1、邏輯代數(shù)的基本公式,第四章邏輯函數(shù)及其簡化,一、基本邏輯運(yùn)算：與、或、非 三種。,二、復(fù)合邏輯運(yùn)算：,與非、或非、與或非、異或、同或 五種,三、邏輯代數(shù)的基本定律和規(guī)則,1、邏輯函數(shù)間的相等,2、邏輯代數(shù)的基本公式,（1）、代入規(guī)則,任何一個(gè)含變量 A 的等式中，如果將出現(xiàn) A 的地方，都代之一個(gè)邏輯函數(shù) F ，則等式仍然成立。,例1：分配率A(B+C) = AB+AC,令：C = EF 代入公式,A(B+EF),證:A(B+EF),用乘對加的分配率證明,例2:,則：,令：A = CD,證：,代入規(guī)則之所以正確：,是因?yàn)槿魏我粋€(gè)邏輯函數(shù)和任何一個(gè)邏輯變量一樣，只有兩種可能取值 (0 ,1),所

2、以可以將邏輯函數(shù)當(dāng)作一個(gè)邏輯變量對待。,3、邏輯代數(shù)三個(gè)規(guī)則,= AB+AEF,= AB+AEF, 有了代入規(guī)則，基本定律不受變量限制，擴(kuò)大了基本公式的應(yīng)用范圍。,（2）、反演規(guī)則：,（摩根定理）,目的：,求原函數(shù)的反函數(shù),已知函數(shù)為 F ，將 F 中的所有 “” 換為“”，“” 換為 “” ，0 換為 1 ，1 換為 0，原變量換為反變量，反變量換為原變量。得到的函數(shù)式就是原函數(shù)的反函數(shù)，或稱為補(bǔ)函數(shù)。記作,例1:已知,解：由反演規(guī)則直接得出,由反演率得,2、在運(yùn)算過程中適當(dāng)增加括號(hào)，以保證原函數(shù)的運(yùn)算順序不變。,本例說明：,1、由反演規(guī)則求反函數(shù)，比直接用反演率求反函數(shù)方便、簡單。,三個(gè)規(guī)

3、則,例2: 已知,解：利用反演規(guī)則直接寫出,注意：不屬于單個(gè)變量上的反號(hào)保持不變。,（3）、對偶規(guī)則：,對偶式：已知函數(shù)為 F ，將 F 中的所有 “” 換為“”，“” 換為 “” ，0 換為 1 ，1 換為 0，變量保持不變。得到的函數(shù)式就是原函數(shù)的對偶式 F。,例：,首先了解什么是對偶式；,三個(gè)規(guī)則,對偶規(guī)則：,如果兩個(gè)函數(shù) F 和 G 相等，那么它們各自的對偶式 F 和 G也相等。,例：F = A(B+C),由乘對加的分配率知：,F= A+BC,由加對乘的分配率知:,G= (A+B)(A+C),G = AB+AC,F = A(B+C)=AB+AC, F = G, F= G,F= A+BC

4、 = (A+B)(A+C),三個(gè)規(guī)則,掌握對偶規(guī)則的目的：當(dāng)證明某一等式相等后，根據(jù)對偶規(guī)則，其對偶式也相等。使證明的式子數(shù)目減少一半。起到事半功倍的效果。,2、邏輯代數(shù)的基本公式,目的：要求學(xué)會(huì)證明函數(shù)相等的方法，運(yùn)用邏輯代數(shù)的基本定律，得出一些常用公式。,吸收律：,（互補(bǔ)率）,說明：兩個(gè)乘積項(xiàng)相加時(shí)，若乘積項(xiàng)分別包含B和/B兩個(gè)因子。而其余因子相同。則兩項(xiàng)定能合并成一項(xiàng)，消去B和/B兩個(gè)因子。,說明：兩個(gè)乘積項(xiàng)相加時(shí)，其中一項(xiàng)的部分因子恰好是另一乘積項(xiàng)的補(bǔ)（/A)，則該乘積項(xiàng)中的/A是多余的。,吸收律：,對偶式：,對偶式：,4、若干常用公式,包含律：,推論：,對偶式：,證：,若干常用公式,

5、A+BC = (A+B)(A+C),證：(A+B)(A+C)=AA+AC+AB+BC,=(A+AC+AB)+BC,=A(1+C+B)+BC,= A+BC,A(B+C)=AB+AC,交叉互換率：,對偶式：,加對乘的分配率：,對偶式：,若干常用公式,常用邏輯函數(shù)表示方法有：,1、邏輯真值表,2、邏輯表達(dá)式,3、邏輯圖,各種表示方法間的相互轉(zhuǎn)換,一、從真值表寫出邏輯表達(dá)式,例：已知一個(gè)奇偶判別函數(shù)的真值表（偶為1,奇為0)，試寫出它的邏輯函數(shù)式。,解：,當(dāng)ABC=011時(shí)，,當(dāng)ABC=101時(shí)，,當(dāng)ABC=110時(shí)，,因此，Y的邏輯函數(shù)應(yīng)當(dāng)?shù)扔谶@三個(gè)乘積項(xiàng)之和。,4、工作波形圖,5、邏輯函數(shù)的表示方

6、法,真值表的特點(diǎn)： 唯一性; 按自然二進(jìn)制遞增順序排列（既不易遺漏，也不會(huì)重復(fù) ）。 n個(gè)輸入變量就有2n個(gè)不同的取值組合。,通過以上例題可以總結(jié)出從真值表寫出邏輯函數(shù)式的一般方法。,1、找出真值表中使邏輯函數(shù)Y=1的輸入變量取值組合。,2、每組輸入變量的取值組合對應(yīng)一個(gè)乘積項(xiàng)，輸入變量取值為1的寫入原變量，取值為0的寫入反變量。,3、將取值為1的乘積項(xiàng)相加，即得到Y(jié)的邏輯函數(shù)式。,二、從邏輯表達(dá)式列出真值表,將輸入變量的所有狀態(tài)組合逐一代入邏輯式，求出函數(shù)值，列成表，即可得到真值表。,例：已知函數(shù),求其對應(yīng)真值表。,解：將三變量所有取值組合代入Y式中，將計(jì)算結(jié)果列表。,邏輯函數(shù)的表示方法,三

7、、從邏輯表達(dá)式畫出邏輯圖,用圖形符號(hào)代替邏輯式中的運(yùn)算符號(hào)，就可以畫出邏輯圖。,例：已知邏輯函數(shù),畫出對應(yīng)邏輯圖。,解：將式中所有的與、或、非運(yùn)算符號(hào)用邏輯符號(hào)代替，并根據(jù)運(yùn)算優(yōu)先順序把這些邏輯符號(hào)連接起來，就得到Y(jié)的邏輯圖。,邏輯函數(shù)的表示方法,四、從邏輯圖寫出邏輯表達(dá)式,從輸入端到輸出端逐級寫出每個(gè)邏輯符號(hào)的邏輯式，就得到對應(yīng)的邏輯表達(dá)式。,例：已知邏輯圖，試寫出邏輯表達(dá)式。,解：從輸入A、B開始逐個(gè)寫出每個(gè)邏輯符號(hào)輸出端的邏輯式。,邏輯函數(shù)的表示方法,與-或式,與非與非式,或-與式,或非或式,或-與非式,邏輯函數(shù)的八種形式可以用八種邏輯電路來實(shí)現(xiàn)。,任何一個(gè)邏輯函數(shù)都可以通過邏輯變換寫成

8、以下八種形式：,八種不同的邏輯電路可以實(shí)現(xiàn)同一邏輯功能。,與-或非式,與非與式,或非或非式,目的：為圖解化簡法打好基礎(chǔ)。,與項(xiàng)：邏輯變量間只進(jìn)行乘運(yùn)算的表達(dá)式稱為與項(xiàng) 。,與或表達(dá)式：與項(xiàng)和與項(xiàng)間只進(jìn)行加運(yùn)算的表達(dá)式稱為與或表達(dá)式。如:,或項(xiàng)：邏輯變量間只進(jìn)行或運(yùn)算的表達(dá)式稱為或項(xiàng)。,或與表達(dá)式：或項(xiàng)和或項(xiàng)間只進(jìn)行乘運(yùn)算的表達(dá)式稱為或與表達(dá)式。如:,在介紹邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式之前，先介紹最小項(xiàng)和最大項(xiàng)的概念，然后介紹邏輯函數(shù)的“最小項(xiàng)之和”及“最大項(xiàng)之積”兩種標(biāo)準(zhǔn)形式。,幾個(gè)概念：,四：邏輯函數(shù)的兩種標(biāo)準(zhǔn)形式,(1) 定義：,最小項(xiàng)是一個(gè)與項(xiàng)。,(2) 特點(diǎn)：,n 個(gè)變量都出現(xiàn)，每個(gè)變量以原變量

9、或反變量的形式出現(xiàn)一次，且僅出現(xiàn)一次。稱這個(gè)與項(xiàng)為最小項(xiàng)。n 變量有 2n 個(gè)最小項(xiàng)。,例如：在三變量A、B、C的最小項(xiàng)中：,1、最小項(xiàng),輸入變量的每一組取值都使一個(gè)對應(yīng)的最小項(xiàng)的值等于1。,當(dāng)A=1、B=0、C=1時(shí)，,所對應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)就是5。,按照上述約定，作出三變量最小項(xiàng)編號(hào)表。,原取1,反取0.,一、最小項(xiàng)和最大項(xiàng),（3）最小項(xiàng)的重要性質(zhì),在輸入變量的任何取值下必有一個(gè)最小項(xiàng)，而且僅有一個(gè)最小項(xiàng)的值為1。,三變量最小項(xiàng)編號(hào)表,所有最小項(xiàng)之和為1。,任意兩個(gè)最小項(xiàng)的乘積為0。,具有相鄰性的兩個(gè)最小項(xiàng)之和，可以合并成一項(xiàng)，并消去一對因子。,相鄰性：,若兩個(gè)最小項(xiàng)彼此只有一個(gè)因子不同，且互為

10、反變量，則稱這兩個(gè)最小項(xiàng)具有相鄰性。,例：,最小項(xiàng)和最大項(xiàng),定理：任何邏輯函數(shù) F 都可以用最小項(xiàng)之和的形式表示。而且這種形式是唯一的。,1、 真值表法：,將邏輯函數(shù)先用真值表表示，然后再根據(jù)真值表寫出最小項(xiàng)之和。,例：將,表示為最小項(xiàng)之和的形式。,解：,由最小項(xiàng)特點(diǎn)知：n 個(gè)變量都出現(xiàn)，BC 缺變量 A ,所以 F 是一般與或式，不是最小項(xiàng)之和的標(biāo)準(zhǔn)形式。,列：F 真值表：,(4)、用最小項(xiàng)表示邏輯函數(shù)的方法,由最小項(xiàng)性質(zhì)、知：每個(gè)最小項(xiàng)等于1的自變量取值是惟一的。,那么：將 F = 1 的輸入變量組合相加即可。其輸入變量組合中，1表示原變量 ,0表示反變量,用最小項(xiàng)表示邏輯函數(shù)的方法,2、

11、 摩根定律及配項(xiàng)法,將邏輯函數(shù)反復(fù)利用摩根定律及配項(xiàng)法，將其表示為最小項(xiàng)之和的形式。,例1：,解：,原取1 反取0,用最小項(xiàng)表示邏輯函數(shù)的方法,例2：將,表示為最小項(xiàng)之和的形式。,解：,說明：全部由最小項(xiàng)相加構(gòu)成的與-或表達(dá)式稱為最小項(xiàng)表達(dá)式，是與-或表達(dá)式的標(biāo)準(zhǔn)形式。(都是最小項(xiàng)，不是全部最小項(xiàng))。,用最小項(xiàng)表示邏輯函數(shù)的方法,作業(yè),P111,2(2),3(3，4),4(3，4),10(3),(1) 定義：,最大項(xiàng)是一個(gè)或項(xiàng)。,(2) 特點(diǎn)：,n 個(gè)變量都出現(xiàn)，每個(gè)變量以原變量或反變量的形式出現(xiàn)一次，且僅出現(xiàn)一次。稱這個(gè)或項(xiàng)為最大項(xiàng)。n 變量有 2n 個(gè)最大項(xiàng)。,例如：在三變量A、B、C的最

12、大項(xiàng)中：,2、最大項(xiàng),輸入變量的每一組取值都使一個(gè)對應(yīng)的最大項(xiàng)的值等于0。,當(dāng)A=1、B=0、C=1時(shí)，,按照上述約定，作出三變量最大項(xiàng)編號(hào)表。,如果將最大項(xiàng)為0的ABC取值視為一個(gè)二進(jìn)制數(shù)，并以其對應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)給出最大項(xiàng)編號(hào)，,原取0,反取1。,最小項(xiàng)和最大項(xiàng),（3）最大項(xiàng)的重要性質(zhì),在輸入變量的任何取值下必有一個(gè)最大項(xiàng)，而且僅有一個(gè)最大項(xiàng)的值為0。,三變量最大項(xiàng)編號(hào)表,所有最大項(xiàng)之積為0,任意兩個(gè)最大項(xiàng)之和為1。,只有一個(gè)變量不同的兩個(gè)最大項(xiàng)的乘積等于各相同變量之和。,例：,(4)、用最大項(xiàng)表示邏輯函數(shù)的方法：,定理：任何邏輯函數(shù) F 都可以用最大項(xiàng)之積的形式表示。而且這種形式是惟一的。,用最大項(xiàng)表示邏輯函數(shù)的方法有兩種：,真值表法,加對乘的分配率及配項(xiàng)法,最小項(xiàng)和最大項(xiàng),一、 真值表法：,表示為最大項(xiàng)之積的形式。,列：F 真值表：,解：把真值表中 F = 0 的輸入變量，以最大項(xiàng)的形式表示。輸入0 表示原變量，1 表示反變量。,既可以用最大項(xiàng)之積表示，又可以用最小項(xiàng)之和表示。,比較函數(shù)F的最大項(xiàng)之積和最小項(xiàng)之和表達(dá)式，可以發(fā)現(xiàn)；只要知道一種形式就可以直接寫出另一種表達(dá)形式。,加對乘的分配率,配項(xiàng),代入規(guī)則,加對乘的分配率,合