1、第一篇 基 礎,第3章 幾何變換,2006年7月5日,上海交通大學計算機系 何援軍,#,2,主要內容,圖形變換的基本描述 圖形變換的幾何化表示 投影與投影變換 透視變換 視圖變換 總結,3.1 圖形變換的基本描述,齊次坐標 二維變換 三維變換,圖形幾何變換,圖形變換分為兩種： 圖形不變，而坐標系發(fā)生變化； 坐標系不變，而圖形的位置和形狀發(fā)生變化。,圖形的幾何變換是指圖形的幾何信息發(fā)生變化，而拓撲關系不變。,圖形幾何變換的基本思想,由于圖形可以用點集來表示，也就是說點集定了，則圖形也就確定了，那么，如果點的位置改變了，圖形也就隨之改變。因此，對圖形進行變換，只要變換點就可以了。 由于點集可以用矩

2、陣的方式來表達，因此圖形的變換可以通過相應的矩陣運算來實現(xiàn)。即：,舊點集 變換矩陣 新點集,矩陣運算,數(shù)乘,矩陣乘法。矩陣A=(aij)2X3,矩陣B=(bij)3X2，則,圖形變換的數(shù)學基礎矩陣運算,齊次坐標,為了能用矩陣的形式統(tǒng)一描述圖形變換，在計 算機圖形學中常采用齊次坐標的形式來描述空 間的點。 所謂齊次坐標表示法就是用n+1維向量表示一個 n維向量。 二維點（x,y）的齊次表示是（hx,hy,h），這 里h是任何一個非零因子，有時叫做比例因子。 齊次點（a,b,c）被投射回復到二維時簡單地就 是（a/c,b/c）,由比例因子c去除。,注意：齊次坐標表示不是唯一的，當h為1時稱為規(guī)格化

3、的 齊次坐標。,二維基本變換,比例變換 平移變換 旋轉變換 對稱變換 錯切變換,二維基本變換,1、比例變換,圖形中的坐標點P(x,y）,若在X軸方向變化一個比例系數(shù)sx，在Y軸方向變化一個比例系數(shù)sy，則新坐標點P(x,y）的表達式為：,二維基本變換,變換方程寫成齊次坐標矩陣形式為：,這一變換稱為相對于坐標原點的比例變換, sx 和sy分別表示點P(x,y）沿X軸方向和Y軸方向相對坐標原點的比例變換系數(shù)。,二維基本變換,比例變換的性質,當 時，變換前的圖形與變換后的圖形相似 當 時，圖形將放大，并遠離坐標 當 時，圖形將縮小，并靠近坐標原點 當 時，圖形將發(fā)生畸變,二維基本變換,2、平移變換,

4、平移變換是指將圖形從一個坐標位置移到另一個坐標位置的重定位變換。已知一點的原始坐標是P(x,y），加上一個沿X，Y方向的平移量tx 和ty ，平移此點到新坐標（xtx,yty）,則新坐標的表達式為：,二維基本變換,3、旋轉變換,繞坐標原點旋轉角度（逆時針為正，順時針為負）。,（1）,假定P點繞原點逆時針旋轉角到P點， 則：,（2）,將式（1）代入式（2）得：,二維基本變換,則變換矩陣為：,注意：旋轉變換只能改變圖形的方位，而圖形的大小和形狀不變。,二維基本變換,4、對稱變換,對稱變換是產生圖形鏡象的一種變換，也稱鏡象變換或反射變換。,（1）對稱于X軸的坐標變換,點對X軸對稱時：x=x，y=-y

5、 則變換方程為,二維基本變換,（2）對稱于Y軸的坐標變換,點對Y軸對稱時，有： x=-x，y=y 則變換方程為：,二維基本變換,（3）對稱于原點的坐標變換,點對坐標原點對稱時有： x=-x，y=-y 則變換矩陣為：,二維基本變換,（4）對稱于45線的坐標變換,點對45 線的對稱就是X、Y互換坐標，即 X=Y、Y=X， 則變換矩陣為：,二維基本變換,（5）對稱于-45線的坐標變換,點對-45線對稱時，有：X=-Y，Y=-X，則變換矩陣為：,x,o,y=-x,二維基本變換,錯切（shear）變換是軸上點不動，其它點沿平行于此軸方向移動變形的變換。錯切變換也稱為剪切、錯位或錯移變換。,5、錯切變換,

6、二維基本變換,（1）沿X軸方向關于Y軸的錯切,將圖形上關于y軸的平行線沿x方向推成角的傾斜線，使新的坐標值x在原有值得基礎上增加了一個增量，而保持y坐標不變。即整個圖形在等高的前提下沿X軸傾斜了一個角度。,x,二維基本變換,x,其中：a為錯切系數(shù)，當a0時沿+X向錯切，當a0時沿-x向錯切。,二維基本變換,（2）沿Y軸方向關于x軸的錯切,將圖形上關于x軸的平行線沿y方向推成角的傾斜線，使得Y坐標產生一增量，而保持x坐標不變。,二維基本變換,注意：上述的錯切方向均是對第1象限的點而言，其余象限的 點的錯切應作相應的改變。,b為錯切系數(shù)，當b0時沿+Y向錯切，當b0時沿-Y向錯切。,5種二維基本變

7、換的變換矩陣都可以用如下的3*3矩陣來描述：,（1）左上角的2*2子塊可實現(xiàn)比例、旋轉、對稱、錯切四種 基本變換； （2）左下角的1*2子塊可實現(xiàn)平移變換； （3）右上角的2*1子塊可實現(xiàn)投影變換； （4）右下角的1*1子塊可實現(xiàn)整體比例變換。,變換矩陣的功能分區(qū),由多種基本變換組合而成的變換稱之為組合變換，或稱為基本變換的級聯(lián)，相應的多個基本變換矩陣的級聯(lián)矩陣叫做組合變換矩陣。,設圖形經過n次基本幾何變換，其變換矩陣分別為T1,T2, Tn，則復合變換矩陣為: T=T1T2 Tn。,二維組合變換,二維組合變換,1、繞任意點（x0,y0）旋轉,繞任意點旋轉變換的步驟： （1）平移變換 （2）對

8、圖形繞原點進行旋轉變換 （3）平移變換,二維基本變換,令：,則有：,二維基本變換,2、相對于任意位置直線的對稱變換,相對于任意位置直線的對稱變換的步驟： （1）平移變換 （2）對圖形繞原點進行順時針旋轉變換 （3）對稱變換 （4）對圖形繞原點進行逆時針旋轉變換 （3）平移變換,二維基本變換,令：,則：,二維基本變換,1、用基本變換的級聯(lián)來實現(xiàn)圖形的組合變換時，矩陣級聯(lián)的順序不同，則所得到的最終結果圖形也不同。 2、對于一般條件下的圖形變換，解決問題的思路可以分為3步：首先把任意的一般條件轉化為特殊條件，即符合基本變換的條件，然后應用基本變換，最后恢復到原來的初始狀態(tài)。,注意：,復習題,1、寫出

9、下列齊次坐標表示的二維坐標。 （6 ，18 ，3），（5 ，8 ，1），（4 ，6 ，8） 2、在齊次坐標系中，寫出下列變換矩陣： （1）整個圖形放大2倍。 （2）x向放大3倍，y向放大4倍。 （3）y方向上移10個單位，x方向上右移5個單位。 （4）對稱于-45線的坐標變換。 （5）圖形繞原點順時針旋轉90。 （6）相對點(4,5) 的比例變換，x方向比例系統(tǒng)為a，y方向的比例系數(shù)為b。,復習題,3、如下圖所示三角形ABC，將其關于A點逆時針旋轉60，寫出其變換矩陣和變換后圖形各點的規(guī)范化齊次坐標。,三維基本變換,每個三維點(x,y,z)對應于一個齊次坐標x,y,z,1。所有的三維變換都可通

10、過乘以一個44的變換矩陣來進行。,1. 平移變換 2. 縮放變換 3. 旋轉變換 4. 對稱變換,三維基本變換,1、平移變換,假定將空間一點P(x,y,z)平移到點p(x,y,z)，沿x軸、y軸和z軸方向的平移量分別為d1、d2和d3，則可構造平移矩陣T：,三維基本變換,2、比例變換,（1）局部比例變換 假定點P相對于坐標原點沿X方向放縮Sx倍，沿Y方向放縮Sy倍，沿Z方向放縮Sz倍，其中Sx、Sy和Sz稱為比例系數(shù)，則可構造比例矩陣T：,三維基本變換,（2）整體比例變換,其變換矩陣為：,當s1時，則三維圖形產生三向等比例縮小的變換； 若0s1，則產生等比例放大的變換； 因此，s被稱為全比例變

11、換系數(shù)。,三維基本變換,3、旋轉變換,三維空間中的旋轉變換比二維空間中的旋轉變換復雜。除了需要指定旋轉角外，還需指定旋轉軸和旋轉方向。 以坐標系的三個坐標軸x,y,z分別作為旋轉軸，則點實際上只在垂直坐標軸的平面上作二維旋轉。此時用二維旋轉公式就可以直接推出三維旋轉變換矩陣。 規(guī)定在右手坐標系中，物體旋轉的正方向是右手螺旋方向，即從該軸正半軸向原點看是逆時針方向。,三維基本變換,旋轉角度為時，點的正旋轉方向： 旋轉軸 相應的旋轉方向 x軸從y軸到z軸 y軸從z軸到x軸 z軸從x軸到y(tǒng)軸,三維基本變換,（1）繞z軸旋轉變換,三維圖形繞Z軸正向旋轉時，圖形上各頂點z坐標不變，x、y坐標的變化相當于

12、在XY二維平面內繞原點逆時針旋轉。則構造變化矩陣如下：,三維基本變換,（2）繞X軸旋轉變換,三維圖形繞X軸正向旋轉時，圖形上各頂點x坐標不變，y、z坐標的變化相當于在YZ二維平面內繞原點逆時針旋轉。則變換矩陣為：,三維基本變換,（3）繞Y軸旋轉變換,三維圖形繞Y軸正向旋轉時，圖形上各頂點y坐標不變，x、z坐標的變化相當于在XZ二維平面內繞原點順時針旋轉。則變換矩陣為：,三維基本變換,旋轉，則該軸坐標的一列元素不變。按照二維圖形變換的情況，將其旋轉矩陣,中的元素添入相應的位置中，即,對于單位矩陣,旋轉變換矩陣規(guī)律:,，繞哪個坐標軸,三維基本變換,(1) 繞z軸正向旋轉,角，旋轉后點的z坐標值不變

13、, x、y,坐標的變化相當于在xoy平面內作正,角旋轉。,(2)繞x軸正向旋轉,角，旋轉后點的x坐標值不變，,Y、z坐標的變化相當于在yoz平面內作正,角旋轉。,三維基本變換,即,即：繞y軸的旋轉變換的矩陣與繞x軸和z軸變換的矩陣從表面上看在符號上有所不同。,(3) 繞y軸正向旋轉,角，y坐標值不變，z、x的坐標相當,于在zox平面內作正,角旋轉，于是,三維基本變換,4、對稱變換,（1）對xoy坐標平面的對稱變換,變換矩陣為：,三維基本變換,（2）對xoz坐標平面的對稱變換,變換矩陣為：,三維基本變換,（3）對yoz坐標平面的對稱變換,變換矩陣為：,三維變換矩陣的功能分塊,旋轉、比例、錯切、對

14、稱,透視投影,總體比例,平移,三維組合變換,1、相對空間任一點的幾何變換 2、相對于平行于某一坐標軸的幾何變換 2、相對空間任一直線的幾何變換,三維組合變換,物體繞平行于某一坐標軸的旋轉變換?；静襟E: (1) 將物體與旋轉軸平移，使旋轉軸與所平行的坐標軸重合; (2) 沿著該坐標軸進行指定角度的旋轉; (3) 平移物體使旋轉軸移回到原位置。,x,x,x,x,(b),繞任意軸旋轉 繞直線P1P2旋轉角,可以用平移變換與繞坐標軸旋轉變換的復合變換得到其變換公式。如果給定旋轉軸和旋轉角，可以通過平移及旋轉給定軸使其與某一坐標軸重合，然后繞坐標軸完成指定的旋轉，最后再用逆變換使給定軸回到其原始位置。

15、各次變換矩陣依次相乘即為復合變換矩陣。,繞任意軸旋轉 繞直線P1P2旋轉角,繞直線P1P2旋轉角的過程可分解為下列步驟： 把點P1 (x1, y1, z1)移至原點； 繞x軸旋轉，使直線與xoz平面共面； 繞y軸旋轉，使直線與z軸重合； 繞z軸旋轉角； 執(zhí)行步驟(3)的逆變換； 執(zhí)行步驟(2)的逆變換； 執(zhí)行步驟(1)的逆變換；,繞任意軸旋轉 繞直線P1P2旋轉角,步驟(1)：把點P1(x1,y1,z1)移至原點，變換矩陣為：,繞任意軸旋轉 繞直線P1P2旋轉角,步驟(2)：繞x軸旋轉，使直線與xoz平面共面。得：,繞任意軸旋轉 繞直線P1P2旋轉角,步驟(3)：繞y軸旋轉，使直線與z軸重合，

16、可知：,繞任意軸旋轉 繞直線P1P2旋轉角,步驟(4)：繞z軸旋轉角，變換矩陣為:,繞任意軸旋轉 繞直線P1P2旋轉角,步驟(5)，執(zhí)行步驟(3)的逆變換，變換矩陣為Ry(-)； 步驟(6)，執(zhí)行步驟(2)的逆變換，變換矩陣為Rx(-)； 步驟(7)，執(zhí)行步驟(1)的逆變換，變換矩陣為T3(x1,y1,z1)。 綜上，繞直線P1P2旋轉角的變換矩陣為：R()= T3(x1,y1,z1) Rx(-) Ry(-) Rz() Ry() Rx() T3(-x1,-y1,-z1) 注意：變換的過程有多種選擇。如果中間的幾個旋轉次序變了，則各個矩陣的對應矩陣參數(shù)也會不同。,習題,1、對于點P(x,y,z)

17、 ，(1) 寫出它繞x 軸旋轉 角，然后再繞y軸旋轉 角的變換矩陣。 (2)寫出它繞 y 軸旋轉 角，然后再繞 x 軸旋轉 角的變換矩陣。所得到的變換矩陣的結果一樣嗎?,三維幾何變換小結,三維幾何變換小結,三維幾何變換小結,三維幾何變換小結,1、二維變換中繞原點的旋轉相當于三維變換中繞_軸旋轉。 A、XB、Y C、ZD、以上都不是 2、分別對稱于X、Y、Z軸的變換矩陣是什么？,C,三維幾何變換小結,關于X軸的對稱變換,關于Y軸的對稱變換,關于Z軸的對稱變換,三維幾何變換小結,如果做繞多于一個坐標軸的旋轉變換，則需要考慮旋轉順序。因為不同的旋轉順序會得到不同的結果。,繞三個坐標軸的旋轉變換,一般

18、采用Y軸-X軸-Z軸的順序進行變換，這同日常生活中人們觀察物體的習慣順序相似，先觀察兩側（繞Y軸），再觀察上下（繞X軸），再觀察縱深（繞Z軸）。其變換矩陣為： TTyTxTz,三維幾何變換小結,已知空間一點的坐標是P(x,y,z),設給定的旋轉軸為I，它對三個坐標軸的方向余弦分別為：,求P繞I逆時針旋轉 的變換矩陣。,三維幾何變換小結,設軸上任一點Pc(xc,yc,zc)為旋轉的中心點。則復合變換的過程為： (1) 將點Pc(xc,yc,zc)一起平移到坐標原點 變換矩陣為：,三維幾何變換小結,2) 將I軸繞Y軸旋轉y角，同YZ平面重合， 其變換矩陣為：,三維幾何變換小結,(3) 將I軸繞X軸

19、旋轉x角，同Y軸重合，其變換矩陣為：,(4) 將P(x,y,z）點繞Y軸旋轉角，其變換矩陣為：,三維幾何變換小結,（5）繞X軸旋轉-x角，其變換矩陣為：,（6）繞Y軸旋轉-y角，其變換矩陣為：,三維幾何變換小結,（7）將P(xc,yc,zc)平移回原位置，其變換矩陣為：,復合變換矩陣為：TT1T2T3T4T5T6T7,三維幾何變換小結,變換過程式中，sinx、siny、cosx、cosy為中間變量，應使用已知量n1、n2、n3表示出來?？紤]I軸上的單位向量n，它在三個坐標軸上的投影值即為n1、n2、n3。取Y軸上一單位向量將其繞X軸旋轉-x角，再繞Y軸旋轉-y角，則此單位向量將同單位向量n重合

20、，其變換過程為：,三維幾何變換小結,即n1=sinx siny，n2= cosx，n3= sinx cosy。 同時考慮到n12+n22+n32=1，可解得：,三維幾何變換小結,將矩陣相乘后并將中間變量替換掉可得復合變換矩陣，展開成代數(shù)方程為： x(xxc)(n12(1n12)cos (yyc)( n1n2(1cos)n3sin) (zzc)( n1n3(1cos)n2sin)xc y=(xxc)( n1n2(1cos)n3sin) (yyc)( n22(1n22)cos) (zzc)( n2n3(1cos)n1sin)yc z=(xxc)( n1n3(1cos)n2sin) (yyc)( n

21、2n3(1cos)n1sin) (zzc)( n32(1n32)cos)zc,3.2 變換的幾何化表示,幾何化表示的基本理論 圖形變換的幾何表示 圖形變換幾何表示的應用 圖形變換幾何表示與基本幾何,3.2.1基本理論仿射變換,仿射變換（Affine transformation），一種線性變換 “線性”(linearity)：直線變換后還是直線。 “關聯(lián)性”(incidence)：共線三點間的距離的分比不變。 “平行性”（parallelism ）：平行線還是平行線。 仿射變換可以通過一系列原子變換的復合來實現(xiàn)： 平移（Translation）、縮放（Scale） 翻轉（Flip）、旋轉（Ro

22、tation） 剪切（Shear）等。,二維線性變換的最一般形式為： u=a1x+b1y+c1 v=a2x+b2y+c2 令 u=0 和v=0 即可得到兩條直線 L1：a1x+b1y+c1=0 L2：a2x+b2y+c2=0,3.2.1基本理論仿射變換,幾何意義：在xy坐標系下，線性變換把直線L1和L2上的點變換到坐標軸y軸和x軸上。,由于平面上任兩條相交有向直線均可構成新的坐標系統(tǒng)，這樣 u=a1x+b1y+c1 v=a2x+b2y+c2 可視為將坐標軸UV上的點全部相應地變換到坐標軸X和Y上,3.2.2 圖形變換的幾何化表示,這兩個坐標系間的坐標變換公式可由直線方程系數(shù)構成的齊次變換矩陣形

23、式表出：,可將 直線L1設為V軸 直線L2設為U軸 構成新的坐標系。,3.2.2 圖形變換的幾何化表示,3.2.2圖形變換的幾何化表示三維,若將上述結果推廣到三維形式，則有： x*=a1x+b1y+c1z+d1 y*=a2x+b2y+c2z+d2 z*=a3x+b3y+c3z+d3 它將在原坐標系下的三個平面： P1：a1x+b1y+c1z+d1=0 P2：a2x+b2y+c2z+d2=0 P3：a3x+b3y+c3z+d3=0 變換到新坐標系所在的3個平面上。 這3個平面構成的新坐標系。,矩陣形式為 ： 當且僅當： a1a2+b1b2+c1c2=0 a1a3+b1b3+c1c3=0 a2a3

24、+b2b3+c2c3=0 時，新坐標系統(tǒng)仍為直角坐標系。,3.2.2 圖形變換的幾何化表示三維,3.2.2圖形變換的幾何化表示結論,平面上任意2條相交（不共線）的向量構成一個新坐標系，新舊坐標系的坐標變換可由兩條相交向量在原坐標系下的直線方程系數(shù)標出。,幾何變換,它統(tǒng)一描述平移、旋轉、剪切、對稱和比例等變換。 空間3個任意相交的（不共面）平面構成一個新坐標系,兩者的坐標變換可由3個相交平面在原坐標系下的平面方程系數(shù)標出。,3.2.3圖形變換幾何化表示的實施,直線L1（設為V軸）的方向按正常的直線方向選?。寒斎搜刂@個方向行走時，他的左手方向為負區(qū)域。 直線L2（設為U軸）的方向由直線L1繞原點

25、（兩條直線的交點）順時針方向旋轉得到（一般情況下旋轉角度90）。,設通過坐標原點的兩條正交直線與X軸的夾角分別為 和(+90)，以前一條為X*軸，后一條為Y*軸（注意 X*的角度）,3.2.4 應用繞原點順時針旋轉,lpax(0.0,0.0,alpha+HalfPI, /X*,3.2.4 應用繞原點旋轉,根據給定的直線，求出直線上的兩點P1、P2 以向量P1P2為X*軸，其中垂線為Y*軸的右手坐標系 由點P2向P1作直線L2為X*軸； lpp(x2,y2,x1,y1,3.2.4 應用相對于任意直線的變換,3.2.4 應用相對于任意直線的變換,3.2.4 應用相對于任意直線的變換,例、已知點P的

26、坐標為P(3,2)，相對直線P1P2(線段的坐標分別為：P1 (-3,-2) 、P2 (2,3) )做對稱變換后到達P。試計算P 的坐標值。（要求用齊次坐標進行變換，列出變換矩陣。）,3.2.4 應用一般繞任意軸的三維旋轉變換,三維空間中繞任意軸的旋轉變換可由下列三步達到： 先平移、再2次繞新坐標軸旋轉等3步建立以該任意軸為Y軸的新坐標系； 在新坐標系下執(zhí)行繞Y軸旋轉角的標準繞軸旋轉變換； 將該結果經過相對于第1步逆序的3次逆變換得到初始坐標軸下的變換結果。,3.2.4 應用繞任意軸三維旋轉變換幾何化表示,1) 構筑向量P1P2的單位向量(a1，b1，c1) a1=(x2-x1)/D，b1 =

27、(y2-y1)/D，c1=(z2-z1)/D D= 2)構筑與P1P2垂直的單位向量(a2，b2，c2) a2= ，b2= ，c2=0 3)構筑第三個單位向量(a3，b3，c3) (a3，b3，c3) (a1，b1，c1)(a2，b2，c2),3.2.4 應用繞任意軸三維旋轉變換幾何化表示,繞任意軸P1P2旋轉的線性變換矩陣 R= Txyz_x*y*z*RxT-1xyz_x*y*z* = 其中： d1=-(a1x1+b1y+c1z1)D1=-(a1d1+a2d2+a3d3) d2=-(a2x1+b2y1+0z2) D2=-(b1d1+b2d2+b3d3) d3=-(a3x1+b3y1+c3z1

28、) D3=-(c1d1 +c3d3) 繞任意軸的旋轉變換由7個（不包含平移時則為5個）矩陣相乘減少到3個矩陣相乘 。,3.2.5圖形變換幾何化表示與基本幾何,用構成坐標系的向量的方程系數(shù)統(tǒng)一表示兩坐標系間的齊次坐標交換矩陣元素，而不理會“旋轉變換的角度、平移變換的增量”等等變換參數(shù)的特別涵義。 將圖形變換與基本幾何有機地聯(lián)系在一起，使圖形變換與基本幾何的定義與求解函數(shù)統(tǒng)一。 便于記憶、便于應用、便于軟件系統(tǒng)的統(tǒng)一編制，提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 實際應用中，只要用有向直線（平面）求解系列函數(shù)即可構筑圖形變換齊次矩陣的元素 。,3.3 投影與投影變換,投影概念,投影就是將空間物體投射到投影面上而得到的平

29、面圖形，而這一轉換過程稱為投影變換。,S,A,B,C,a,b,c,投影中心,投影線,投影對象,投影,投影面,投影的要素：投影對象、投影中心、投影平面、投影線和投影,3.3 投影與投影變換,投影分類,投影中心與投影平面之間的距離為無限,根據投影方向與投影平面的夾角,根據投影平面與坐標軸的夾角,投影中心與投影平面之間的距離為有限,3.3 投影與投影變換,定義平行投影時，給出投影線的方向就可以了，而定義透視投影時，需要指定投影中心的具體位置。,3.3 投影與投影變換,根據投影線方向與投影平面的夾角，平行投影分為兩類：正投影與斜投影,3.3 投影與投影變換,1正平行投影 正平行投影根據投影面與坐標軸的

30、夾角又可分成兩類：正投影(三視圖)和正軸測投影。當投影面與某一坐標軸垂直時，得到的投影為三視圖，這時投影方向與這個坐標軸的方向一致。否則，得到的投影為正軸測投影。,3.3 投影與投影變換,俯視圖,三視圖主要包括主視圖、側視圖和俯視圖。,3.4 軸側變換,物體和連同確定它的空間直角坐標系,沿不平行于任一坐標面的方向,用平行投影法投影到單一投影面上，這種方法稱為軸測投影法，在投影面上得到的立體感圖形稱為軸測投影圖。,投射方向垂直于軸測投影面 正軸測圖。,投射方向傾斜于軸測投影面 斜軸測圖。,3.4 軸側變換,軸測軸和軸間角,(2)兩軸測軸之間的夾角X1O1Y1， X1O1Z1， Y1O1Z1稱為軸

31、間角。,(1)空間坐標系的坐標軸 OX，OY，OZ在軸測投影面上的投影O1X1，O1Y1，O1Z1稱為軸測軸。,X軸軸向變化率,Y軸軸向變化率,Z軸軸向變化率,軸測軸上的線段長度與空間物體上對應線段長度之比。,軸向變化率（軸向變化系數(shù)）,3.4 軸側變換,3.4 軸側變換,3.4 軸側變換,軸測變換矩陣,給定從平面上一點引出的三條不在同一直線上的單位向量，其夾角分別為1、 2、 3，以這三條向量作為軸測軸，軸向變形系數(shù)分別為 、 、 。求取其軸測變換矩陣。,3.4 軸側變換,軸測變換矩陣,假定三維坐標系基底的單位向量為i、j、k，二維坐標系的基底向量為e1、e2，軸測軸在二維平面上與x軸夾角分

32、別為x、y、z，軸間角分別為1、 2、 3。,k,e1,e2,y,z,x,2,3,1,三維軸測坐標系,3.4 軸側變換,設空間任一點P(x，y，z)，在三維和二維坐標系中可分別表示為xi+yj+zk和Xe1+Ye2。,軸向變形系數(shù)下的軸測變換矩陣：,3.4 軸側變換,k,e1,e2,y,z,x,1,2,3,1=y-x 2= z+360-y 3= x-z z =90,用軸間角表示的軸測變換矩陣：取三維Z軸與Y軸一致。,3.4 軸側變換,正等測軸向變形系數(shù)為 正二測軸向變形系數(shù)為 斜二測軸向變形系數(shù)為,正等測軸間角為1=2=3=120 正二測軸向變形系數(shù)為1=2=13125 3=9710 斜二測軸

33、向變形系數(shù)為1=3=135 2=90,3.6 透視投影,又稱為中心投影，其投影中心與投影平面之間的距離是有限的。 現(xiàn)實生活中的景物，由于觀察距離及方位不同，在視覺上會引起不同的反映，這種現(xiàn)象就是透視現(xiàn)象。,3.6 透視產生的原因,圖中，AA,BB,CC為一組高度和間隔都相等，排成一條直線的電線桿，從視點E去看，發(fā)現(xiàn) AEABEBCEC 若在視點E與物體間設置一個透明的畫面P，則在畫面上看到的各電線桿的投影aabbcc aa即EA,EA與畫面P的交點的連線; bb即為EB，EB與畫面P的交點的連線。 cc 即為EC，EC與畫面P的交點的連線。 近大遠小,若連接abc及abc，它們的連線匯聚于一點

34、。 實際上，ABC與ABC的連線是兩條互相平行的直線，這說明空間任何一束不平行于投影平面的平行線的投影將匯聚在一點，即abc與abc的連線，必交于一點，這點我們稱之為滅點。,3.6.1 滅點及產生機理,每一組平行線都有其不同的滅點。一般說來，三維圖形中有多少組平行線就有多少個滅點。 平行于坐標軸的平行線在投影平面上形成的滅點稱為主滅點。因為有X、Y和Z三個坐標軸，所以主滅點最多有三個。,3.6.1 滅點及產生機理,當某個坐標軸與投影面平行時，則該坐標軸方向的平行線在投影面上的投影仍保持平行，不形成滅點。投影中主滅點數(shù)目由與投影面相交的坐標軸數(shù)目來決定，并據此將透視投影分類為一點、二點或三點透視

35、。 一點透視有一個主滅點，即投影面與一個坐標軸正交，與另外兩個坐標軸平行；兩點透視有兩個主滅點，即投影面與兩個坐標軸相交，與另一個坐標軸平行；三點透視有三個主滅點，即投影面與三個坐標軸都相交。,3.6.1 滅點及產生機理,3.6.1 滅點及產生機理,一點透視,兩點透視,三點透視,3.6.2 透視投影的基本原理,設視點E(0,0,ze)在z軸上，投影面取與Z軸垂直的坐標平面，空間點為P(xp,yp,zp)，則視線EP的直線方程為： x=0+(xp-0)t y=0+(yp-0)t z=ze+(zp-ze)t,則空間點在投影面的投影點為：,3.6.2 透視投影的基本原理,投影面為XOY平面，投影中心

36、到投影面的距離為 ze的一點透視變換矩陣,透視投影實際上是先進行透視變換，然后再向投 影面作正投影的變換。,在透視投影下有：,當zp時，x 0,y 0,z -Ze 所以，(0,0,-Ze)為該透視的一個滅點。,3.6.2 透視投影的基本原理,同樣，視點在(Xe,0,0)的透視投影對應的變換矩陣為：,3.6.2 透視投影的基本原理,滅點在(-Xe，0，0),視點在(0,ye,0)的透視投影對應的變換矩陣為,3.6.2 透視投影的基本原理,滅點在(0，-ye，0),3.6.2 透視變換基本公式,取r為 ，p為 ，q為： ，則透視變換矩陣為： 視點在z軸上的透視變換陣,當p、q、r三個參數(shù)中只有一個

37、為非零時，即為一點透視，兩個非零為兩點透視，全部非零時為三點透視。,3.6.3 透視投影轉化為平行投影理論,定理：對一個空間物體，一定存在另一個空間物體，使前者在畫面上的透視投影與后者的平行投影是一樣的，且保留了深度方向的對應關系。,3.6.3 透視投影轉化為平行投影理論,證明：設有一個空間物體B1，其空間點由P(x y z)表達，用下列方 法構 筑另一個空間物體B2： B2的拓撲與空間物體B1一致，其相應空間點P(x y z)由P經透視變換而得。 B1在xoy平面上的透視投影坐標與B2在xoy平面上的正投影坐標均為(x y)。 即空間物體B1和空間物體B2相應點與畫面的遠近關系（深度方向）是一致的。,3.6.4 透視圖,根據透視變換的基本原理：與畫面成一角度的平行線簇經透視變換后交于滅點，可采用兩種不同的方法來獲得透視圖： 保持畫面鉛垂而通過旋轉物體使之與畫面構成角度達到透視變換效果 通過傾斜投影畫面而達到透視變換效果,3.6.4 透視圖一點透視,人眼從正面去觀察一個立方體，當z軸與投影平面垂直時，另兩根軸ox,oy軸平行于投影平面。這時的立方體透視圖只有一個滅點，即與投影面垂直