1、6 6 指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)的比較指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)的比較 - -教學(xué)設(shè)計(jì)教學(xué)設(shè)計(jì) 教材分析教材分析 指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)是高中數(shù)學(xué)函數(shù)中的兩類重要的函數(shù)模型 教材第三章 指數(shù)函數(shù) 和對(duì)數(shù)函數(shù)主要有三大塊內(nèi)容：指數(shù)運(yùn)算和指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)、 對(duì)數(shù)運(yùn)算和對(duì)數(shù)函數(shù) 的圖像與性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)冪函數(shù)增長(zhǎng)速度的對(duì)比.知識(shí)結(jié)構(gòu)如下圖所示： 指數(shù)運(yùn)算對(duì)數(shù)運(yùn)算 指數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù) 指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì) 指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)增長(zhǎng)的差異 教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo) 1.1.知識(shí)與技能知識(shí)與技能 結(jié)合實(shí)例體會(huì)直線上升、 指數(shù)爆炸、對(duì)數(shù)增長(zhǎng)等不同增長(zhǎng)的函數(shù)模型意義， 理解它們的 增長(zhǎng)差異

2、性 2.2.過程與方法過程與方法 能夠借助信息技術(shù)， 利用函數(shù)圖像及數(shù)據(jù)表格， 對(duì)幾種常見增長(zhǎng)類型的函數(shù)的增長(zhǎng)狀況 進(jìn)行比較，初步體會(huì)它們的增長(zhǎng)差異性； 收集一些社會(huì)生活中普遍使用的函數(shù)模型 （指數(shù)函 數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等） ，了解函數(shù)模型的廣泛應(yīng)用 3.3.情態(tài)與價(jià)值情態(tài)與價(jià)值 體驗(yàn)函數(shù)是描述宏觀世界變化規(guī)律的基本數(shù)學(xué)模型， 體驗(yàn)指數(shù)函數(shù)、 對(duì)數(shù)函數(shù)等函數(shù)與 現(xiàn)實(shí)世界的密切聯(lián)系及其在刻畫現(xiàn)實(shí)問題中的作用 教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn) 教學(xué)重點(diǎn)： 認(rèn)識(shí)指數(shù)函數(shù)、 對(duì)數(shù)函數(shù)、 冪函數(shù)模型的增長(zhǎng)差異， 結(jié)合實(shí)例體會(huì)直線上升、 指數(shù)爆炸、對(duì)數(shù)增長(zhǎng)等不同函數(shù)類型增長(zhǎng)的含義 教學(xué)難點(diǎn)：怎樣選

3、擇數(shù)學(xué)模型分析解決實(shí)際問題 教學(xué)方法與手段教學(xué)方法與手段 教學(xué)方法：教師的啟發(fā)式講授與學(xué)生的動(dòng)手實(shí)踐、自主探索、合作交流相結(jié)合. 教學(xué)手段：多媒體輔助教學(xué). 教學(xué)過程教學(xué)過程 一、提出問題一、提出問題 我們已經(jīng)知道： 當(dāng)a 1時(shí)，指數(shù)函數(shù)y a是增函數(shù)，并且當(dāng)a越大時(shí)，其函數(shù)值得增長(zhǎng)就越快 當(dāng)a 1時(shí)，對(duì)數(shù)函數(shù)y log a x是增函數(shù)，并且當(dāng)a越小時(shí)，其函數(shù)值得增長(zhǎng)就越快 當(dāng)x 1，n 1時(shí)，冪函數(shù)y x顯然也是增函數(shù)，并且當(dāng)x 1越小時(shí)，n越大其函 數(shù)值得增長(zhǎng)就越快 那么，對(duì)于這三種增加的函數(shù)，它們的函數(shù)的增長(zhǎng)快慢有何差別？ n x 二、組織活動(dòng)，進(jìn)行探究二、組織活動(dòng)，進(jìn)行探究 活動(dòng)一：活

4、動(dòng)一：用幾何畫板（或 Microsoft Math）去探究下列問題： x2 在區(qū)間(0,)上判斷函數(shù)y log 2 x、y 2 、y x的單調(diào)性； 用幾何畫板在同一坐標(biāo)系中畫出下列函數(shù)的圖像； 結(jié)合函數(shù)圖像找出交點(diǎn)坐標(biāo)； x22x 請(qǐng)?jiān)诤瘮?shù)圖像上分別標(biāo)出不等式log 2 x 2 x 和log x x 2成立的自變量x 的取值范圍； 由以上問題你能得到什么結(jié)論？ 談?wù)摻Y(jié)果談?wù)摻Y(jié)果： 在區(qū)間(0,)上函數(shù)y log 2 x、y 2 、y x的單調(diào)遞增的函數(shù)； 圖像略 x2 從圖像上看y log 2 x的圖像與另外兩個(gè)函數(shù)的圖像沒有交點(diǎn)， 且總在另外兩個(gè)函數(shù) 的圖像的下方，y 2的圖像與y x的交點(diǎn)

5、有兩個(gè)(2,4)和(4,16) x22x log 2 x 2 x 和log x x 2成立的自變量x的取值范圍分別為(2,4)和 x2 (0,2) U (4,) x2 簡(jiǎn)單歸納三種函數(shù)增長(zhǎng)的快慢y log 2 x、y 2 、y x函數(shù)的增長(zhǎng)不在一個(gè) x2 數(shù)量級(jí)上從圖像可知隨著x的增大y log 2 x增長(zhǎng)速度越來(lái)越慢，而y 2 、y x的 增長(zhǎng)速度越來(lái)越快，但是y 2的增長(zhǎng)速度更快 活動(dòng)二： 我們通過對(duì)三個(gè)具體函數(shù)y 2、y x（x 0） 、y log 2 x的函數(shù)值 （取 近似值）的比較，來(lái)體會(huì)它們?cè)鲩L(zhǎng)的快慢 完成表 3-13（借助科學(xué)計(jì)算器或設(shè)計(jì)程序通過計(jì)算程序通過計(jì)算機(jī)完成） 函數(shù)值

6、自變量x x100 x y 2 2 2.0097338 1024 x y x100(x 0) 1 2.0097258 y log 2 x 0 0.0100700 3.3219 6.6439 8.2288 8.9658 9.4512 9.96 9.8138 9.9658 10.1033 10.2288 1 1.0070044 10 100 300 500 700 900 996 1000 1100 1200 10100 1.271030 2.041090 3.2710150 5.2610210 8.4510270 6.7010299 1.0710301 10200 5.1510247 7.891

7、0269 3.2310284 2.6610295 6.7010299 10300 1.3610331 1.7210361 1.3810304 8.2810307 利用表 3-13 中的數(shù)據(jù)完成表 3-14 x的變化區(qū) 間 函數(shù)值 y 2x y x100(x 0) y log 2 x (1,10) (10,100) (100,300) (300,500) (500,700) 10221.010100 1.010200 5.15410247 3.32 3.32 1.585 0.737 0.485 0.3625 0.152 0.137 1.267103 2.6371090 3.2710150 5.2

8、610210 8.4510270 1.0710301 1.3610331 1.7210361 7.8910269 3.2510284 2.65610295 1.0010300 1.3810304 8.2810307 (700,900) (900,1000) (1000,1100) (1100,1200) 0.1255 談?wù)勀銓?duì)這三個(gè)函數(shù)值增長(zhǎng)快慢的體會(huì) 三、歸納提升三、歸納提升 x 一般地，對(duì)于指數(shù)函數(shù)y a (a 1)和冪函數(shù)y x (n 0)，通過探索可以發(fā)現(xiàn)，在 n 區(qū)間(0,)上， 無(wú)論n比a大多少， 盡管在的一定變化范圍內(nèi)，a會(huì)小于x， 但由于a nxn 的增長(zhǎng)快于x的增長(zhǎng)，因此總存

9、在一個(gè)x0，當(dāng)x x0時(shí)，就會(huì)有a x xnx 同樣地，對(duì)于對(duì)數(shù)函數(shù)y logax(a 1)和冪函數(shù)y xn(n 0)，在區(qū)間(0,)上， 隨著x的增大，log a x增長(zhǎng)得越來(lái)越慢，圖像就像是漸漸地與x軸平行一樣盡管在x的一 nn 定變化范圍內(nèi)，log a x可能會(huì)大于x ，但由于log a x的增長(zhǎng)慢于x 的增長(zhǎng)，因此總存在 n 一個(gè)x0，當(dāng)x x0時(shí)，就會(huì)有l(wèi)og a x x x 綜上所述， 在區(qū)間(0,)上，盡管y a (a 1)，y log a x(a 1)和y xn(n 0)都 x 是增函數(shù)， 但它們的增長(zhǎng)速度不同， 而且不在同一個(gè) “檔次” 上， 隨著x的增大，y a (a 1)

10、 的增長(zhǎng)速度越來(lái)越快， 會(huì)超過并遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于y xn(n 0)的增長(zhǎng)速度 而y log a x(a 1)的 nx 增長(zhǎng)速度則越來(lái)越慢因此，總會(huì)存在一個(gè)x0，當(dāng)x x0時(shí)，就有l(wèi)og a x x a 四、實(shí)際應(yīng)用四、實(shí)際應(yīng)用 例 1：函數(shù)y 2與y x的圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（） A0 個(gè) B1 個(gè) C2 個(gè) D3 個(gè) 例 2：某公司為了實(shí)現(xiàn)1000 萬(wàn)元利潤(rùn)的目標(biāo)，準(zhǔn)備制定一個(gè)激勵(lì)銷售部門的獎(jiǎng)勵(lì)方案： 在銷售利潤(rùn)達(dá)到 10 萬(wàn)元時(shí)， 按銷售利潤(rùn)進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)， 且獎(jiǎng)金y（單位： 萬(wàn)元） 隨銷售利潤(rùn)x（單 x2 位：萬(wàn)元）的增加而增加但獎(jiǎng)金不超過5 萬(wàn)元，同時(shí)獎(jiǎng)金不超過利潤(rùn)的25%現(xiàn)有三個(gè)獎(jiǎng)勵(lì) 模型：y 0.2

11、5x、y log 7 x 1、y 1.002x問：其中哪個(gè)模型能符合公司的要求？ 解：借助計(jì)算器或計(jì)算中心機(jī)作出函數(shù)y 5、y 0.25x、y log 7 x 1、y 1.002x的 圖像（如下） ： 對(duì)于模型y 0.25x它在區(qū)間10,1000上遞增，當(dāng)x(20,1000)時(shí)，y 5，因此該模 型不符合要求；對(duì)于模型y 1.002x，由函數(shù)圖像，并利用計(jì)算器，可知在區(qū)間(805,806)內(nèi) 有一個(gè)點(diǎn)x0滿足1.002x05，由于它在10,1000上遞增，因此當(dāng)x x0時(shí)，y 5，因此 該模型也不符合要求；對(duì)于模型y log 7 x 1，它在區(qū)間10,1000上遞增，而且當(dāng)x 1000 時(shí)，y

12、 log 7 10001 4.55 5，所以它符合獎(jiǎng)金總數(shù)不超過5 萬(wàn)元的要求 再計(jì)算按模型y log 7 x 1獎(jiǎng)勵(lì)時(shí)， 獎(jiǎng)金是否不超過利潤(rùn)的250 0 ， 即當(dāng)x10,1000時(shí)， 是否有 ylog7x1 0.25成立 xx 令f (x) log 7 x 10.25x,x10,1000，利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)作出函數(shù)f (x)的圖像 （如圖） 由圖可知它是減函數(shù)，因此f (x) f (10) 0.3167 0即log 7 x 1 0.25x所以， 當(dāng)x10,1000時(shí)， log7x1 0.25x說(shuō)明按模型y log7x 1獎(jiǎng)勵(lì)，獎(jiǎng)金不會(huì)超過利潤(rùn)的 x 250 0 綜上所述，模型y log7x 1確實(shí)符合公司要求 五、課堂小結(jié)五、課堂小結(jié) （1）指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)的圖像以及它們各自的增減性. （2）知道指數(shù)爆炸在生活中的一些直觀的感受，并且能用計(jì)算器或設(shè)計(jì)程序來(lái)解決問 題. （3）由解析式可以推知函數(shù)的變化，同時(shí)也能夠熟練地由圖像還原至所學(xué)的解析式， 達(dá)到能夠靈活的運(yùn)用數(shù)形結(jié)合來(lái)解決題目的目的. 六、作業(yè)布置六、作業(yè)布置 課本 103 頁(yè)：習(xí)題 3-6 1、2 七、板書設(shè)計(jì)七、板書設(shè)計(jì) 指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)的比較 1.指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、 冪函數(shù)的增長(zhǎng)