1、2 全排列及其逆序數(shù),全排列的概念 逆序的概念 計(jì)算排列逆序數(shù)的方法,下頁,關(guān)閉,由于對角線法則只適用于二、三階行列式，為研究四階及更高階的行列式，必須用到逆序數(shù)的概念。本節(jié)主要介紹全排列的概念以及逆序數(shù)的求法。,用1、2、3三個(gè)數(shù)字，可以組成多少個(gè)沒有重,引例,解,總共有321= 6種放法。,123， 132， 213， 231， 312， 321。,這6個(gè)不同的三位數(shù)是：,復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？,上頁,下頁,返回,在數(shù)學(xué)中，把考察的對象叫做元素。,全排列的概念,于是引例可抽象成：把 3 個(gè)不同的元素排成一列，共有幾種不同的排法？,一般地，我們可以討論“把 n 個(gè)元素排成一列，共有幾種不同的排法”

2、的問題。,上頁,下頁,返回,定義 把 n 個(gè)不同的元素排成一列，叫做這 n 個(gè)元素的全排列（簡稱排列）。,n 個(gè)不同元素的所有排列的種數(shù)，通常用 Pn表示。,例如, 引例的結(jié)果是 P3=321=6。,上頁,下頁,返回,首先從 n 個(gè)元素中任取一個(gè)放在第一個(gè)位置上，有 n 種取法；,又從剩下的 n1 個(gè)元素中任取一個(gè)放在第二個(gè)位置上，有 n1 種取法；,這樣繼續(xù)下去，直到最后只剩下一個(gè)元素放在第 n 個(gè)位置上，只有種取法。,計(jì)算 Pn 的公式：,上頁,下頁,返回,于是 n 個(gè)元素全排列的總數(shù)是：,例如,上頁,下頁,返回,對于 n 個(gè)不同的元素，規(guī)定各元素之間有一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)次序（例如 n 個(gè)不同的自然

3、數(shù)，可以規(guī)定由小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序）。,在這 n 個(gè)元素的任一排列中，當(dāng)某兩個(gè)元素的先后次序與標(biāo)準(zhǔn)次序不同時(shí)，就說有1個(gè)逆序。,逆序的概念與全排列的分類,一個(gè)排列中所有逆序的總數(shù)叫做這個(gè)排列的逆序數(shù)。,上頁,下頁,返回,偶排列：逆序數(shù)為偶數(shù)的排列,顯然，排列的逆序數(shù)為非負(fù)整數(shù)，因此按數(shù)的一個(gè)分類得到：,排列分類,奇排列：逆序數(shù)為奇數(shù)的排列,上頁,下頁,返回,不妨設(shè) n 個(gè)元素為 1 至 n 這 n 個(gè)自然數(shù)，并規(guī)定由小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序。,設(shè),為這 n 個(gè)自然數(shù)的一個(gè)排列。,方法一,在排列,中，直接找出次序顛,倒了的元素對的個(gè)數(shù)，這也就是該排列的逆序數(shù)。,例1,判斷排列2341的奇偶性。,解,在排列2341中，構(gòu)成逆序的數(shù)對有21, 31, 41,故排列2341的逆序數(shù),所以2341是奇排列。,計(jì)算排列的逆序數(shù)的方法,上頁,下頁,返回,方法二,在排列,中，,如果比,大的且排在,前面的元素有,則這個(gè)排列的逆序,數(shù)是,個(gè)，,上頁,下頁,返回,求排列32514的逆序數(shù)。,解,于是排列的總逆序數(shù)為,例3,上頁,下頁,返回,3 2 5 1 4,Ex.2,求排列1 3 5 7 9 10 8 6 4 2的逆序數(shù)。,解,Ex.3,求,使,成為偶