1、上海工程技術(shù)大學(xué) 基礎(chǔ)教學(xué)學(xué)院 數(shù)學(xué)教學(xué)部 系列課程建設(shè)項目小組 江開忠,教材 (Text Book) 數(shù)值分析 李慶揚等 編著 （華中科技大學(xué)出版社）,輔導(dǎo)教材 (Tutorial Text Book) 數(shù)值計算方法學(xué)習(xí)指導(dǎo)書 鄒秀芬等編著 （武漢大學(xué)出版社）,參考書目 (Reference),Numerical Analysis:Mathematics of Scientific Computing (Third Edition) 數(shù)值分析 （英文版 第3版 ） David Kincaid 2. 平時成績占20，包括作 業(yè)和課堂回答問題； 3. 創(chuàng)新實驗成績占10，根據(jù)課堂內(nèi)容所進(jìn)行的創(chuàng)新

2、活動，如科技小論文、心得體會、對課程改革的建議等，以讀書報告的形式提交兩 次,考試方法,第一章 緒論(Introduction),1 數(shù)值分析的對象與特點/*Objects and Object Characteristics*/,研究使用計算機(jī)求解各種科學(xué)與工程計算問題的數(shù)值方法（近似方法），對求得的解的精度進(jìn)行評估，以及如何在計算機(jī)上實現(xiàn)求解等。 數(shù)值分析課程中所講述的各種數(shù)值方法在科學(xué)與工程計算、信息科學(xué)、管理科學(xué)、生命科學(xué)等交叉學(xué)科中有著廣泛的應(yīng)用,一、數(shù)值分析的對象,應(yīng)用問題舉例,1、已經(jīng)測得在某處海洋不同深度處的水溫如下： 深度（M） 466 741 950 1422 1634 水

3、溫（oC）7.04 4.28 3.40 2.54 2.13 根據(jù)這些數(shù)據(jù)，希望合理地估計出其它深度（如500米，600米，1000米）處的水溫,本課程第二章的內(nèi)容：插值法,2、用比較簡單的函數(shù)代替復(fù)雜的函數(shù),誤差為最小，即距離為最小 （在不同的度量意義下）,本課程第三章的內(nèi)容：函數(shù)逼近,3、人口預(yù)測,下面給出的是中國1900 年到2000年的人口數(shù)， 我們的目標(biāo)是預(yù)測未來 的人口數(shù)（數(shù)據(jù)量較大 時）,本課程第三章的內(nèi)容：曲線擬合,4、鋁制波紋瓦的長度問題,建筑上用的一種鋁制波紋瓦是用一種機(jī)器將一塊平整的鋁板壓制而成的.,假若要求波紋瓦長4英尺,每個波紋的高度(從中心線)為1英寸,且每個波紋以近

4、似2英寸為一個周期. 求制做一塊波紋瓦所需鋁板的長度L.,這個問題就是要求由函數(shù)f(x)=sin x給定的曲線從 x=0到x=48英寸間的弧長L. 由微積分學(xué)我們知道,所求的弧長可表示為:,上述積分稱為第二類橢圓積分,它不能用普通方法來計算.,本課程第四章的內(nèi)容：數(shù)值積分,A，B，C是三種蛋白質(zhì)，其反應(yīng)如下：,5、生物化學(xué)反應(yīng)的例子,我們通過建?？梢缘玫饺缦路匠探M,本課程第五章的內(nèi)容：常微分方程的數(shù)值方法,x是行星運動的軌道，它是時間t 的函數(shù),本課程第六章的內(nèi)容：非線性方程的數(shù)值解法,6、天體力學(xué)中的Kepler方程,今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實三十九斗； 上禾二秉，中禾三秉，下禾一

5、秉，實三十四斗； 上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，實二十六斗。 問上、中、下禾實一秉各幾何？ 答曰：上禾一秉九斗四分斗之一。中禾一秉四斗四分斗之一。下禾一秉二斗四分斗之三。-九章算術(shù),7、一個兩千年前的例子,本課程第七、八章的內(nèi)容：線性方程組的數(shù)值方法,G: Google Matrix, “the worlds largest matrix computation”. 4,300,000,000 x: PageRank vector “The $25,000,000,000 Eigenvector”,9、Google搜索引擎,London, England: Millennium (Wobbly

6、) Bridge (1998-2002, Norman Foster and Partners and Arup Associates), the natural modes and frequencies of a structure are the solution of an eigenvalue problem that is quadratic when damping effects are included in the model. (F. Tisseur, K. Meerbergen, The quadratic Eigenvalue Problem, SiREV 43, 2

7、000, pp.235-286),本課程第九章的內(nèi)容：矩陣特征值問題的數(shù)值方法,用計算機(jī)解決實際問題的步驟 建立數(shù)學(xué)模型 選擇數(shù)值方法 編寫程序 上機(jī)計算結(jié)果,1、方法是近似的； 2、與計算機(jī)不能分離：上機(jī)實習(xí) （掌握一門語言：C語言或Fortran語言， 會用一種數(shù)學(xué)軟件：Matlab或Mathematica，Maple）,在我們今后的討論中，誤差將不可回避， 上機(jī)實習(xí)是需要大家創(chuàng)造條件完成的,二、數(shù)值分析的特點,一、誤差的來源 /* Sources of error*/,來源與分類 /* Source & Classification */,從實際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型 模型誤差 /* Mo

8、deling Error */,通過測量得到模型中參數(shù)的值 觀測誤差 /* Measurement Error */,求近似解 方法誤差 (截斷誤差 Truncation Error）,機(jī)器字長有限 舍入誤差 /* Roundoff Error */,2 誤差 /* Error */,二、誤差與有效數(shù)字,(1)絕對誤差 /* absolute error */,其中 x*為精確值，x為x*的近似值。,例如：,工程上常記為,的上限記為 , 稱為絕對誤差限 /* accuracy */，,(2)相對誤差 ( relative error ),x 的相對誤差上限 定義為,(3)有效數(shù)字 （signi

9、ficant digits ）,問： 有幾位有效數(shù)字？請證明你的結(jié)論。,有4 位有效數(shù)字，精確到小數(shù)點后第 3 位。,用科學(xué)計數(shù)法，記 (其中a10）若 （即an的截取按四舍五入規(guī)則）,則稱x為有n 位有效數(shù)字,精確到10m-n。,例1,證明,(4)誤差估計 （Error Estimates）,已知:,則:,已知:,則:,3 誤差分析的方法與原則 /* Methods and principles*/,選用數(shù)值穩(wěn)定的計算公式,一、防止大數(shù)吃小數(shù),這一類問題主要由計算機(jī)的位數(shù)引起,假如作一個有效數(shù)字為4位的連加運算,大數(shù)1040.1234將小數(shù)0.4987,0.4896,0.4697”吃了”,而如果將小數(shù)放在前面計算,在作連加時,為防止大數(shù)吃小數(shù),應(yīng)從小到大進(jìn)行相加,如此,精度將得到適當(dāng)改善.當(dāng)然也可采取別