+S)h,其中S,S分別為上、下底面面積,h為圓臺(棱臺)高.三、【例1】解析:該正三棱柱的直觀圖如圖所示,且底面等邊三角形的高為2,正三棱柱的高為2,則底面等邊三角形的邊長為4,所以該正三棱柱的表面積為342+242=24+8.答案:C【例2】解:先求SBC的面積,過點(diǎn)S作SDBC,交BC于點(diǎn)D.因?yàn)锽C=a,SD=a,所以SSBC=BCSD=aa=a2.因此,四面體S-ABC的表面積S=4a2=a2.【例3】 (1)解析:因?yàn)閳A錐的高被分成的三部分相等,所以兩個(gè)截面的半徑與原圓錐底面半徑之比為123,于是自上而下三個(gè)圓錐的體積之比為(r2h)(2r)

8、22h(3r)23h=1827,所以圓錐被分成的三部分的體積之比為1(8-1)(27-8)=1719.答案:B(2)解析:中截面將三棱錐的高分成相等的兩部分,所以截面與原底面的面積之比為14,將三棱錐A-A1BC轉(zhuǎn)化為三棱錐A1-ABC,這樣三棱錐V-A1B1C1與三棱錐A1-ABC的高相等,底面積之比為14,于是其體積之比為14.答案:B【例4】解:六角螺帽的體積是六棱柱體積與圓柱體積的差,即V=122610-3.14()2102 956(mm3)=2.956(cm3).所以螺帽的個(gè)數(shù)為5.81 000(7.82.956)252(個(gè)).答:這堆螺帽大約有252個(gè).四、答案:1.A2.A3.A4.5.解:由三視圖可知該幾何體是一個(gè)底面邊長分別為6,8的矩形,高為4的四棱錐,設(shè)底面矩形為ABCD,如圖所示,AB=8,BC=6,