1、專題四 幾何變換壓軸題類型一 圖形的旋轉變換 幾何圖形的旋轉變換是近年來中考中的?？键c，多與三角形、四邊形相結合解決旋轉變換問題，首先要明確旋轉中心、旋轉方向和旋轉角，關鍵是找出旋轉前后的對應點，利用旋轉前后兩圖形全等等性質解題 如圖，在菱形ABCD中，AB2，BAD60，過點D作DEAB于點E，DFBC于點F.(1)如圖1，連接AC分別交DE，DF于點M，N，求證：MNAC；(2)如圖2，將EDF以點D為旋轉中心旋轉，其兩邊DE，DF分別與直線AB，BC相交于點G，P.連接GP，當DGP的面積等于3時，求旋轉角的大小并指明旋轉方向 【分析】 (1)連接BD，由BAD60，得到ABD為等邊三角

2、形，進而證明點E是AB的中點，再根據(jù)相似三角形的性質解答；(2)分EDF順時針旋轉和逆時針旋轉兩種情況，然后根據(jù)旋轉的性質解題 1(2017濰坊)邊長為6的等邊ABC中，點D，E分別在AC，BC邊上，DEAB，EC2.(1)如圖1，將DEC沿射線EC方向平移，得到DEC，邊DE與AC的交點為M，邊CD與ACC的角平分線交于點N.當CC多大時，四邊形MCND為菱形？并說明理由(2)如圖2，將DEC繞點C旋轉(0360)，得到DEC，連接AD，BE.邊DE的中點為P.在旋轉過程中，AD和BE有怎樣的數(shù)量關系？并說明理由；連接AP，當AP最大時，求AD的值(結果保留根號) 圖1圖22(2016成都)

3、如圖1，ABC中，ABC45，AHBC于點H，點D在AH上，且DHCH，連接BD.(1)求證：BDAC；(2)將BHD繞點H旋轉，得到EHF(點B，D分別與點E，F(xiàn)對應)，連接AE.如圖2，當點F落在AC上時(F不與C重合)，若BC4，tan C3，求AE的長；如圖3，當EHF是由BHD繞點H逆時針旋轉30得到時，設射線CF與AE相交于點G，連接GH，試探究線段GH與EF之間滿足的等量關系，并說明理由 類型二 圖形的翻折變換 幾何圖形的翻折變換也是近年來中考中的常考點，多與三角形、四邊形相結合翻折變換的實質是對稱，翻折部分的兩圖形全等，找出對應邊、對應角，再結合勾股定理、相似的性質與判定解題

4、(2016蘇州)如圖，在ABC中，AB10，B60，點D，E分別在AB，BC上，且BDBE4，將BDE沿DE所在直線折疊得到BDE(點B在四邊形ADEC內)，連接AB，則AB的長為_ 【分析】 作DFBE于點F，BGAD于點G，由B60，BDBE，得到BDE是等邊三角形，由對稱的性質得到BDE也是等邊三角形，從而GDBF，然后利用勾股定理求解、 3(2017安徽)在三角形紙片ABC中，A90，C30，AC30 cm，將該紙片沿過點B的直線折疊，使點A落在斜邊BC上的一點E處，折痕記為BD(如圖1)，剪去CDE后得到雙層BDE(如圖2)，再沿著過BDE某頂點的直線將雙層三角形剪開，使得展開后的平

5、面圖形中有一個是平行四邊形，則所得平行四邊形的周長為40或cm. 圖1圖24如圖，在矩形ABCD中，點E在邊CD上，將矩形沿AE折疊，使點D落在邊BC上的點F處，過點F作FGCD，交AE于點G，連接DG.(1)求證：四邊形DEFG為菱形；(2)若CD8，CF4，求的值 類型三 圖形的相似 圖形的相似常以三角形、四邊形為背景，與旋轉、翻折、動點相結合，考查三角形相似的性質及判定，難度較大，是中考中?？嫉膸缀螇狠S題與動點相關的相似三角形，要根據(jù)動點的運動情況討論相似三角形的對應邊、對應角，進而判定相似三角形，再利用相似三角形的性質解題 (2016青島)如圖，在矩形ABCD中，AB6 cm，BC8

6、cm，對角線AC，BD交于點O.點P從點A出發(fā)，沿AD方向勻速運動，速度為1 cm/s；同時，點Q從點D出發(fā)，沿DC方向勻速運動，速度為1 cm/s；當一個點停止運動時，另一個點也停止運動連接PO并延長，交BC于點E，過點Q作QFAC，交BD于點F.設運動時間為t(s)(0t6) ，解答下列問題：(1)當t為何值時，AOP是等腰三角形；(2)設五邊形OECQF的面積為S(cm2)，試確定S與t的函數(shù)關系式 【分析】 (1)根據(jù)勾股定理求出AC的值，然后分類討論：當APPO時，求出t的值；當APAO時，求出t的值；(2)過點E作EHAC于點H，過點Q作QMAC于點M，過點D作DNAC于點N，交Q

7、F于點G，分別用t表示出EH，DN，DG，再利用面積的和差計算即可 5(2017常德)如圖，RtABC中，BAC90，D在BC上，連接AD，作BFAD分別交AD于E，AC于F.(1)如圖1，若BDBA，求證：ABEDBE；(2)如圖2，若BD4DC，取AB的中點G，連接CG交AD于點M.求證：GM2MC；AG2AFAC. 圖1圖2參考答案【例1】 (1)如圖，連接BD，設BD交AC于點O，在菱形ABCD中，DAB60，ADAB，ABD為等邊三角形DEAB，點E為AB的中點AECD，.同理.M，N是線段AC的三等分點，MNAC.(2)ABCD，BAD60，ADC120.ADECDF30，EDF6

8、0.當EDF順時針旋轉時，由旋轉的性質知，EDGFDP，GDPEDF60.DEDF，DEGDFP90，DEGDFP，DGDP，DGP是等邊三角形則SDGPDG2.由DG23，又DG0，解得DG2.cosEDG，EDG60.當順時針旋轉60時，DGP的面積是3.同理，當逆時針旋轉60時，DGP的面積也是3.綜上所述，當EDF以點D為旋轉中心，順時針或逆時針旋轉60時，DGP的面積是3.【變式訓練】 1解：(1)當CC時，四邊形MCND為菱形理由：由平移的性質得CDCD，DEDE.ABC為等邊三角形，BACB60，ACC18060120.CN是ACC的角平分線，NCC60.ABDE，DEDE，AB

9、DE，DECB60，DECNCC，DECN.四邊形MCND為平行四邊形MECMCE60，NCCNCC60，MCE和NCC為等邊三角形，故MCCE，NCCC.又EC2，CC，CECC，MCCN，四邊形MCND為菱形(2)ADBE.理由：當180時，由旋轉的性質得ACDBCE.由(1)知ACBC，CDCE，ACDBCE，ADBE.當180時，ADACCD，BEBCCE，即ADBE.綜上可知，ADBE.連接CP，在ACP中，由三角形三邊關系得，APACCP，當A，C，P三點共線時AP最大，如圖所示此時，APACCP.在DCE中，由P為DE中點，得APDE，PD，CP3，AP639.在RtAPD中，由

10、勾股定理得AD2.2解：(1)在RtAHB中，ABC45，AHBH.BHDAHC90，DHCH，BHDAHC，BDAC.(2)在RtAHC中，tan C3，3.設CHx，則BHAH3x，BCBHCH4x4，x1，AH3，CH1.由旋轉的性質知，EHFBHDAHC90，EHAH3，CHDHFH，EHAFHC，1，EHAFHC，EAHC，tanEAHtan C3.如圖，過點H作HPAE于點P，則HP3AP，AE2AP.在RtAHP中，AP2HP2AH2，即AP2(3AP)29.AP，AE.由知，AEH和FHC都為等腰三角形，設AH交CG于點Q，GAHHCG，AGQCHQ，AGQCHQ90.AQCG

11、QH，AQCGQH.又旋轉角為30，EHAFHC120，QAG30，2.【例2】 如圖，作DFBE于點F，BGAD于點G，B60，BDBE4，BDE是邊長為4的等邊三角形將BDE沿DE所在的直線折疊得到BDE，BDE也是邊長為4的等邊三角形，GDBF2.BD4，BG2.AB10，AG1064，AB2.故答案為2.【變式訓練】 340或4(1)證明：由折疊的性質知，DGFG，EDEF，AEDAEF，F(xiàn)GCD，F(xiàn)GEAED，F(xiàn)GEAEF，F(xiàn)GFE，DGGFEFDE，四邊形DEFG為菱形(2)解：設DEx，根據(jù)折疊的性質，EFDEx，EC8x，在RtEFC中，F(xiàn)C2EC2EF2，即42(8x)2x2

12、.解得x5，CE8x3.【例3】 (1)在矩形ABCD中，AB6 cm，BC8 cm，AC10 cm.當APPO時，如圖，過點P作PMAO，AMAO.PMAADC90，PAMCAD，APMACD，APt.當APAO時，t5.0t6，t或t5均符合題意，當t或t5時，AOP是等腰三角形(2)如圖，過點E作EHAC于點H，過點Q作QMAC于點M，過點D作DNAC于點N，交QF于點G，四邊形ABCD是矩形，ADBC，PAOECO.點O是對角線AC的中點，AOCO.又AOPCOE，AOPCOE，CEAPt.CEHCAB，EH.SADCADDCDNAC，DN.QMDN，CQMCDN，即.QM，DG.FQAC，DFQDOC，F(xiàn)Q，SSOECSOCDSDFQOCEHOCDNDGFQt2t12，即S與t的函數(shù)關系式為St2t12.【變式訓練】