1、1,物理學(xué)專業(yè)必修課程,數(shù)學(xué)物理方法,Mathematical Method in Physics,西北師范大學(xué)物理與電子工程學(xué)院,2,第一章 波動方程和行波法,3,引言 1.1 弦振動方程 1.2 行波法,4,數(shù)理方程（泛定方程）（三類）在物理學(xué)的研究中起著重要作用。如何從物理學(xué)的實(shí)際問題中導(dǎo)出數(shù)理方程呢？我們先從弦振動方程入手。,引 言,5,基本步驟：,1.建立坐標(biāo)系（時間，空間）,2.選擇表征所研究過程的物理量,表征物理量的選擇常常是建立一個新方程的起點(diǎn)。 （一個或幾個）。,數(shù)學(xué)模型,物理模型,6,3.尋找（猜測）物理過程所遵守的物理定律或物理公理; 4.寫出物理定律的表達(dá)式，即數(shù)學(xué)模型

2、。,7,一、弦的橫振動方程 二、定解條件的提出 三、三類定解問題,1.1 弦振動方程,8,一、 弦的橫振動方程（均勻弦的微小橫振動） 演奏弦樂（二胡，提琴）的人用弓在弦上來回拉動，弓所接觸的是弦的很小的一段，似乎只能引起這個小段的振動，實(shí)際上振動總是傳播到整個弦，弦的各處都振動起來。振動如何傳播呢？,9,實(shí)際問題：設(shè)有一根細(xì)長而柔軟的弦,緊繃于A，B兩點(diǎn)之間，在平衡位置附近產(chǎn)生振幅極為微小的橫振動（以某種方式激發(fā)，在同一平面內(nèi)，弦上各點(diǎn)的振動方向相互平行，且與波的傳播方向（弦的長度方向）垂直），求弦上各點(diǎn)的運(yùn)動規(guī)律。,1. 物理模型,10,2. 分析 弦是柔軟的，即在放松的條件下，把弦彎成任意

3、的形狀，它都保持靜止?？嚲o后，相鄰小段之間有拉力，這種拉力稱為弦中的張力，張力沿線的切線方向。,11,由于張力的作用，一個小段的振動必帶動它的鄰段，鄰段又帶動它自己的鄰段，這樣一個小段的振動必然傳播到整個弦，這種振動的傳播現(xiàn)象叫作波。弦是輕質(zhì)弦（其質(zhì)量只有張力的幾萬分之一）。跟張力相比，弦的質(zhì)量完全可以略去。,12, 模型實(shí)際上就是：柔軟輕質(zhì)細(xì)弦（“沒有質(zhì)量”的弦） 將無質(zhì)量的弦緊繃，不振動時是一根直線，取為 x 軸。, 將弦上個點(diǎn)的橫向位移記為,13,14,3. 研究建立方程 如圖，選弦繃緊時（不振動）直線為 x 軸,15,為表征物理量。, 弦離開平衡位置的位移記為,因弦的振動是機(jī)械振動，基

4、本規(guī)律為：,然而弦不是質(zhì)點(diǎn)，故,對整根弦并不適用。但整根弦可以細(xì)分為許 多極小的小段，每個小段可以抽象為質(zhì)點(diǎn)。,16,即整根弦由相互牽連的質(zhì)點(diǎn)組成，對每個質(zhì)點(diǎn)即每個小段可應(yīng)用 .,17, 對弦的每一小段dx,沿x方向（縱向） 沒有運(yùn)動，沿 x方向所受合外力為零。任一小段弦在振動過程中只受到相鄰段對它的張力和施加在弦上的外力。 設(shè)單位長度上受到的橫向外力為,18,于是由牛頓第二定律對 dx 所對應(yīng)的這一小 段弦有:,19,20,21,于是、化簡為：,22,即,令,則上式為:,23,應(yīng)用微積分中值定理:,24,即, 弦的強(qiáng)迫橫振動方程,其中:,，,量綱分析：,，,25,即,：振動的傳播速度,它與弦

5、的張力的平方根成正比，與弦的 線密度的平方根成反比。,26,對樂器來講，意味著弦繃的越緊，波速越大；弦的質(zhì)料越密，波速越小。,則得弦的自由橫振動方程：,27,注意：上述推導(dǎo)過程中，并沒有考慮重力。不僅弦振動，一維波動方程，如彈性桿的橫振動。二維波動方程，如薄膜的橫振動方程，管道中小振動的傳播，理想傳輸線的電報方程等均可用上述波動方程描述。故稱為一類方程，即波動方程。（也是稱其為泛定方程的遠(yuǎn)大）可描述一類物理現(xiàn)象。流體力學(xué)與聲學(xué)中推導(dǎo)三維波動方程，這里不再一一推導(dǎo)。,28,二、定解條件的提出 1、必要性。導(dǎo)出方程后，就得對方程進(jìn)行求解。但是只有泛定方程不足以完全確定方程的解，即不足以完全確定具體

6、的物理過程，因?yàn)榫唧w的物理過程還與其初始狀態(tài)及邊界所受的外界作用有關(guān)，因而必須找一些補(bǔ)充條件，用以確定該物理過程。,29,從物理角度看：泛定方程僅表示一般性（共性），要為物體的運(yùn)動個性化附加條件。 從數(shù)學(xué)角度看：微分方程解的任意性也需附加條件。通解中含任意函數(shù)（解不能唯一確定）。通過附加條件確定任意函數(shù)（常數(shù)），從而確定解。這些附加條件就是前面所談的問題的“歷史”與“環(huán)境”，即初始條件和邊界條件，統(tǒng)稱為定解條件。,30,2、初始條件 在求解含時間t變量的數(shù)理方程時，往往要追溯到早些某個所謂“初始”時間的狀況（“歷史” ），于是稱物理過程初始狀況的數(shù)學(xué)表達(dá)式為初始條件。,31,如弦振動方程:,其

7、初始條件為:,注意：( a）初始條件應(yīng)是整個系統(tǒng)的初始狀態(tài)，而不是系統(tǒng)中個別點(diǎn)的初始狀態(tài)。,32,如：一根長為 l 的兩端固定的弦，用手把它的 中點(diǎn)朝橫向拔開距離h，然后放手任其振動（ 初始時該就為放手的時刻），則初始條件應(yīng)為：,33,(b) 時間 t 的 n 階方程需 n個初始條件， n 個常數(shù)。,如：,34,3、邊界條件 求解方程時還需考慮邊界狀況（周邊“環(huán)境”）（邊界狀況將通過逐點(diǎn)影響所討論的整個區(qū)域），稱物理過程邊界狀況的表達(dá)式為邊界條件，或稱為邊值條件。 邊界條件在數(shù)學(xué)上分為三類：,35,第一類邊界條件(Dirichlet邊界條件)：直接規(guī)定所研究的物理量在邊界上的數(shù)值,36,第二類

8、邊界條件（Neuman 邊界條件）：規(guī)定所研究物理量在邊界外法線方向 上的方向?qū)?shù)的數(shù)值.,，,37,第三類邊界條件（混合邊界條件 也叫Robin邊界條件 ）：規(guī)定所研究物理量及其外法向?qū)?shù)的線性組合在邊界上的值,:常系數(shù),38,第一、二、三類齊次邊界條件。,39, 銜接條件,集中地,由于一些原因，在所研究的區(qū)域里出現(xiàn)躍變點(diǎn)，泛定方程在該點(diǎn)失去意義。如波動方程（弦），如果有橫向力,作用于,點(diǎn)，,這就成了弦的折點(diǎn)。在點(diǎn),斜率,的左極限,不同于右極限,，因而,不存在,4、其它條件,40,在各段上,弦振動方程有意義，但它是一根弦的兩段，并不是各自振動的。從數(shù)學(xué)上來講，不可能在兩端上分別列出定解問題。

9、兩段可作為一個整體來研究，兩段的振動是相互關(guān)聯(lián)的。,41,42,雖是折點(diǎn)，但它們連續(xù)，即,、合稱為銜接條件，這時振動問題適定。,43,再如，不同材料組成的桿的振動，在銜接處的位移和能量相等，即：,：桿的兩部分位移.,：兩部分的楊氏模量.,44,靜電場中，兩種電介質(zhì)的交界面 上電勢應(yīng)相等（連續(xù)），電位移矢量的法向分量也應(yīng)相等（連續(xù)）,其銜接條件是:,45,46, 自然邊界條件 某些情況下，出于物理上的合理性等原因，要求解為單值、有限，就提出自然邊界條件，這些條件通常都不是要研究的問題直接給出，而是根據(jù)解的特性要求自然加上去，故稱為自然邊界條件，如：,47,通解為：,48,但并非所有的定解問題中，

10、都一定同時具有初始條件和邊界條件。,三、三類定解問題,49,（1）初值問題(Cauchy問題）：定解問題中僅初始條件而無邊界條件 ,如無界弦的振動:,50,（2）邊值問題： 定解條件為邊界條件,如,51,（3）混合問題:即有初始條件又有邊界條件。,如有界弦的自由振動,52,物理系統(tǒng)總是有限的，必須有界，要求邊界條件，如：弦總是有限長的，有兩個端點(diǎn)，但如果注重研究靠近一端的一段弦，即在不太長的時間里，另一端還沒來得及傳到，可認(rèn)為另一端不存在這樣就可將真實(shí)的弦抽象為半無界弦。,（4）無界半無界問題：,53,如果注重考慮不靠近兩端點(diǎn)的某段弦，在不太長的時間里，兩端點(diǎn)的影響還沒來得及傳到，可認(rèn)為兩端點(diǎn)

11、都不存在，即兩端點(diǎn)都在無限遠(yuǎn)，就不提邊界條件了，這樣有限的真實(shí)弦抽象成無界的弦，分別稱為半無界問題、無界問題。,54,舉例：弦振動問題中,第一類邊界條件：,55,端點(diǎn)的運(yùn)動規(guī)律:,左端點(diǎn)，,右端點(diǎn),若兩端點(diǎn)固定，則,為齊次邊界條件，稱固定端點(diǎn)邊界條件 。,56,57,第三類邊界條件：,的彈簧，弦的左端點(diǎn)固定于彈簧的自由頂端，弦的左端點(diǎn)受到垂直于 軸的已知外力 的作用而上下運(yùn)動。,58,59,若,彈性支承邊界條件：,弦的一端與一個其他系統(tǒng)相連接，弦在左端 處連接于一彈簧質(zhì)量系統(tǒng)，保持其運(yùn)動是完全垂直的。,60,61,彈簧的拉伸長度為:,由牛頓第二定律：,彈簧上的其它力,胡克定律，設(shè)弦的支撐點(diǎn)按照

12、其解的方式,移動。彈簧的長度為,62,63,64,則,65,若質(zhì)量的平衡位置與弦的平衡位置重合，即,則：,66,端點(diǎn)處無任何其它垂直外力，彈力在端點(diǎn)的垂直分量必為0，否則此端點(diǎn)將會有無限垂直加速度。,若端點(diǎn)附在前述無摩擦的垂直軌道上，上下自由移動，無彈簧質(zhì)量系統(tǒng)也無外力，,67,1.2 行波法,一、定解問題 二、求解定解問題 三、分析解答 四、依賴區(qū)域 五、其它: 問題,68,引 言,69,先求方程通解（含任意常數(shù)）,(利用初值條件),方程的特解,確定條件中的數(shù),70,例如：,通解為:,71,72,其一，通解不好求； 其二，用定解條件確定函數(shù)較困難，但也卻非不能解決任何方程，對一類問題是可行的

13、：無界區(qū)域齊次波動方程的定解問題。,73,74,（初值問題）抽象成問題的區(qū)域是整個空間，由初始擾動所引起的振動就會一往無前的傳播下去，形成行進(jìn)的波，簡稱行波。（數(shù)學(xué)上將弦的長度視為無限）。這種求解行波問題的方法成為行波法。,75,一、 定解問題,76,物理模型解釋： 無限長弦的自由振動 無限長桿的縱振動 無限長理想傳輸線上電流、電壓之比 這里“無限長”指沒有受到外力作用，只研究其中一小段，則在不太長的時間里，兩,77,端的影響來不及傳到，可認(rèn)為兩端不存在，因而為無限長。對該問題的處理思路（借鑒 ODE處理方法）,自變量變換,簡化泛定方程,定解問題的解,得通解,初始條件,78,二、求解定解問題

14、（一維齊次波動方程的通解） （1）作自變量變換（行波變換）. 目的：將泛定方程簡化成易積分的 形式. 設(shè),79,80,使,為常數(shù)，,81,令,則,故令,82,則有,這時,83,為了書寫簡便和對稱，令,即,84,85,86,87,（）求通解,則有,88,89,90,（）用初始條件定特解確定,由初始條件,由,有,91,92,由此解得,93,94,故 :,這叫做達(dá)朗貝爾解，簡稱達(dá)氏解，因此這種方法叫做達(dá)朗貝爾解法。,95,三、分析解答 （1）解的適定性(存在性、唯一性、穩(wěn)定性) （2）解的物理意義.,96,97,越大,表示波傳播速度越快。,98,+,99,上式第一項(xiàng)為:,100,101,102,例1.求解初值問題（初始位移引起的波動）,103,若,104,四、依賴區(qū)域、影響區(qū)域、決定區(qū)域 無界弦自由振動的這種特性，可以更幾何直觀地表現(xiàn)出來. 定解問題 如下:,105,106,響，而區(qū)域外的任何點(diǎn)一定不受到初始激發(fā)的影響。如下圖:,107,108,109,110,111