1、1,14.3 幾個典型的代數(shù)系統(tǒng),14.3.1 半群與獨異點 14.3.2 群 14.3.3 環(huán)與域 14.3.4 格與布爾代數(shù),2,半群與獨異點的定義與實例 半群與獨異點的冪運算 半群與獨異點的子代數(shù)和積代數(shù) 半群與獨異點的同態(tài),半群與獨異點,3,半群與獨異點的定義,定義14.12 (1) 設 V=是代數(shù)系統(tǒng)， 為二元運算，如果 運算是可結合的，則稱 V 為半群. (2) 設 V=是半群，若 eS 是關于 運算的單位元，則稱 V 是含幺半群，也叫做獨異點. 有時也將獨異點 V 記作 V=.,4,實例,例1 (1) ,是半群，+是普通 加法, 其中除外都是獨異點. (2) 設n是大于1的正整數(shù)

2、,和都是半群 和獨異點，其中+和分別表示矩陣加法和矩陣乘法. (3) 為半群，也是獨異點，其中為集合的對稱 差運算. (4) 為半群，也是獨異點，其中Zn=0,1, , n1， 為模n加法. (5) 為半群，也是獨異點，其中為函數(shù)的復合運算. (6) 為半群，其中R*為非零實數(shù)集合，運算定義如 下：x, yR*, xy = y.,5,定義 (1) 在半群中，xS，規(guī)定： x1=x， xn+1=xnx,nZ+ (2)在獨異點中，xS， x0=e， xn+1=xnx， nN 用數(shù)學歸納法不難證明 x 的冪遵從以下運算規(guī)則：xnxm=xn+m， (xn)m= xnm， 在半群中 m, nZ+，在獨異

3、點中m, nN，,半群與獨異點的冪運算,6,半群與獨異點的子代數(shù),定義 半群與獨異點的子代數(shù)分別稱為子半群與子獨異點. 判定方法： 設V=是半群，TS，T 非空，如果T 對V 中的運算封閉，則是V的子半群. 設V=是獨異點，TS，T 非空，如果T 對V 中的運算封閉，而且 eT，那么 構成 V 的子獨異點.,7,是T 的單位元，T 本身可以構成獨異點，但不是V2 的子獨異點，因為V2的單位元是 e.,實例,8,半群與獨異點的同態(tài),定義14.13 (1) 設V1=，V2=是半群，f :S1S2. 若 對 任意的 x, yS1有 f (xy) = f (x)f (y) 則稱 f 為半群V1到V2的

4、同態(tài)映射，簡稱同態(tài). (2) 設V1=，V2=是獨異點，f :S1S2. 若對任意的 x, yS1有f(xy) = f(x)f(y) 且 f(e1)= e2, 則稱 f 為獨異點V1 到V2 的同態(tài)映射，簡稱同態(tài).,9,實例,則 f 是半群V1=的自同態(tài)，但不是獨異點V2=的自同態(tài)，因為 f(e)e.,設半群 V1=，獨異點 V2=. 其中為矩陣乘法，e 為2階單位矩陣, 且 ,令,10,群,群的定義與實例 群中的術語 群的性質(zhì) 子群的定義及判別 群的同態(tài)與同構 循環(huán)群 置換群,11,群的定義與實例,定義14.14 設是代數(shù)系統(tǒng)， 為二元運算. 如果 運算 是可結合的，存在單位元 eG，并且對

5、 G 中的任何元素 x 都有x1G，則稱 G 為 群. 實例 (1) ,都是群；和不是群. (2) 是群，而不是群. (3) 是群，為對稱差運算. (4) ，也是群. Zn= 0,1, , n1，為模 n 加.,12,Klein四元群,設 G = e, a, b, c ，G上的運算由下表給出， 稱為 Klein四元群,運算表特征： 對稱性-運算可交換 主對角線元素都是幺元 -每個元素是自己的逆元 a, b, c 中任兩個元素運算 都等于第三個元素.,13,群中的術語,定義14.15 (1) 若群 G 是有窮集，則稱G是有限群，否則為無限群. 群 G 中的元素個數(shù)稱為群G的 階，有限群 G 的階

6、 記作|G|. (2) 若群G中的二元運算是可交換的，則稱G為交換群 或 阿貝爾(Abel)群. 實例： 和 是無限群 是有限群，也是 n 階群 Klein四元群是 4 階群 上述群都是交換群 n 階 (n2) 實可逆矩陣集合關于矩陣乘法構成的群 是非交換群.,14,群中的術語(續(xù)),定義14.16 設G是群，xG，nZ，則 x 的 n 次冪 xn 定 義為,實例 在中有 23=(21)3=13=111=0 在 中有 (2)3=23=2+2+2=6,15,定義14.17 設G是群，xG，使得等式 xk = e 成立的最小 正整數(shù) k 稱為 x 的階（或周期），記作 |x| = k，稱 x為 k

7、 階元. 若不存在這樣的正整數(shù)k，則稱 x 為無限階元. 實例 在中， 2 和 4 是 3 階元，3 是 2 階元，1 和 5 是 6 階元 0 是 1 階元 在中，0 是 1 階元，其它整數(shù)的階都不存在.,群中的術語(續(xù)),16,群的性質(zhì)-冪運算規(guī)則,定理14.3 設 G 為群, 則 G 中的冪運算滿足： (1) xG，(x1)1 = x. (2) x, yG，(xy)1 = y1x1. (3) xG，xnxm = xn+m，n, mZ. (4) xG，(xn)m = xnm，n, mZ. (5) 若G為交換群，則(xy)n = xnyn. 證 (1) (x1)1是x1的逆元，x也是x1的逆

8、元. 根據(jù)逆元的 惟一性，等式得證. (2) (y1x1)(xy)= y1(x1x)y = y1y = e, 同理 (xy)( y1x1)=e，故y1x1是 xy 的逆元. 根據(jù)逆元的惟一性等式得證.,17,等式(5)只對交換群成立. 如果G是非交換群，那么,群的性質(zhì)-冪運算規(guī)則(續(xù)),說明： (3) (4) (5) 的證明： 用數(shù)學歸納法證明對于自然數(shù)n和m證等式為真， 然后討論 n 或 m 為負數(shù)的情況. (2) 中的結果可以推廣到有限多個元素的情況，即,18,群的性質(zhì)-群方程存在唯一解,定理14.4 G為群，a,bG，方程 ax=b 和 ya=b 在G中有解且僅有惟一解. 證 a1b 代

9、入方程左邊的 x 得 a (a1b) = (a a1) b = eb = b所以 a1b 是該方程的解. 下面證明唯一性. 假設 c 是方程 ax = b 的解，必有 ac = b，從而有 c = ec = (a1a)c = a1(ac) = a1b 同理可證 ba1 是方程 ya = b 的唯一解. 例 設群 G=，其中為對稱差. 群方程 aX=， Ya,b=b的解 X=a1=a=a， Y=ba,b1=ba,b=a,19,群的性質(zhì)-消去律,定理14.5 G為群，則G中適合消去律，即對任意 a,b,cG 有 (1) 若ab=ac，則b=c. (2) 若ba=ca，則b=c. 證 (1) ab=

10、ac a1(ab)=a 1(ac) (a1a)b=(a1a)c b=c (2) 同理可證. 例1 設 G=a1, a2, , an 是 n 階群，令 aiG = ai aj | j =1,2, , n 證明 aiG = G.證 由群中運算的封閉性有 aiGG. 假設aiGG，即|aiG|n. 必有aj, akG使得 ai aj = ai ak （jk） 由消去律得 aj = ak, 與 |G|=n 矛盾.,20,群中元素階的性質(zhì),定理14.6 G為群，aG且|a|=r. 設k是整數(shù)，則 (1) ak = e 當且僅當 r | k (2) |a1|=|a| 證 (1) 充分性. 由r|k，必存在

11、整數(shù) m 使得 k=mr，所以有 ak = amr = (ar)m = em = e.必要性. 根據(jù)除法，存在整數(shù) m 和 i 使得 k = mr+i, 0ir1從而有 e = ak = amr+i = (ar)mai = eai = ai因為|a| = r，必有 i = 0. 這就證明了r | k. (2) 由 (a1)r= (ar)1 = e1 = e, 可知 a1的階存在. 令 |a1|=t，根據(jù)上面的證明有 t | r. a又是a1的逆元，所以 r | t. 從而證明了r = t，即 |a1|=|a|.,21,群性質(zhì)的應用,例2 證明單位元為群中惟一冪等元. 證 設 G 為群. a 為

12、 G 中冪等元. 則 aa = a，從而得到 aa = ae. 根據(jù)消去律得 a = e. 例3 設G為群，如果aG 都有 a2 = e, 證明 G 為 Abel群. 證 a2 = a a = a1 任取 x,yG， xy = (xy)1 = y1x1 = yx 因此 G為Abel群.,22,子群的定義,定義14.18 設 G 是群，H 是 G 的非空子集，如果 H 關于G中的運算構成群，則稱 H 是 G 的子群, 記作 HG. 若 H 是 G 的子群，且 HG，則稱 H 是 G 的真子群，記作 H 的子群. 當 n1 時, nZ 是 Z 的真子群. 對任何群 G 都存在子群. G 和e都是

13、G 的子群，稱為G的平凡子群.,23,子群判定定理,判定定理一 定理14.7 設 G 為群，H 是 G 的非空子集. H 是 G 的子群當 且僅當 a, bH 有 abH，aH 有 a1H. 證 必要性顯然，只證充分性. 由于H非空，存在 a 屬于H, 因此有a1屬于H. 根據(jù)已知 必有 aa1屬于H, 即 e 屬于H. H 滿足子群定義. 實例 nZ 是整數(shù)加群 的子群. 顯然 nZ是 Z 的非空子集. 因為 n 屬于 nZ. 任取 nk, nl 屬于 nZ, nk+nl = n(k+l)，n(k+l)nZ，nknZ 根據(jù)判定定理，nZ 是整數(shù)加群的子群.,24,子群判定定理(續(xù)),判定定理

14、二 定理14.8 設 G 為群，H 是 G 的非空子集. H 是 G 的子群當 且僅當 a,bH 有 ab1H. 證明 只證充分性. 由于 H 非空，必有 xH. 由已知有 xx1H，從而得到 eH. 任取 H 中元素 a, 由 e,aH 得 ea 1H，即a1H. 任取 a,bH, 必有 b1H，從而得到a(b1)1H，即 abH. 根據(jù)判定定理一得證.,25,重要子群的實例,生成子群 定義 設 G 為群，aG，令 H = ak | kZ ，則 H 是 G 的子群，稱為由 a 生成的子群，記作. 證 首先由 a 知道. 任取am,al，則 am(al)1 = amal = aml 根據(jù)判定定

15、理可知G. 實例： 整數(shù)加群，由2生成的子群是 = 2k | kZ = 2Z 群中，由2生成的子群 = 0, 2, 4 Klein四元群G = e, a, b, c 的所有生成子群是： = e , = e, a , = e, b , = e, c .,26,群G 的中心C： 設G 為群, C = a | aGxG(ax=xa)，則 C 是 G 的子 群，稱為 G 的中心. 證 eC. C是G的非空子集. 任取 a, bC，只需證明 ab1與 G 中所有的元素都可交換. xG，有 (ab1)x = ab1x = ab1(x1)1 = a(x1b)1 = a(bx1)1 = a(xb1) = (a

16、x)b1 = (xa)b1 = x(ab1) 由判定定理可知CG. 對于阿貝爾群G，G的中心就等于 G. 對某些非交換群 G，它的中心是 e .,重要子群的實例(續(xù)),27,子群格,定義 設 G 為群，令S=H| HG是 G 的所有子群的集 合，定義 S 上的偏序，x,yS, xyxy，那么構 成格，稱為 G 的子群格. 實例 Klein四元群 G 和的子群格如下圖所示,28,群同態(tài)的定義與分類,定義14.19 設G1,G2是群，f :G1G2，若a,bG1都有 f(a b) = f(a) f(b) 則稱 f 是群G1到G2的同態(tài)映射，簡稱同態(tài). 如果同態(tài) f 為單射函數(shù)，則稱為單同態(tài); 如果

17、是滿射函數(shù)，則稱為滿同態(tài)，記作G1G2; 如果是雙射函數(shù)，則稱為同構，記作G1G2.,29,群同態(tài)的實例,例4 (1) G1=是整數(shù)加群，G2=是模n的整數(shù)加群. 令 f :ZZn，f (x)= x mod n， f 是G1到G2的滿同態(tài). x,yZ f(x+y) = (x+y)mod n = x mod n ymod n = f(x)f(y) (2) 設G=是模n整數(shù)加群，可以證明恰有n個G的自 同態(tài)，即 fp:ZnZn, fp(x)=(px)mod n，p=0,1, , n1 (3) 設G1,G2是群，e2是G2的單位元. f:G1G2，f(a) = e2， aG1. 則 f 是G1到G2

18、的同態(tài)，稱為零同態(tài). a,bG1有 f (ab)= e2 = e2e2 = f(a) f(b) (4) G為群，aG. 令 f :GG, f (x)=axa1，xG 則 f 是G的自同構，稱為G的內(nèi)自同構.,30,群同態(tài)的性質(zhì),設 f 是群 G1到 G2的同態(tài)映射，則 (1) f(e1) = e2, e1和 e2分別是G1和 G2的單位元 (2) xG1，f(x1) = f(x)1 (3) 設HG1, 則 f(H)G2 證明 (1) f(e1) f(e1) = f(e1e1) = f(e1) = f(e1)e2 f(e1)=e2 (2) f(x) f(x1) = f(xx1) = f(e1)

19、= e2 f(x-1) f(x) = f(x1x) = f(e1) = e2 (3) e2f(H), f(H). a,bf(H), x, yH,使得 f(x)=a, f(y)=b ab 1 = f(x) f(y)1 = f(xy1) xy1H f(xy1)f(H) ab1f(H),31,例題,例5 給出Klein四元群上所有的自同態(tài) 解 G=e, a, b, c，因為同態(tài) f 滿足f(e)=e，因此只可能有以下 6個雙射函數(shù)可能是同態(tài)映射: f1(a)=b, f1(b)=a, f1(c)=c; f2(a)=c, f2(b)=b, f2(c)=a; f3(a)=a, f3(b)=c, f3(c)

20、=b; f4(a)=b, f4(b)=c, f4(c)=a; f5(a)=c, f5(c)=b, f5(b)=a; f6=IG， 不難驗證這6個函數(shù)都是 G上的同態(tài)映射. 例6 設 G1=,G2=, 證明不存在 G1到 G2的同態(tài). 證 假設存在 G1到 G2 的同態(tài) f, 那么 f(1)=0. 因此 f(1)+f(1) = f(1)(1) = f(1)=0 f(1)=0 與 f 的雙射性矛盾.,32,循環(huán)群的定義,定義14.20 設 G 是群，若存在 aG 使得 G = ak | kZ 則稱 G 是循環(huán)群，記作 G=，稱 a 為 G 的生 成元. 實例 整數(shù)加群 G = = = 模 6 加群

21、 G = = = ,33,循環(huán)群的分類,設 循環(huán)群 G = ，根據(jù)生成元 a 的階可以分成兩類： n 階循環(huán)群和無限循環(huán)群. 設 G = 是循環(huán)群， 若a 是 n 階元，則 G = a0=e, a1, a2, , an1 那么 |G|= n，稱 G 為 n 階循環(huán)群. 若 a 是無限階元，則 G = a0=e, a1, a2, 這時稱 G 為無限循環(huán)群.,34,循環(huán)群的生成元,定理14.9 設G=是循環(huán)群. (1) 若G是無限循環(huán)群，則G只有兩個生成元，即 a 和 a1. (2) 若G是 n 階循環(huán)群，則G含有(n)個生成元. 對于任何小于n且與n互質(zhì)的自然數(shù) r, ar是G 的生成元. (n

22、)為歐拉函數(shù), 表示0, 1, , n1中與 n 互素的整數(shù)個數(shù). 實例 (18)=6，與18互素的正整數(shù)為 1, 5, 7, 11, 13, 17.,35,例7 (1) 設G=e, a, , a11是12階循環(huán)群，則(12)=4. 小于或等于12且與12互素的數(shù)是1,5,7,11, 由定理可知 a, a5, a7和 a11是G的生成元. (2) 設G=是模9的整數(shù)加群，則(9)=6. 小于或等于9且與9互素的數(shù)是1,2,4,5,7,8. 根據(jù)定理，G的生成元是1, 2, 4, 5, 7 和 8. (3) 設G=3Z=3z | zZ, G上的運算是普通加法. 那么G只有兩個生成元：3和3.,循

23、環(huán)群的生成元(續(xù)),36,循環(huán)群的子群,定理14.10 設G=是循環(huán)群，則 (1) G的子群仍是循環(huán)群. (2) 若G=是無限循環(huán)群，則G的子群除e以外都是無限循環(huán)群. (3) 若G=是 n 階循環(huán)群，則對n的每個正因子d，G恰好含有一個d 階子群.,37,例8 (1) G=是無限循環(huán)群，對于自然數(shù)mN，1 的 m 次冪是 m，m 生成的子群是 mZ，mN. 即 = 0 =0Z = mz | zZ = mZ， m0 (2) G=Z12是12階循環(huán)群. 12的正因子是1, 2, 3, 4, 6 和12，因此G 的子群是： 1 階子群 = = 0 2 階子群 = 0, 6 3 階子群 = 0, 4

24、, 8 4 階子群 = 0, 3, 6, 9 6 階子群 = 0, 2, 4, 6, 8, 10 12 階子群 = Z12,循環(huán)群的子群(續(xù)),38,n元置換的定義,定義14.21 設 S = 1, 2, , n , S上的雙射函數(shù) :SS 稱為 S上的 n元置換. 一般將 n 元置換 記為 例如 S = 1, 2, 3, 4, 5 , 則 都是 5元置換.,39,k 階輪換與對換,定義14.23 設是 S = 1, 2, , n上的 n 元置換. 若 (i1)=i2 ,(i2)=i3, ,(ik1)=ik,(ik)=i1 且保持 S 中的其他元素不變，則稱為 S上的 k 階輪換， 記作 (i1i2ik). 若 k=2，稱為S上的對換. 例如 5元置換 分別是4階和2階輪換=(1 2 3 4),=(1 3), 其中也叫做 對換,40,例9 設 S=1, 2, , 8, 從中分解出來的第一個輪換式 (1 5 2 3 6)；