1、1,拉格朗日方程,拉格朗日方程實(shí)質(zhì)就是廣義坐標(biāo)表示下的 動力學(xué)普遍方程,牛頓第二定律,牛頓第二定律在直角坐標(biāo)下的表示:,2,動力學(xué)的基本方法,牛頓定律,動量定理 動量矩定理 動能定理,達(dá)朗貝爾原理/動靜法,虛位移原理,拉格朗日方程,矢量力學(xué),分析力學(xué),3,在直角坐標(biāo)下：,矢量力學(xué),靜力學(xué): 力系平衡,分析力學(xué),靜力學(xué)：虛位移原理,在廣義坐標(biāo)下：,4,虛位移原理有廣義坐標(biāo)形式,虛位移原理的數(shù)學(xué)形式:,取 為廣義坐標(biāo):,其中:,5,在直角坐標(biāo)下：,矢量力學(xué),質(zhì)點(diǎn)系動力學(xué)：,分析力學(xué),動力學(xué)普遍方程：,在廣義坐標(biāo)下：,6,廣義坐標(biāo)下的動力學(xué)普遍方程,數(shù)學(xué)形式:,其中：,動力學(xué)普遍方程：受有理想約束的

2、質(zhì)點(diǎn)系在運(yùn)動過程中, 其上所受的主動力和慣性力在質(zhì)點(diǎn)系的任何虛位移上所作的虛功之和為零。,取 為廣義坐標(biāo):,7,數(shù)學(xué)形式:,其中：,取 為廣義坐標(biāo):,8,5-2、拉格朗日方程,設(shè)：具有完整約束的非自由質(zhì)點(diǎn)系有 k 個(gè)自由度 系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)為：,由于廣義坐標(biāo)是獨(dú)立的，因此 也是獨(dú)立的。所以:,9,T 為系統(tǒng)的動能，一般情況下動能可表示成：,廣義坐標(biāo)下的動力學(xué)普遍方程：受有理想約束的質(zhì)點(diǎn)系在運(yùn)動過程中, 對應(yīng)于各廣義坐標(biāo)的廣義主動力和廣義慣性之和為零。,的表達(dá)式:,10,拉格朗日方程,拉格朗日方程實(shí)質(zhì)就是廣義坐標(biāo)表示下的 動力學(xué)普遍方程,該方程也稱作第二類拉格朗日方程,11,例：建立質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)

3、在重力作用下的動力學(xué)方程。,1、系統(tǒng)的自由度為 k=3,2、系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)：,3、系統(tǒng)的動能,解：,4、系統(tǒng)的廣義力,12,廣義力的計(jì)算,方法一,沿廣義坐標(biāo)增大的方向取特殊的虛位移， 而其余的 ， 求出所有非有勢力在該虛位移上所做的虛功 ， 則有:,13,方法二,如果系統(tǒng)上作用的主動力的作用位置是 , (i=1,.,n)，將其表示成廣義坐標(biāo)的函數(shù)：,則對應(yīng)于廣義坐標(biāo) 的廣義力 可由如下公式求出：,14,如果作用在系統(tǒng)上的廣義力有勢，記 V 為勢能：,則：,15,主動力有勢下的拉格朗日方程,16,主動力有勢下的拉格朗日方程,記：,L稱為系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)。,則拉格朗日方程變成：,17,第二類拉格

4、朗日方程幾種形式,1、當(dāng)主動力均為有勢力時(shí),設(shè)：LT-V （拉格朗日函數(shù)）,2、當(dāng)主動力部分為有勢力時(shí),18,例: 二自由度系統(tǒng)的自由振動,一、給出系統(tǒng)的動勢,二自由度系統(tǒng), 選取廣義坐標(biāo), 各坐標(biāo)原點(diǎn)取在靜平衡位置:,其中平衡位置的重力勢能為零.,19,由靜平衡條件, 有:,所以:,二、系統(tǒng)的動力學(xué)方程,20,例: 二自由度系統(tǒng)的受迫振動,一、給出系統(tǒng)的動勢,二自由度系統(tǒng), 選取廣義坐標(biāo), 各坐標(biāo)原點(diǎn)取在靜平衡位置:,其中平衡位置的重力勢能為零.,21,22,二、系統(tǒng)的動力學(xué)方程,23,例: 二自由度系統(tǒng)的受迫振動, 考慮阻力(設(shè)與速度成正比),一、給出系統(tǒng)的動勢,二自由度系統(tǒng), 選取廣義坐標(biāo), 各坐標(biāo)原點(diǎn)取在靜平衡位置:,其中平衡位置的重力勢能為零.,24,阻力產(chǎn)生的廣義力:,二、系統(tǒng)的動力學(xué)方程,阻力:,25,解：1、確定系統(tǒng)的自由度 和廣義坐標(biāo) 2、求系統(tǒng)的動能和勢 能 ( 拉格朗日函數(shù) ) 3、求非有勢主動力