1、梁的彈塑性彎曲，第5章梁的彈塑性彎曲，5-1彈塑性力學(xué)中的邊值問(wèn)題，5-2梁的彎曲，1、由于有兩種塑性本構(gòu)關(guān)系理論，有必要給出這兩種理論的邊值問(wèn)題的公式和解法。確定這些未知數(shù)的基本方程如下：1) 2) 3) 4)彈塑性力學(xué)中的邊值問(wèn)題，梁的彈塑性彎曲，3)，4)，5)求解方法與彈性問(wèn)題相同，可以使用兩種基本方法：根據(jù)位移或根據(jù)應(yīng)力。當(dāng)總量理論適用，彈塑性問(wèn)題按位移求解時(shí)，伊柳辛提出的彈性解非常方便。將代入由位移表示的平衡微分方程，其中、或處于彈性狀態(tài)，所以當(dāng)上述公式的右端等于零時(shí)，就可以得到彈性解。將它作為第一個(gè)近似解，代入上述公式的右端作為已知項(xiàng)，就可以求解第二個(gè)近似解。通過(guò)重復(fù)上述過(guò)程，可

2、以獲得在所需精度內(nèi)接近實(shí)際的解決方案。在小變形的情況下，可以證明解可以快速收斂。在許多問(wèn)題中，第二個(gè)近似解可以給出滿(mǎn)意的結(jié)果。梁的彈塑性彎曲，增量理論的邊值問(wèn)題及其解，都是在加載階段的某一時(shí)刻設(shè)定的，并得到了物體中各點(diǎn)的解。在此基礎(chǔ)上，給出了給定物理強(qiáng)度增量、上力增量和上位移增量時(shí)，物體各點(diǎn)的應(yīng)力增量、應(yīng)變?cè)隽亢臀灰?。確定這些增量的基本方程如下：1) 2) 3)本構(gòu)關(guān)系(理想彈塑性材料)彈性區(qū)，梁的彈塑性彎曲，塑性區(qū)4) 5)另外，當(dāng)給定加載歷史時(shí)，可以計(jì)算每個(gè)時(shí)刻的增量，然后通過(guò)“積分”(累加)得到應(yīng)力和應(yīng)變的分布規(guī)律。塑性力學(xué)中的簡(jiǎn)單問(wèn)題，包括所謂的靜定問(wèn)題，即應(yīng)力場(chǎng)可以完全由平衡微分方程

3、、屈服條件和應(yīng)力邊界條件確定，以及屈服條件是線(xiàn)性的情況，不需要處理一整套方程(因?yàn)樵S多方程已經(jīng)自動(dòng)滿(mǎn)足)，需要處理的方程也可以用更簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)方法求解。這些問(wèn)題包括純拉伸、純彎曲、純扭轉(zhuǎn)、平面彎曲、厚壁圓筒和旋轉(zhuǎn)圓盤(pán)。梁的彈塑性彎曲，5-2梁的純彎曲，以及兩個(gè)截面的研究對(duì)象和基本假設(shè)。當(dāng)載荷作用在對(duì)稱(chēng)平面x-y平面時(shí)，材料力學(xué)中梁彎曲理論的一般假設(shè)仍然適用：(1)平面截面假設(shè)；(2)變形和撓度??；(3)梁中的所有點(diǎn)僅處于單向應(yīng)力狀態(tài)；(4)梁的材料在拉伸和壓縮時(shí)具有相同的機(jī)械性能。材料是不可壓縮的，即梁的彈塑性彎曲取為、7、由于梁中的每個(gè)點(diǎn)都處于單向應(yīng)力狀態(tài)，當(dāng)外載荷比增加時(shí)，必須簡(jiǎn)單加載，應(yīng)力

4、和應(yīng)變之間的物理關(guān)系可以利用總量理論直接建立?；蛘咧灰?jì)算曲率，就可以確定梁中每個(gè)點(diǎn)的應(yīng)力。彈塑性彎曲之間的關(guān)系、是由橫截面上的力合成的：上述公式建立了曲率和彎矩之間的關(guān)系。給定，可以得到相應(yīng)的形式，但當(dāng)給定相反的形式時(shí)，必須考慮。如果表格不是很簡(jiǎn)單，就不容易得到給定的表格。這可以通過(guò)畫(huà)一條曲線(xiàn)找到。確定這種關(guān)系是解決梁彎曲問(wèn)題的關(guān)鍵。4.理想彈塑性材料梁對(duì)于理想彈塑性材料，其應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系如下：梁的彈塑性彎曲，當(dāng)彎矩超過(guò)一定的大小，使梁截面的一部分進(jìn)入塑性，在梁截面上，是從塑性區(qū)邊緣到中性軸的距離。用(5-1)代替，得到彈塑性彎曲、10、其中，是橫截面彈性區(qū)相對(duì)于中性軸的慣性矩。是截面塑性區(qū)

5、繞中性軸的靜力矩。梁的彈塑性彎曲，5-2梁的彎曲，以及Mises理想塑性材料的制作。當(dāng)載荷作用在對(duì)稱(chēng)平面的xy平面上時(shí)，材料力學(xué)中梁彎曲理論的一般假設(shè)仍然適用：(1)平面截面假設(shè)；(2)變形和撓度??；(3)層間相互擠壓；(4)長(zhǎng)度遠(yuǎn)大于橫向尺寸。材料是不可壓縮的，即梁的位移分量作為梁的應(yīng)變分量，以滿(mǎn)足應(yīng)變協(xié)調(diào)方程。梁的彈塑性彎曲，梁的縱向纖維被簡(jiǎn)單地拉伸或壓縮。當(dāng)彎矩m增大時(shí)，每個(gè)單元的荷載明顯變小，因此可以用全量理論求解。其次，本構(gòu)方程忽略了本構(gòu)方程中二次應(yīng)力(即壓應(yīng)力和橫向剪應(yīng)力)的影響，材料處于單軸拉伸和壓縮狀態(tài)。對(duì)于理想的彈塑性材料，應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系是屈服應(yīng)變，即應(yīng)力剛達(dá)到屈服應(yīng)力時(shí)的應(yīng)

6、變。梁的彈塑性彎曲。平衡微分方程(不包括物理力)求解后，壓應(yīng)力和橫向剪應(yīng)力可根據(jù)上述方程求解。7、作用于橫截面的內(nèi)力：彎矩m和剪力分別為(純彎曲和橫向力彎曲)。所需橫截面上的應(yīng)力分布也必須依賴(lài)于變形條件。由于平面假設(shè)，當(dāng)梁處于純彈性且發(fā)生塑性變形時(shí)，可以證明米塞斯的屈服條件是梁的彈塑性彎曲。五、彎矩與截面彈塑性區(qū)的關(guān)系由于材料是各向同性的，截面是對(duì)稱(chēng)的，它也隨著m的增加而增加。塑性變形從梁截面的邊緣向內(nèi)部對(duì)稱(chēng)發(fā)展。當(dāng)最外層纖維上的應(yīng)力達(dá)到時(shí)，梁進(jìn)入塑性階段。彈性區(qū)和塑性區(qū)在梁的截面上共存。在彈性區(qū)，應(yīng)力呈線(xiàn)性分布，在塑性區(qū)，應(yīng)力按上述公式分布。在兩者的結(jié)合處，法向應(yīng)力正好等于。梁的彈塑性彎曲，

7、當(dāng)材料是理想的彈塑性材料時(shí)，彎矩不斷增大，截面上的應(yīng)力分布分為三個(gè)區(qū)域，由于每個(gè)截面上的彎矩不同，也不同，所以是一個(gè)函數(shù)，即同時(shí)所有截面都進(jìn)入塑性狀態(tài)?，F(xiàn)在進(jìn)一步研究與m的關(guān)系。當(dāng)最外層纖維開(kāi)始屈服時(shí)，彎矩稱(chēng)為最大彈性彎矩或彈性極限彎矩。當(dāng)整個(gè)截面處于塑性狀態(tài)，忽略剪應(yīng)力影響時(shí)，此時(shí)的彎矩稱(chēng)為極限彎矩。梁的彈塑性彎曲，其中，是彈性截面相對(duì)于中性軸的慣性矩，以及塑性截面相對(duì)于中性軸的靜力矩。如果梁的橫截面是高為H、寬為B的矩形，則梁的彈塑性彎曲為。完成后，這就是梁的彈塑性區(qū)沿軸向的邊界方程。彈塑性區(qū)的邊界是雙曲線(xiàn)。假設(shè)彈性梁能承受的最大均布載荷是，即梁的彈塑性彎曲。此時(shí)，它被稱(chēng)為極限載荷，由下式表示。還有。在極限設(shè)計(jì)理論中，要求結(jié)構(gòu)失去承載力時(shí)的荷載，這是目前的極限荷載。在許用應(yīng)力設(shè)計(jì)中，只要梁的任何部分達(dá)到塑性狀態(tài)，梁就不允許承受更多的載荷。13、然而，當(dāng)梁的一小部分進(jìn)入塑性狀態(tài)時(shí)，梁的撓度仍然受到中間彈性區(qū)的限制，中間彈性區(qū)不會(huì)過(guò)度增加，梁上的載荷也可以增加，理論上應(yīng)該達(dá)到50%。這樣可以充