1、中心極限定理,中心極限定理的客觀背景,在實(shí)際問(wèn)題中，常常需要考慮許多隨機(jī)因素所產(chǎn)生總影響.,例如：炮彈射擊的落點(diǎn)與目標(biāo)的偏差，就受著許多隨機(jī)因素的影響.,空氣阻力所產(chǎn)生的誤差，,對(duì)我們來(lái)說(shuō)重要的是這些隨機(jī)因素的總影響.,如瞄準(zhǔn)時(shí)的誤差，,炮彈或炮身結(jié)構(gòu)所引起的誤差等等.,觀察表明，如果一個(gè)量是由大量相互獨(dú)立的隨機(jī)因素的影響所造成，而每一個(gè)別因素在總影響中所起的作用不大. 則這種量一般都服從或近似服從正態(tài)分布.,自從高斯指出測(cè)量誤差服從正態(tài)分布之后，人們發(fā)現(xiàn)，正態(tài)分布在自然界中極為常見(jiàn).,現(xiàn)在我們就來(lái)研究獨(dú)立隨機(jī)變量之和所特有的規(guī)律性問(wèn)題.,當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，這個(gè)和的極限分布是什么呢？,在什么條件

2、下極限分布會(huì)是正態(tài)的呢？,由于無(wú)窮個(gè)隨機(jī)變量之和可能趨于，故我們不研究n個(gè)隨機(jī)變量之和本身而考慮它的標(biāo)準(zhǔn)化的隨機(jī)變量,的分布函數(shù)的極限.,的分布函數(shù)的極限.,可以證明，滿足一定的條件，上述極限分布是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.,考慮,中心極限定理,在概率論中，習(xí)慣于把和的分布收斂于正態(tài)分布這一類定理都叫做中心極限定理.,我們只討論幾種簡(jiǎn)單情形.,下面給出的獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列的中心極限定理，也稱列維一林德伯格（LevyLindberg）定理.,本定理的證明在20世紀(jì)20年代由林德伯格和列維給 出，因證明較復(fù)雜，在此從略。,定理1（獨(dú)立同分布下的中心極限定理）,它表明，當(dāng)n充分大時(shí)，n個(gè)具有期望和方差 的獨(dú)

3、立同分布的r.v之和近似服從正態(tài)分布.,設(shè)X1,X2, 是獨(dú)立同分布的隨機(jī) 變量序列，且E(Xi)= ，D(Xi)= ， i=1,2,，則,注,即 n 足夠大時(shí)，Y n 的分布函數(shù)近似于標(biāo) 準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量的分布函數(shù),記,近似,近似服從,雖然在一般情況下，我們很難求出X1+X2+ +Xn 的分布的確切形式，但當(dāng)n很大時(shí)，可以求出近似分布.,下面介紹的棣莫佛拉普拉斯定理 （二項(xiàng)分布的正態(tài)近似）是上述定理的特殊 情況.,定理2(棣莫佛拉普拉斯定理）,設(shè)隨機(jī)變量 服從參數(shù)n, p(0p1)的二項(xiàng)分布，則對(duì)任意x，有,定理表明，當(dāng)n很大，0p1是一個(gè)定值時(shí)（或者說(shuō)，np(1-p)也不太小時(shí)），二項(xiàng)變量

4、的分布近似正態(tài)分布 N(np,np(1-p).,這是歷史上最早的中心極限定理，棣莫佛在1716年證 明了 的情形，后來(lái)拉普拉斯將結(jié)果推廣到一般情形對(duì)較大的n，由上述定理可知。,于是，對(duì)于任意的實(shí)數(shù) 和較大的n，有,下面我們舉例說(shuō)明中心極限定理的應(yīng)用,從演示不難看到中心極限定理的客觀背景,例1 根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，某種電器元件的壽命服從均值為100小時(shí)的指數(shù)分布. 現(xiàn)隨機(jī)地取16只，設(shè)它們的壽命是相互獨(dú)立的. 求這16只元件的壽命的總和大于1920小時(shí)的概率.,由題給條件知，諸Xi獨(dú)立，,16只元件的壽命的總和為,解: 設(shè)第i只元件的壽命為Xi , i=1,2, ,16,E(Xi)=100, D(Xi

5、)=10000,依題意，所求為P(Y1920),由題給條件知,諸Xi獨(dú)立,16只元件的壽命的總和為,解: 設(shè)第i只元件的壽命為Xi , i=1,2, ,16,E(Xi)=100,D(Xi)=10000,依題意，所求為P(Y1920),由于E(Y)=1600,D(Y)=160000,P(Y1920)=1-P(Y1920),=1-(0.8),1-,=1-0.7881=0.2119,例2:,某保險(xiǎn)公司多年的統(tǒng)計(jì)資料表明,在索賠戶,中被盜索賠戶占20%,以X表示在隨機(jī)抽查的100 個(gè)索賠戶中因被盜向保險(xiǎn)公司索賠的戶數(shù). (1)寫(xiě)出X的概率分布; (2)求被盜索賠戶不少于14戶且不多于30戶的 概率;,

6、解:,(1)由題可知:,XB(100, 0.2).,(2)P(14X30)=,=0.994-1+0.993=0.927,例3. (供電問(wèn)題)某車間有200臺(tái)車床,在生產(chǎn)期間由于需要檢修、調(diào)換刀具、變換位置及調(diào)換工件等常需停車. 設(shè)開(kāi)工率為0.6, 并設(shè)每臺(tái)車床的工作是獨(dú)立的，且在開(kāi)工時(shí)需電力1千瓦.,問(wèn)應(yīng)供應(yīng)多少瓦電力就能以99.9%的概率保證該車間不會(huì)因供電不足而影響生產(chǎn)?,用X表示在某時(shí)刻工作著的車床數(shù)，,解：對(duì)每臺(tái)車床的觀察作為一次試驗(yàn)，,每次試驗(yàn)觀察該臺(tái)車床在某時(shí)刻是否工作， 工作的概率為0.6，共進(jìn)行200次試驗(yàn).,依題意，,XB(200,0.6),現(xiàn)在的問(wèn)題是：,求滿足,設(shè)需N臺(tái)車

7、床工作，,（由于每臺(tái)車床在開(kāi)工時(shí)需電力1千瓦，N臺(tái)工作所需電力即N千瓦.）,由德莫佛-拉普拉斯極限定理,近似N(0,1),于是 P(XN)= P(0XN),這里 np=120, np(1-p)=48,查正態(tài)分布函數(shù)表得,由 0.999，,從中解得N141.5,即所求N=142.,也就是說(shuō), 應(yīng)供應(yīng)142 千瓦電力就能以99.9%的概率保證該車間不會(huì)因供電不足而影響生產(chǎn).,例4 在一個(gè)罐子中,裝有10個(gè)編號(hào)為0-9的同樣的球，從罐中有放回地抽取若干次，每次抽一個(gè)，并記下號(hào)碼.,問(wèn)對(duì)序列Xk,能否應(yīng)用大數(shù)定律？,諸Xk 獨(dú)立同分布，且期望存在，故能使用大數(shù)定律.,解:,即對(duì)任意的0,解:,諸Xk

8、獨(dú)立同分布，且期望存在，故能使用大數(shù)定律.,(2) 至少應(yīng)取球多少次才能使“0”出現(xiàn)的頻率在0.09-0.11之間的概率至少是0.95?,解：設(shè)應(yīng)取球n次，0出現(xiàn)頻率為,由中心極限定理,近似N(0,1),近似N(0,1),欲使,即,查表得,從中解得,即至少應(yīng)取球3458次才能使“0”出現(xiàn)的頻率在0.09-0.11之間的概率至少是0.95.,(3) 用中心極限定理計(jì)算在100次抽取中, 數(shù)碼“0”出現(xiàn)次數(shù)在7和13之間的概率.,解：在100次抽取中, 數(shù)碼“0”出現(xiàn)次數(shù)為,E(Xk)=0.1, D(Xk)=0.09,即在100次抽取中，數(shù)碼“0”出現(xiàn)次數(shù)在 7和13之間的概率為0.6826.,=

9、0.6826,近似N(0,1),如圖,釘板有n=16層，可以求出標(biāo)準(zhǔn)差,n次碰釘后小球的位置 Yn近似服從正態(tài)分布N(0,n). E(Yn)=0, D(Yn)=n .,如圖釘板有n=16層，可以求出標(biāo)準(zhǔn)差,根據(jù)正態(tài)分布的查表計(jì)算知道,落在2 以內(nèi)即中線 左右8顆釘子以內(nèi)的概率近似為95.6%,即是說(shuō),落在這以外的概率只有4%左右.,最后，指出大數(shù)定律與中心極限定理的區(qū)別：,設(shè) 為獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列，且 , 則由定理5.1的推論1，對(duì)于任意的0有,大數(shù)定律并未給出 的表達(dá)式,但 保證了其極限是1,由于 ， 因此，在所給條件下，中 心極限定理不僅給出了概率的近似表達(dá)式，而且也能 保證了其極限是1，可見(jiàn)中心極限定理的結(jié)論更為深入。,而在以上條件下，中心極限定理（林德伯格列維）亦成立