1、第8課時 函數(shù)的奇偶性與周期性 班級 姓名 1x為實數(shù)，表示不超過x的最大整數(shù)，則函數(shù)f(x)x的最小正周期是_解析：如圖，當x2(2020湖南高考改編)已知f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，且f(1)g(1)2，f(1)g(1)4，則g(1)等于_解析：由已知可得，f(1)g(1)2，f(1)g(1)4，兩式相加解得，g(1)3.答案：33(2020長春三校調研)已知函數(shù)f(x)，若f(a)，則f(a)_.解析：根據(jù)題意，f(x)1，而h(x)是奇函數(shù)，故f(a)1h(a)1h(a)22f(a)2.答案：4已知函數(shù)f(x)x|x|2x，則下列結論正確的是_(填寫序號)f(x)是偶函數(shù)，遞增

2、區(qū)間是(0，)f(x)是偶函數(shù)，遞減區(qū)間是(，1)f(x)是奇函數(shù)，遞減區(qū)間是(1,1)f(x)是奇函數(shù)，遞增區(qū)間是(，0)解析：將函數(shù)f(x)x|x|2x去掉絕對值得f(x)畫出函數(shù)f(x)的圖像，如圖，觀察圖像可知，函數(shù)f(x)的圖像關于原點對稱，故函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，且在(1,1)上單調遞減答案：5(2020南京摸底)已知函數(shù)f(x)是R上的奇函數(shù)，且當x0時，f(x)x，則f(4)的值是_解析：因為f(x)是R上的奇函數(shù)，所以f(4)f(4)42.答案：26若偶函數(shù)yf(x)為R上的周期為6的周期函數(shù)，且滿足f(x)(x1)(xa)(3x3)，則f(6)等于_解析：yf(x)為偶函數(shù)

3、，且f(x)(x1)(xa)(3x3)，f(x)x2(1a)xa,1a0.a1.f(x)(x1)(x1)(3x3)f(6)f(66)f(0)1.答案：17已知f(x)，g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且f(x)g(x)x，則f(1)，g(0)，g(1)之間的大小關系是_解析：在f(x)g(x)x中，用x替換x，得f(x)g(x)2x，由于f(x)，g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，所以f(x)f(x)，g(x)g(x)，因此得f(x)g(x)2x.于是解得f(x)，g(x)，于是f(1)，g(0)1，g(1)，故f(1)g(0)g(1)答案：f(1)g(0)g(1)8(202

4、0江蘇高考)設f(x)是定義在R上且周期為2的函數(shù)，在區(qū)間上，f(x)其中a，bR.若ff，則a3b的值為_解析：因為f(x)是定義在R上且周期為2的函數(shù)，所以ff，且f(1)f(1)，故ff，從而a1，即3a2b2.由f(1)f(1)，得a1，即b2a.由得a2，b4，從而a3b10.答案：109. 定義在R上的函數(shù)f(x)既是奇函數(shù)又是以2為周期的周期函數(shù)，則f(1)f(4)f(7)等于_解析：f(x)為奇函數(shù)，且xR，所以f(0)0，由周期為2可知，f(4)0，f(7)f(1)，又由f(x2)f(x)，令x1得f(1)f(1)f(1)f(1)0，所以f(1)f(4)f(7)0.答案：01

5、0.定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)則f(2 016)_.解析：x0時，f(x)f(x1)f(x2)，f(x1)f(x)f(x1)，相加得f(x1)f(x2)，即f(x3)f(x)，所以f(x6)f(x3)f(x)，進而f(2 016)f(3366)f(0)31.答案：11、已知函數(shù)，常數(shù).(1)討論函數(shù)的奇偶性，并說明理由；(2)若在上是增函數(shù)，求的取值范圍.解：（1）當時，為偶函數(shù)；當時，既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).（2）設，由得，要使在區(qū)間是增函數(shù)只需，即恒成立，則。另解（導數(shù)法）：，要使在區(qū)間是增函數(shù)，只需當時，恒成立，即，則恒成立，故當時，在區(qū)間是增函數(shù)。12、已知函數(shù)f(x)的定義域為R，且滿足f(x2)f(x)(1)求證：f(x)是周期函數(shù)；(2)若f(x)為奇函數(shù)，且當0x1時，f(x)x，求使f(x)在上的所有x的個數(shù)解：(1)證明：f(x2)f(x)，f(x4)f (x2)f(x)，f(x)是以4為周期的周期函數(shù)(2)當0x1時，f(x)x，設1x0，則0x1，f(x)(x)x.f(x)是奇函數(shù)，f(x)f(x)，f(x)x，即f(x)x.故f(x)x(1x1)又設1x3，則1x21，f(x2)(x2)，又f(x2)f(2x)ff(x)，f(x)(x2)，f(x)(x2)(1x3