1、C.F.Gauss,德國(guó)數(shù)學(xué)家,物理學(xué)家,高斯,(1777-1855),3 高斯定理 一.電力線 用一族空間曲線形象描述場(chǎng)強(qiáng)分布 通常把這些曲線稱為電場(chǎng)線(electric field line)或電力線 (electric line of force) 1.規(guī)定 方向：力線上每一點(diǎn)的切線方向； 大?。涸陔妶?chǎng)中任一點(diǎn)，取一垂直于該點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)方向的面積元，使通過(guò)單位面積的電力線數(shù)目，等于該點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)的量值。,電場(chǎng)線的畫法如下:,2.電力線的性質(zhì) 1)電力線起始于正電荷(或無(wú)窮遠(yuǎn)處)， 終止于負(fù)電荷，不會(huì)在沒(méi)有電荷處中斷； 2)兩條電場(chǎng)線不會(huì)相交； 3)電力線不會(huì)形成閉合曲線。 之所以具有這些基本性質(zhì)，

2、由靜電場(chǎng)的基本性質(zhì)和場(chǎng)的單值性決定的。 可用靜電場(chǎng)的基本性質(zhì)方程加以證明。,一對(duì)等量異號(hào)電荷的電場(chǎng)線,帶電平行板電容器的電場(chǎng)線,習(xí)題：一個(gè)帶負(fù)電荷的質(zhì)點(diǎn)，在電場(chǎng)力作用下從點(diǎn)出發(fā)經(jīng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，其運(yùn)動(dòng)軌道如圖所示。已知質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速率是增加的，下面關(guān)于點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)方向的四個(gè)圖示中正確的是：,（）,（）,（C）,（D）,答案：（ ）,若面積元不垂直電場(chǎng)強(qiáng)度， 電場(chǎng)強(qiáng)度與電力線條數(shù)、面積元的 關(guān)系怎樣？,電力線條數(shù)相同,勻強(qiáng)電場(chǎng),二.電通量 (electric flux) 藉助電力線認(rèn)識(shí)電通量 通過(guò)任一面的電力線條數(shù),通過(guò)任意面積元的電通量,通過(guò)任意曲面的電通量怎么計(jì)算？,把曲面分成許多個(gè)面積元 每一面元處視

3、為勻強(qiáng)電場(chǎng),通過(guò)閉合面的電通量,正與負(fù) 取決于面元的法線方向的選取,如前圖 知,0,若如紅箭頭所示 則,0,規(guī)定：面元方向 由閉合面內(nèi)指向面外,確定的值,0,0,電力線穿入 電力線穿出,三.靜電場(chǎng)的高斯定理 Gauss theorem 1.表述 在真空中的靜電場(chǎng)內(nèi)，任一閉合面的電通量 等于這閉合面所包圍的電量的代數(shù)和 。,除以,高斯定理,從點(diǎn)電荷特例引出此定理,=,討論：,反, 上式積分值為負(fù)值。 上式中的 q 應(yīng)理解為代數(shù)值。,2. 此式的意義是通過(guò)閉合曲面的電場(chǎng)線條數(shù)等于面內(nèi)的電荷數(shù)除以真空中的介電常數(shù)。,3. 若電荷在面外，則此積分值為 0。因?yàn)?有幾條電場(chǎng)線進(jìn)入面內(nèi)必然有同樣數(shù)目的電

4、場(chǎng)線從面內(nèi)出來(lái)。,4. 若封閉面不是球面，則積分值不變。,5. 若面內(nèi)有若干個(gè)電荷，則積分值為：,高斯定理: 在靜電場(chǎng)中，通過(guò)任意封閉 曲面電場(chǎng)強(qiáng)度矢量的通量，等于面內(nèi)所包圍 的自由電荷代數(shù)和除以真空介電常數(shù)。,若空間電荷 連續(xù)分布，則積分值為：,6.閉合面內(nèi)、外電荷的貢獻(xiàn),只有閉合面內(nèi)的電量對(duì)電通量有貢獻(xiàn),習(xí)題：一點(diǎn)電荷放在球形高斯面的中心處，下列哪一種情況，通過(guò)高斯面的電通量發(fā)生變化？ （）將另一點(diǎn)電荷放在高斯面外； （）將另一點(diǎn)電荷放在高斯面內(nèi)； （）將球心處的點(diǎn)電荷移動(dòng)，但還在高斯面內(nèi)； （）將高斯面半徑縮小。,答案：(B),習(xí)題：點(diǎn)電荷 被曲面所包圍，從無(wú)窮遠(yuǎn)處引入另一點(diǎn)電荷q到曲面

5、外一點(diǎn)，如圖所示，則引入前后： (A) 曲面的電通量不變，曲面上各點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)不變； (B) 曲面的電通量變化，曲面上各點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)不變； (C) 曲面的電通量變化，曲面上各點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)變化； (D) 曲面的電通量不變，曲面上各點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)變化;,答案：(D),習(xí)題：已知一高斯面所包圍的體積內(nèi)電量代數(shù)和為零，則可以肯定： （）高斯面上各點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)均為零； （）穿過(guò)高斯面上每一面元的電通量為零； （）穿過(guò)整個(gè)高斯面上的電通量為零； （）以上說(shuō)法均不對(duì)。,答案：(C),習(xí)題：如圖所示，一個(gè)帶電量為q的點(diǎn)電荷位于立方體的角上，則通過(guò)側(cè)面abcd的電通量為多少？如果放在中心處，則又是多少？,習(xí)題：一無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電的空心圓

6、柱體，內(nèi)半徑為a,外半徑為b,電荷體密度為,若作一半徑為r(arb)，長(zhǎng)度為L(zhǎng)的同軸圓柱形高斯面，則其中包含的電量是多少？,高 斯 面,四. 高斯定理在解場(chǎng)方面的應(yīng)用,常見(jiàn)的電量分布的對(duì)稱性： 球?qū)ΨQ 柱對(duì)稱 面對(duì)稱,均勻帶電的,球體 球面 (點(diǎn)電荷),無(wú)限長(zhǎng) 柱體 柱面 帶電線,無(wú)限大 平板 平面,例1. 均勻帶電球面的電場(chǎng),均勻帶電球體電場(chǎng)強(qiáng)度分布曲線,習(xí)題：圖中曲線表示一種球?qū)ΨQ性靜電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)大小的分布，r表示離對(duì)稱中心的距離，這是什么帶電體產(chǎn)生的電場(chǎng)？,答案：這是半徑為R的均勻帶電體產(chǎn)生的電場(chǎng)。,習(xí)題：如圖，求空腔內(nèi)任一點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)。,解：求空腔內(nèi)任一點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)，挖去體密度為 的小球，相當(dāng)于不

7、挖，而在同一位置處，放一體密度為一-的小球產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)的迭加。,例3. 均勻帶電無(wú)限大平面的電場(chǎng),例3. 均勻帶電無(wú)限大平面的電場(chǎng),例3. 均勻帶電無(wú)限大平面的電場(chǎng),均勻帶電的無(wú)限長(zhǎng)的直線,線密度,對(duì)稱性的分析,取合適的高斯面,計(jì)算電通量,利用高斯定理解出,習(xí)題： 設(shè)氣體放電形成的等離子體在圓柱內(nèi)的電荷體密度為, 試計(jì)算其場(chǎng)強(qiáng)分布。,解：先計(jì)算高斯面內(nèi)的電量,由高斯定律：,高斯面內(nèi)的電量為：,習(xí)題： 設(shè)氣體放電形成的等離子體在圓柱內(nèi)的電荷分布可用下式表示,式 r 中是到圓住軸線的距離， r0是軸線處的電荷體密度，a 是常量。試計(jì)算其場(chǎng)強(qiáng)分布。,解：先計(jì)算高斯面內(nèi)的電量,由高斯定律：,例5： 金屬

8、導(dǎo)體靜電平衡時(shí),體內(nèi)場(chǎng)強(qiáng)處處為0。求證: 體內(nèi)處處不帶電。,證明： 在導(dǎo)體內(nèi)任取體積元,體積元任取,證畢,習(xí)題：如圖所示，兩個(gè)無(wú)限長(zhǎng)的半徑分別為R1和R2的共軸圓柱面，均勻帶電，沿軸線方向單位長(zhǎng)為度上的帶電量分別為1，2，則在外圓柱外面，距離軸線為r處的P點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度大小E為：,答案：,習(xí)題：設(shè)電荷體密度沿 x 軸方向按余弦規(guī)律 cos x分布在整個(gè)空間，試求空間場(chǎng)強(qiáng)分布。,E,S,x,-x,解：如圖所示，由于cosx為偶函數(shù)，故其電荷分布關(guān)于yoz平面對(duì)稱，電場(chǎng)強(qiáng)度亦關(guān)于yoz平面對(duì)稱，做面積為，高為2x的長(zhǎng)方體（或柱體），則利用高斯定理得：,解 (1) 由上例可知,（2）,習(xí)題：有一帶球殼，內(nèi)外半徑分別為a和b,電荷 密度 =A/r,在球心處有一 點(diǎn)電荷Q，證明當(dāng)=Q/2a2 時(shí)，球殼區(qū)域內(nèi)的場(chǎng)強(qiáng)的大小與r無(wú)關(guān)。,r,S,證明： 以Q為圓心，半徑 r作一球面為高斯面，