1、第二章點、直線、平面之間的位置關(guān)系2.3直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)2.3.4平面與平面垂直的性質(zhì)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.探究平面與平面垂直的性質(zhì)定理,進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力.2.面面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用,培養(yǎng)學(xué)生的推理能力.3.通過平面與平面垂直的性質(zhì)定理的學(xué)習(xí),培養(yǎng)學(xué)生轉(zhuǎn)化的思想.合作學(xué)習(xí)一、設(shè)計問題,創(chuàng)設(shè)情境如圖,長方體ABCD-ABCD中,平面AADD與平面ABCD垂直,直線AA垂直于其交線AD.平面AADD內(nèi)的直線AA與平面ABCD垂直嗎?二、信息交流,揭示規(guī)律問題1:如圖,若,=CD,AB,ABCD,ABCD=B.討論直線AB與平面的位置關(guān)系.問題2:能不能用三種語言描述平面與平面垂直的

2、性質(zhì)定理,并給出證明?問題3:平面與平面垂直的性質(zhì)定理的特點有哪些?四、運用規(guī)律,解決問題【例1】 如圖,已知平面,a,直線a滿足a,試判斷直線a與平面的位置關(guān)系.【例2】 如圖,四棱錐PABCD的底面是AB=2,BC=的矩形,側(cè)面PAB是等邊三角形,且側(cè)面PAB底面ABCD.(1)證明:側(cè)面PAB側(cè)面PBC;(2)求側(cè)棱PC與底面ABCD所成的角;(3)求直線AB與平面PCD的距離.【例3】 如圖,把等腰直角三角形ABC沿斜邊AB旋轉(zhuǎn)至ABD的位置,使CD=AC.(1)求證:平面ABD平面ABC;(2)求二面角CBDA的余弦值.【例4】 如圖,在矩形ABCD中,AB=33,BC=3,沿對角線

3、BD把BCD折起,使C移到C,且C在平面ABC內(nèi)的射影O恰好落在AB上.(1)求證:ACBC;(2)求AB與平面BCD所成角的正弦值;(3)求二面角CBDA的正切值.五、變式演練,深化提高1.如圖,三棱柱ABC-A1B1C1中,BAC=90,AB=BB1=1,直線B1C與平面ABC成30角,求二面角BB1CA的正弦值.2.如圖,邊長為2的等邊PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面,BC=2,M為BC的中點.(1)證明:AMPM;(2)求二面角PAMD的大小.六、反思小結(jié),觀點提煉請同學(xué)們回想一下,本節(jié)課我們學(xué)了哪些內(nèi)容?七、作業(yè)精選,鞏固提高課本P74習(xí)題2.3B組第1,3題.參考答案問

4、題1:直線AB與平面垂直.問題2:兩個平面垂直的性質(zhì)定理文字語言描述為:如果兩個平面垂直,那么在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一平面.符號語言描述為:AB.圖形語言描述為:如圖兩個平面垂直的性質(zhì)定理證明過程如下:如圖,已知,=a,AB,ABa于B.求證:AB.證明:在平面內(nèi)作BECD垂足為B,則ABE就是二面角CD的平面角.由,可知ABBE.又ABCD,BE與CD是內(nèi)的兩條相交直線,AB.問題3:兩個平面垂直的性質(zhì)定理的特點就是幫我們找平面的垂線,因此它是立體幾何中最重要的定理.應(yīng)用面面垂直的性質(zhì)定理的口訣是:“見到面面垂直,立即在一個平面內(nèi)作交線的垂線”.四、【例1】 解:在內(nèi)作垂直

5、于與交線的垂線b,b.a,ab.a,a.即直線a與平面平行.【例2】 解:(1)證明:在矩形ABCD中,BCAB,又平面PAB底面ABCD,側(cè)面PAB底面ABCD=AB,BC側(cè)面PAB.又BC側(cè)面PBC,側(cè)面PAB側(cè)面PBC.(2)如圖,取AB的中點E,連接PE,CE,又PAB是等邊三角形,PEAB.又側(cè)面PAB底面ABCD,PE平面ABCD.PCE為側(cè)棱PC與底面ABCD所成角.PE=BA=,CE=,在RtPEC中,PCE=45為所求.(3)在矩形ABCD中,ABCD,CD側(cè)面PCD,AB側(cè)面PCD,AB側(cè)面PCD.取CD的中點F,連接EF,PF,則EFAB.又PEAB,AB平面PEF.又A

6、BCD,CD平面PEF.平面PCD平面PEF.作EGPF,垂足為G,則EG平面PCD.在RtPEF中,EG=為所求.【例3】 解:(1)證明:(證法一):由題設(shè),知AD=CD=BD,作DO平面ABC,O為垂足,則OA=OB=OC.O是ABC的外心,即AB的中點.OAB,即O平面ABD.OD平面ABD.平面ABD平面ABC.(證法二):取AB中點O,連接OD,OC,則有ODAB,OCAB,即COD是二面角CABD的平面角.設(shè)AC=a,則OC=OD=a,又CD=AD=AC,CD=a.COD是直角三角形,即COD=90.二面角是直二面角,即平面ABD平面ABC.(2)取BD的中點E,連接CE,OE,

7、OC,BCD為正三角形,CEBD.又BOD為等腰直角三角形,OEBD.OEC為二面角CBDA的平面角.同(1)可證OC平面ABD,OCOE.COE為直角三角形.設(shè)BC=a,則CE=a,OE=a,cosOEC=即為所求.【例4】 解:(1)證明:由題意,知CO平面ABD,COABC,平面ABC平面ABD.又ADAB,平面ABC平面ABD=AB,AD平面ABC.ADBC.BCCD,BC平面ACD.BCAC.(2)BC平面ACD,BC平面BCD,平面ACD平面BCD.作AHCD于H,則AH平面BCD,連接BH,則BH為AB在平面BCD上的射影,ABH為AB與平面BCD所成的角.又在RtACD中,CD

8、=33,AD=3,AC=3.AH=.sinABH=,即AB與平面BCD所成角的正弦值為.(3)過O作OGBD于點G,連接CG,則CGBD,則CGO為二面角CBDA的平面角.在RtACB中,CO=,在RtBCD中,CG=.OG=.tanCGO=2,即二面角CBDA的正切值為2.點評:直線與平面垂直是立體幾何的核心,它是證明垂直問題和求二面角的基礎(chǔ),因此利用平面與平面垂直的性質(zhì)定理找出平面的垂線,就顯得非常重要.五、1.解:由直三棱柱性質(zhì)得平面ABC平面BCC1B1,過A作AN平面BCC1B1,垂足為N,則AN平面BCC1B1(AN即為我們要找的垂線),在平面BCB1內(nèi)過N作NQB1C,垂足為Q,連接QA,則NQA即為二面角的平面角.AB1在平面ABC上的射影為AB,CAAB,CAB1A.AB=BB1=1,得AB1=.直線B1C與平面ABC成30角,B1CB=30,B1C=2.在RtB1AC中,由勾股定理,得AC=.AQ=1.在RtBAC中,AB=1,AC=,得AN=.sinAQN=,即二面角BB1CA的正弦值為.2.解:(1)證明:如圖,取CD的中點E,連接PE,EM,EA,PCD為正三角形,PECD,PE=PDsinPDE=2sin60=.平面PCD平面ABCD,PE平面ABCD.四邊形ABCD是矩形,ADE,ECM,A