1、7-1 應(yīng)力狀態(tài)概述 7-2 二向和三向應(yīng)力狀態(tài)的實(shí)例 7-3 二向應(yīng)力狀態(tài)分析解析法 7-4 二向應(yīng)力狀態(tài)分析圖解法 7-5 三向應(yīng)力狀態(tài) 7-8 廣義胡克定律 7-9 復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)變能密度 7-10 強(qiáng)度理論概論 7-11 四種常用強(qiáng)度理論,7-1 應(yīng)力狀態(tài)概述,問題的提出: 為什么塑性材料拉伸時(shí)會(huì)出現(xiàn)滑移線？ 為什么脆性材料扭轉(zhuǎn)時(shí)沿45螺旋面斷開？,單向應(yīng)力狀態(tài),純剪切應(yīng)力狀態(tài),重 要 結(jié) 論,不僅橫截面上存在應(yīng)力，斜截面上也存在應(yīng)力；不僅要研究橫截面上的應(yīng)力，而且也要研究斜截面上的應(yīng)力。,過一點(diǎn)不同方向面上應(yīng)力的集合，稱之為這一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。,應(yīng) 力,指明,應(yīng)力表示單元體：,dx、

2、dy、dz（微小的正六面體） 單元體某斜截面上的應(yīng)力就代表了構(gòu)件內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)同方位截面上的應(yīng)力。,B、C單向受力，0,A純剪切， 0,D既有 ，又有,主平面單元體的三個(gè)相互垂直的面上都無切應(yīng)力。,主應(yīng)力主平面上的正應(yīng)力（也是單元體內(nèi)各截面上正應(yīng)力的極值）。,通過結(jié)構(gòu)內(nèi)一點(diǎn)總可找到三個(gè)相互垂直的截面皆為主平面。,對(duì)應(yīng)的有三個(gè)主應(yīng)力，相應(yīng)的用 、 、 來表示，它們按代數(shù)值的大小順序排列，即,7-2 二向和三向應(yīng)力狀態(tài)的實(shí)例,7-3 二向應(yīng)力狀態(tài)分析解析法,平面應(yīng)力狀態(tài)的普遍形式：在常見的受力構(gòu)件中，在兩對(duì)平面上既有正應(yīng)力又有切應(yīng)力?？蓪⒃搯卧w用平面圖形來表示。,、正負(fù)號(hào)規(guī)定： 拉為正，壓為負(fù)； 以對(duì)

3、微單元體內(nèi)任意一點(diǎn)取矩為順時(shí)針者為正，反之為負(fù)；,單元體各面上的已知應(yīng)力分量 、 和 、 ，確定任一斜截面上的未知應(yīng)力分量，從而確定該點(diǎn)處的主應(yīng)力和主平面。,規(guī)定： 截面外法線同向?yàn)檎?a繞研究對(duì)象順時(shí)針轉(zhuǎn)為正； 逆時(shí)針為正。,一、任意斜截面上的應(yīng)力,設(shè)：斜截面面積為A，由分離體平衡得：,同理：,二、極值應(yīng)力,max在剪應(yīng)力相對(duì)的項(xiàng)限內(nèi)， 且偏向于x 及y大的一側(cè)。,例7-3-1 分析受扭構(gòu)件的破壞規(guī)律。,解：確定危險(xiǎn)點(diǎn)并畫其原 始單元體,求極值應(yīng)力,O,破壞分析,鑄鐵,例7-3-2 圖示應(yīng)力狀態(tài)（單位：Mpa），求：（1）斜截面上的應(yīng)力；（2）主應(yīng)力的大小；（3）主平面方位，并在單元體上繪

4、出主平面位置和主應(yīng)力方向；（4）最大切應(yīng)力。,解：（1）易知,，,（2）主應(yīng)力大小,（3）主平面方位,法線與x軸夾角為67.5的主平面上對(duì)應(yīng)的是2。,（4）最大切應(yīng)力,7-4 二向應(yīng)力狀態(tài)分析圖解法,對(duì)上述方程消去參數(shù)（2），得：,建立應(yīng)力坐標(biāo)系，如下圖所示，（注意選好比例尺）,二、應(yīng)力圓的畫法,在坐標(biāo)系內(nèi)畫出點(diǎn)A( x，xy)和B(y，yx),AB與a 軸的交點(diǎn)C便是圓心。,以C為圓心，以AC為半徑畫圓應(yīng)力圓；,三、單元體與應(yīng)力圓的對(duì)應(yīng)關(guān)系,四、在應(yīng)力圓上標(biāo)出極值應(yīng)力,例7-4-1 已知 求此單元體在30和 -40兩斜截面上的應(yīng)力。,例7-4-2 ：討論圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力狀態(tài)，并分析鑄鐵件受扭

5、轉(zhuǎn)時(shí)的破壞現(xiàn)象。,解：1取單元體ABCD，其中 ， ，這是純剪切應(yīng)力狀態(tài)。,2作應(yīng)力圓 主應(yīng)力為 ，并可確定主平面的法線。,3分析 純剪切應(yīng)力狀態(tài)的兩個(gè)主應(yīng)力絕對(duì)值相等，但一為拉應(yīng)力，另一為壓應(yīng)力。由于鑄鐵抗拉強(qiáng)度較低，圓截面鑄鐵構(gòu)件扭轉(zhuǎn)時(shí)構(gòu)件將沿傾角為 45的螺旋面因拉伸而發(fā)生斷裂破壞。,例7-4-3 求圖示單元體的主應(yīng)力及主平面的位置。(單位：MPa),A,B,解：主應(yīng)力坐標(biāo)系如圖,AB的垂直平分線與a 軸的交點(diǎn)C便是圓心，以C為圓心，以AC為半徑畫圓應(yīng)力圓。, 1, 2,在坐標(biāo)系內(nèi)畫出點(diǎn),主應(yīng)力及主平面如圖,解法2解析法：分析建立坐標(biāo)系如圖,主單元體：六個(gè)平面都是主平面,若三個(gè)主應(yīng)力已知

6、，求任意斜截面上的應(yīng)力:,7-5 三向應(yīng)力狀態(tài),這樣，單元體上與主應(yīng)力之一平行的各個(gè)斜截面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力，可由三個(gè)應(yīng)力圓圓周上各點(diǎn)的坐標(biāo)來表示。,至于與三個(gè)主方向都不平行的任意斜截面，彈性力學(xué)中已證明，其應(yīng)力n和n可由圖中陰影面內(nèi)某點(diǎn)的坐標(biāo)來表示。,在三向應(yīng)力狀態(tài)情況下：,max 作用在與2平行且與1和3的方向成45角的平面上，以1，3表示,例7-5-1 ：求圖示應(yīng)力狀態(tài)的主應(yīng)力和最大剪應(yīng)力。（應(yīng)力單位為MPa）。,解：,7-5-2 求圖示應(yīng)力狀態(tài)的主應(yīng)力和最大剪應(yīng)力（應(yīng)力單位為MPa）。,解：,7-5-3 試根據(jù)圖a所示單元體各面上的應(yīng)力作出應(yīng)力圓，并求出主應(yīng)力和最大切應(yīng)力的值及它們的作

7、用面方位。,(a),解: 1. 圖a所示單元體上正應(yīng)力z=20 MPa的作用面(z截面)上無切應(yīng)力，因而該正應(yīng)力為主應(yīng)力。,2. 與主平面z截面垂直的各截面上的應(yīng)力與主應(yīng)力z無關(guān)，故可畫出顯示與z截面垂直各截面上應(yīng)力隨截面方位角變化的應(yīng)力圓。,(a),從圓上得出兩個(gè)主應(yīng)力46 MPa和-26 MPa。這樣就得到了包括z=20 MPa在內(nèi)的三個(gè)主應(yīng)力。他們按代數(shù)值大小排序?yàn)?146 MPa， 220 MPa， 3-26 MPa。,(b),(a),3. 依據(jù)三個(gè)主應(yīng)力值作出的三個(gè)應(yīng)力圓如圖b所示。,2a034可知為a017且由x截面逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖c中所示。,(c),(b),4. 最大切應(yīng)力max

8、由應(yīng)力圓上點(diǎn)B的縱座標(biāo)知為 max36 MPa，作用在由1 作用面繞2 逆時(shí)針45 的面上(圖c)。,(c),(b),7-8 廣義胡克定律,一、單拉下的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系,二、純剪的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系,三、復(fù)雜狀態(tài)下的應(yīng)力 - 應(yīng)變關(guān)系,依疊加原理,得:,sz,sy,sx,當(dāng)單元體三個(gè)平面皆為主平面時(shí)，,分別為 x , y , z 方向的主應(yīng)變，與主應(yīng)力的方向一致， ，三主平面內(nèi)的切應(yīng)變等于零。,對(duì)平面應(yīng)力狀態(tài),2. 各向同性材料的體積應(yīng)變,體積應(yīng)變：每單位體積的體積變化，用表示,設(shè)單元體的三對(duì)平面均為主平面，其三個(gè)邊長(zhǎng)分別為 dx , dy , dz ,變形前體積：,變形后體積：,則體積應(yīng)變?yōu)椋?,

9、代入廣義胡克定律得：,即：任一點(diǎn)處的體積應(yīng)變與該點(diǎn)處的三個(gè)主應(yīng)力之和成正比。,同理，可得：,例7-8-1 已知一受力構(gòu)件自由表面上某點(diǎn)處的兩主應(yīng)變值為124010-6，316010-6。構(gòu)件材料為Q235鋼，彈性模量E=210GPa，泊松比0.3。試求該點(diǎn)處的主應(yīng)力數(shù)值，并求該點(diǎn)處另一主應(yīng)變2的數(shù)值和方向。,解：由題意可知，點(diǎn)處于平面應(yīng)力狀態(tài)且,由廣義胡克定律,可得：,是縮短的主應(yīng)變。其方向沿構(gòu)件表面的法線方向。,例7-8-2 邊長(zhǎng)為0.1m的銅方塊，無間隙地放入變形可略去不計(jì)地剛性凹槽中。已知銅的彈性模量E=100GPa，泊松比0.34。當(dāng)銅塊受到F=300kN的均布?jí)毫ψ饔脮r(shí)，試求銅塊的三

10、個(gè)主應(yīng)力的大小。,解：銅塊橫截面上的壓應(yīng)力為,由題意：,按主應(yīng)力的代數(shù)值順序排列，得該銅塊的主應(yīng)力為：,例7-8-3 已知一受力構(gòu)件自由表面上某一點(diǎn)處的兩個(gè)面內(nèi)主應(yīng)變分別為：1=24010-6， 2=16010-6，彈性模量E=210GPa，泊松比為 =0.3， 試求該點(diǎn)處的主應(yīng)力及另一主應(yīng)變。,所以，該點(diǎn)處的平面應(yīng)力狀態(tài),7-9 復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)變能密度,1.空間應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)變能密度,可得：,將廣義胡克定律代入上式：,2.體積改變能密度和畸變能密度,應(yīng)變能密度 體積改變能密度（V）+ 畸變能密度（d）,體積改變能密度V,畸變能密度d,（a）和（b）狀態(tài)的主應(yīng)力之和相等，故它們的體積應(yīng)變相等，

11、其 也相等，所以只須把 代入應(yīng)變能密度公式即得：,(b)狀態(tài)只有體積改變而無形狀改變，稱為體積改變能密度V (c)狀態(tài)只有形狀改變而無體積改變，稱為畸變能密度d,例7-9-1 用能量法證明三個(gè)彈性常數(shù)間的關(guān)系。,純剪單元體的比能為：,純剪單元體比能的主應(yīng)力表示為：,7-10 強(qiáng)度理論概論,強(qiáng)度條件的建立,材料因強(qiáng)度不足而引起失效現(xiàn)象是不同的，它取決于：,1.材料本身的性質(zhì)，包括塑性材料和脆性材料：,危險(xiǎn)點(diǎn)是簡(jiǎn)單應(yīng)力狀態(tài)及純剪切應(yīng)力狀態(tài)時(shí),直接通過試驗(yàn)結(jié)果建立： 單向拉壓：,純剪切：,2.材料的受力狀態(tài)，包括簡(jiǎn)單應(yīng)力狀態(tài)，復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài),強(qiáng)度理論的基本思想 ： 1)確認(rèn)引起材料失效存在共同的力學(xué)原

12、因，提出關(guān)于這一共同力學(xué)原因的假設(shè)； 2)根據(jù)實(shí)驗(yàn)室中標(biāo)準(zhǔn)試件在簡(jiǎn)單受力情況下的破壞實(shí)驗(yàn)（如拉伸）結(jié)果，建立起材料在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下共同遵循的彈性失效準(zhǔn)則和強(qiáng)度條件。 3)實(shí)際上，當(dāng)前工程上常用的經(jīng)典強(qiáng)度理論都按脆性斷裂和塑性屈服兩類失效形式，分別提出共同力學(xué)原因的假設(shè)。,一、最大拉應(yīng)力（第一強(qiáng)度）理論： 認(rèn)為構(gòu)件的斷裂是由最大拉應(yīng)力引起的。當(dāng)最大拉應(yīng)力達(dá)到單向拉伸的強(qiáng)度極限時(shí)，構(gòu)件就斷了。,1、破壞判據(jù)：,2、強(qiáng)度準(zhǔn)則：,3、實(shí)用范圍：實(shí)用于破壞形式為脆斷的構(gòu)件。,試驗(yàn)證明，這一理論與鑄鐵、巖石、砼、陶瓷、玻璃等脆性材料的拉斷試驗(yàn)結(jié)果相符，這些材料在軸向拉伸時(shí)的斷裂破壞發(fā)生于拉應(yīng)力最大的橫截面

13、上。脆性材料的扭轉(zhuǎn)破壞，也是沿拉應(yīng)力最大的斜面發(fā)生斷裂，這些都與最大拉應(yīng)力理論相符，但這個(gè)理論沒有考慮其它兩個(gè)主應(yīng)力的影響。,二、最大伸長(zhǎng)線應(yīng)變（第二強(qiáng)度）理論： 認(rèn)為構(gòu)件的斷裂是由最大拉應(yīng)力引起的。當(dāng)最大伸長(zhǎng)線應(yīng)變達(dá)到單向拉伸試驗(yàn)下的極限應(yīng)變時(shí)，構(gòu)件就斷了。,1、破壞判據(jù)：,2、強(qiáng)度準(zhǔn)則：,3、實(shí)用范圍：實(shí)用于破壞形式為脆斷的構(gòu)件。,三、最大剪應(yīng)力（第三強(qiáng)度）理論： 認(rèn)為構(gòu)件的屈服是由最大剪應(yīng)力引起的。當(dāng)最大剪應(yīng)力達(dá)到單向拉伸試驗(yàn)的極限剪應(yīng)力時(shí)，構(gòu)件就破壞了。,1、破壞判據(jù)：,3、實(shí)用范圍：實(shí)用于破壞形式為屈服的構(gòu)件。,2、強(qiáng)度準(zhǔn)則：,第三強(qiáng)度理論曾被許多塑性材料的試驗(yàn)結(jié)果所證實(shí)，且稍偏于安

14、全。這個(gè)理論所提供的計(jì)算式比較簡(jiǎn)單，故它在工程設(shè)計(jì)中得到了廣泛的應(yīng)用。該理論沒有考慮中間主應(yīng)力2的影響，其帶來的最大誤差不超過15，而在大多數(shù)情況下遠(yuǎn)比此為小。,4.畸變能密度理論（第四強(qiáng)度理論）,基本假設(shè)：畸變能密度是引起材料塑性屈服的主要因素,復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下,屈服準(zhǔn)則：,強(qiáng)度條件：,單向拉伸屈服時(shí)，,畸變能密度的極限值是：,適用范圍：它既突出了最大主切應(yīng)力對(duì)塑性屈服的作用，又適當(dāng)考慮了其它兩個(gè)主切應(yīng)力的影響，它與塑性較好材料的試驗(yàn)結(jié)果比第三強(qiáng)度理論符合得更好。此準(zhǔn)則也稱為米塞斯（Mises ）屈服準(zhǔn)則，由于機(jī)械、動(dòng)力行業(yè)遇到的載荷往往較不穩(wěn)定，因而較多地采用偏于安全的第三強(qiáng)度理論；土建行業(yè)

15、的載荷往往較為穩(wěn)定，安全系數(shù)的估計(jì)較準(zhǔn)確，因而較多地采用第四強(qiáng)度理論。 這個(gè)理論和許多塑性材料的試驗(yàn)結(jié)果相符，用這個(gè)理論判斷碳素鋼的屈服失效是相當(dāng)準(zhǔn)確的。,四個(gè)強(qiáng)度理論的強(qiáng)度條件可寫成統(tǒng)一形式：,稱為相當(dāng)應(yīng)力,第三強(qiáng)度理論 可進(jìn)行偏保守（安全）設(shè)計(jì)。,第四強(qiáng)度理論 可用于更精確設(shè)計(jì)，要求對(duì)材 料強(qiáng) 度指標(biāo) 、載荷計(jì)算較有把握。,第二強(qiáng)度理論 僅用于石料、混凝土等少數(shù)材料。,第一強(qiáng)度理論 用于脆性材料的拉伸、扭轉(zhuǎn)。,按某種強(qiáng)度理論進(jìn)行強(qiáng)度校核時(shí)， 要保證滿足如下兩個(gè)條件: 1. 所用強(qiáng)度理論與在這種應(yīng)力狀態(tài)下發(fā)生的破壞形式相對(duì)應(yīng); 2. 用以確定許用應(yīng)力 的,也必須是相應(yīng)于該破壞形式的極限應(yīng)力。

16、,塑性材料（如低碳鋼）在三向拉伸應(yīng)力狀態(tài)下呈脆斷破壞，應(yīng)選用第一強(qiáng)度理論。,注意,脆性材料（如大理石）在三向壓縮應(yīng)力狀態(tài)下呈塑性屈服失效狀態(tài)，應(yīng)選用第三、第四強(qiáng)度理論。,例 (a) 一鋼質(zhì)球體防入沸騰的熱油中,將引起爆裂，試分析原因。,受力分析： 鋼球入熱油中，其外部因驟熱而迅速 膨脹，內(nèi)芯受拉且處于三向受拉應(yīng)力狀態(tài)，而發(fā)生脆斷破壞。,例（b） 深海海底的石塊，盡管受到很大的 靜水壓力,并不破壞，試分析原因。,受力分析：石塊處于三向受壓狀態(tài)。,第三強(qiáng)度理論：,第四強(qiáng)度理論：,塑性材料：,純剪切應(yīng)力狀態(tài)：,根據(jù)強(qiáng)度理論 , 可以從材料在單軸拉伸時(shí)的 推知低 C 鋼類塑性材料在純剪切應(yīng)力狀態(tài) 下的

17、 ,例7-10-1 對(duì)于圖示各單元體，試分別按第三強(qiáng)度理論及第四強(qiáng)度理論求相當(dāng)應(yīng)力。,110 MPa,140 MPa,(b),已知 1=14 0MPa，2=110MPa , 3=0,例7-10-2 兩種應(yīng)力狀態(tài)分別如圖所示，試按第四強(qiáng)度理論,比較兩者的危險(xiǎn)程度。,解：一、判斷 由于各向同性材料，正應(yīng)力僅產(chǎn)生線應(yīng)變，剪應(yīng)力僅產(chǎn)生剪 應(yīng)變。而兩種情況下的正應(yīng)力和剪應(yīng)力分 別相等，因此，其形狀改變比能也相等，故兩種情況下的危險(xiǎn)程度相等。,狀態(tài) (b) 設(shè) ，則,二、核算 (1) 兩種情況下的主應(yīng)力為,狀態(tài) (a ),由第四強(qiáng)度理論的計(jì)算應(yīng)力 狀態(tài) (a ),狀態(tài) (b ),7-12 莫爾強(qiáng)度理論,莫爾認(rèn)為：最大剪應(yīng)力是使物體破壞的主要因素，但滑移面上的摩擦力也不可忽略（莫爾摩擦定