1、第四節(jié)空間的角,一、異面直線所成的角 1定義：已知兩條異面直線a、b，經(jīng)過(guò)空間任意一點(diǎn)O，作aa，bb，我們把a(bǔ)與b所成的銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角(或夾角) 2求作異面直線所成角的方法 (1)平移法：在異面直線中的一條直線上選擇一 ，作另一條直線的平行線；,特殊點(diǎn),(2)補(bǔ)形法：把空間圖形補(bǔ)成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長(zhǎng)方體等，其目的在于容易發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關(guān)系 3范圍： ,二、直線與平面所成的角 1定義：直線與平面所成的角是直線和它在平面內(nèi)的射影所成的角當(dāng)直線和平面平行或直線在平面內(nèi)時(shí)，稱直線和平面成0角當(dāng)直線和平面垂直時(shí)，稱直線和平面成90角 2求作直

2、線和平面所成角的方法 斜線和平面所成的角是一個(gè)直角三角形的銳角，它的三條邊分別是平面的垂線段，斜線段及斜線段在平面內(nèi)的射影其中的關(guān)鍵是作出射影線段(它是由垂線段的垂足和斜足連結(jié)而成的),三、二面角 1定義：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，這兩個(gè)半平面叫做二面角的面 二面角的平面角：以二面角的棱上任意一點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角,2求作二面角的方法 二面角的大小是用它的 來(lái)度量的找(或作)出二面角的平面角，并且求出其大小，主要有以下幾種方法： (1)定義法：直接在二面角的棱上取一點(diǎn)(特殊點(diǎn))，分別在兩個(gè)半

3、平面中作棱的垂線，得出平面角，用定義法時(shí)，要認(rèn)真觀察圖形的特殊性 (2)三垂線法：已知二面角其中一個(gè)面內(nèi)一點(diǎn)到另一個(gè)面的垂線，用三垂線定理或其逆定理作出平面角,平面角,(3)垂畫法：已知二面角內(nèi)一點(diǎn)到兩個(gè)面的垂線時(shí)，這兩垂線作平面與兩個(gè)平面的交線所成的角即為平面角，由此可知，二面角的平面角所成的平面與棱垂直 (4)射影法：利用面積射影公式 ，其中為平面角的大小，此方法不必在圖中畫出平面角來(lái) 對(duì)于沒(méi)有給出棱的二面角，應(yīng)先延伸兩個(gè)半平面，使之相交出現(xiàn)棱，然后再選用上述方法 3范圍： ,S射S投cos,0，,解(證)與角有關(guān)的問(wèn)題，通常是先“定位”，后“定量” 空間各種角的度量都是轉(zhuǎn)化為平面角來(lái)實(shí)現(xiàn)

4、的，要熟練掌握各類角轉(zhuǎn)化為平面角的方法求角的一般步驟是：找出或作出有關(guān)的平面角；證明它符合定義；化歸到某一個(gè)三角形中進(jìn)行計(jì)算.,例1如圖所示，在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，AB3，BCAA14，點(diǎn)O是AC的中點(diǎn) (1)求證：AD1平面DOC1； (2)求異面直線AD1和DC1所成角的余弦值 分析(1)尋找線面平行的條件利用判定定理證明； (2)用中位線平移法先找后求,規(guī)律總結(jié)求異面直線所成角分四步：作，證，求，答“作”即過(guò)空間一點(diǎn)作兩條異面直線的平行線，而空間一點(diǎn)一般取在兩條異面直線中的一條上，特別是某些特殊點(diǎn)處，例如“端點(diǎn)”或“中點(diǎn)”處；“證”即證明所作角符合異面直線所成角的定義；“求

5、”是通過(guò)解三角形，計(jì)算出所作角的大??；“答”即最后指明結(jié)論 求異面直線所成的角要注意以下兩點(diǎn)：當(dāng)兩條異面直線互相垂直時(shí)，欲求它們所成的角，實(shí)際上是要通過(guò)證明來(lái)實(shí)現(xiàn)；當(dāng)利用解斜三角形有關(guān)知識(shí)求出的角為鈍角時(shí)，應(yīng)取其補(bǔ)角作為異面直線所成角的大小.,備選例題1本例已知條件不變，求異面直線AD1和OC1所成的角,例2如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD為矩形，側(cè)棱PA底面ABCD，AB ，BC1，PA2，E為PD的中點(diǎn)求直線AC與PB所成角的余弦值 分析異面直線所成的角可通過(guò)平移，轉(zhuǎn)化為相交直線所成的角,規(guī)律總結(jié)求異面直線的夾角最關(guān)鍵是要找出一個(gè)點(diǎn)，把其作為角的頂點(diǎn)，然后再把兩個(gè)異面直線“平移”過(guò)

6、來(lái)，這個(gè)“角”就完成了這個(gè)點(diǎn)也許在異面直線上，也許在空間這個(gè)點(diǎn)有時(shí)很好找，但有時(shí)不容易找出，此時(shí)可考慮使用cos 來(lái)求解.,備選例題2如圖，在五棱錐SABCD中，SA底面ABCDE，SAABAE2，BCDE ，BAEBCDCDE120.求異面直線CD與SB所成的角(用反三角函數(shù)值表示),解法二：如圖(2)，連結(jié)BE，延長(zhǎng)BC、ED交于點(diǎn)F，則DCFCDF60.又BCDE，BFEF. BFE為正三角形 ABE是等腰三角形，且BAE120， ABC90. 以A為原點(diǎn)，AB、AS所成直線分別為x軸、z軸，平面ABC內(nèi)垂直于AB的直線為y軸建立空間直角坐標(biāo)系，,例3在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC

7、B90，AC2BC，A1BB1C.求B1C與側(cè)面A1ABB1所成角的正弦值,備選例題3如圖，在三棱錐VABC中，VC底面ABC，ACBC，D是AB的中點(diǎn)，且ACBCa，VDC(0 ) (1)求證：平面VAB平面VCD； (2)當(dāng)角變化時(shí)，求直線BC與平面VAB所成角的取值范圍,解：解法一：(1)證明：ACBCa， ACB是等腰三角形又D是AB的中點(diǎn)， CDAB.又VC底面ABC，VCAB. 于是AB平面VCD. 又AB平面VAB，平面VAB平面VCD. (2)過(guò)點(diǎn)C在平面VCD內(nèi)作CHVD于H，則由(1)知CH平面VAB. 連結(jié)BH(如圖(1)，則CBH就是直線BC與平面VAB所成的角,規(guī)律總

8、結(jié)解法一是首先作出二面角的平面角，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)求得這個(gè)平面角，這種方法關(guān)鍵在于作出二面角的平面角；解法二則是利用分割原理，將所求二面角看成是二面角A1B1EB與二面角AB1EB的差近兩年高考題中這種思想方法在試題中有較多體現(xiàn)本題處理二面角的方法： (1)首先是能否由條件作出平面角，這也是解題中的難點(diǎn)二面角的平面角有三種常用作法：作二面角的平面角可以根據(jù)平面角的定義從棱上一點(diǎn)出發(fā)，分別在兩個(gè)半平面內(nèi)作棱的垂線，即得；利用三垂線定理作二面角的平面角；通過(guò)與棱垂直的平面作出二面角的平面角,對(duì)于無(wú)棱二面角的棱的確定有以下三種途徑；由二面角兩個(gè)面內(nèi)的兩條相交線確定棱；由二面角兩個(gè)面內(nèi)的兩條平行直

9、線找出棱；補(bǔ)形構(gòu)造幾何體發(fā)現(xiàn)棱 (2)根據(jù)分割原理，將研究的二面角看成是其他二面角的和或差，而且這其他的二面角大小又易求得.,備選例題4如圖，在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，AB2，BCBB11，E為D1C1的中點(diǎn)，求二面角EBDC的正切值,例5如圖(1)，已知ABCD是上、下底邊長(zhǎng)分別為2和6，高為 的等腰梯形，將它沿對(duì)稱軸OO1折成直二面角，如圖(2) (1)證明：ACBO1； (2)求二面角OACO1的大小,由三垂線定理得ACBO1. (2)由(1)知ACBO1，OCBO1，BO1平面AOC. 設(shè)OCO1BE，過(guò)點(diǎn)E作EFAC于F，連結(jié)O1F，如圖(4)，則EF是O1F在平面AOC內(nèi)

10、的射影，由三垂線定理，得O1FAC， 所以O(shè)1FE是二面角OACO1的平面角,圖(4),規(guī)律總結(jié)折疊問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是以折線為棱構(gòu)成一個(gè)二面角，解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是搞清楚折疊前后的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系的變化，要注意抓住折疊前后同一半平面內(nèi)的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系沒(méi)有發(fā)生變化，從變與不變中進(jìn)行推理計(jì)算.,備選例題5已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB2，AA13. (1)求證：A1CBD； (2)求直線A1C與側(cè)面BB1C1C所成角的正切值； (3)求二面角B1CDB的正切值 解：解法一：(1)證明：連結(jié)AC，如圖(1)，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，所以ACBD，又側(cè)

11、棱AA1平面ABCD. AC是A1C在平面ABCD內(nèi)的射影A1CBD. (2)在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，A1B1BB1C1C，所以B1C是A1C在平面BB1C1C內(nèi)的射影，,解法二：(1)證明：同解法一； (2)如圖(2)，以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以DA、DC、DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)為D(0,0,0)，C(0,2,0)，A1(2,0,3),例1如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，若E、F分別為AB和BB1的中點(diǎn)，求A1E與CF所成角的余弦值,錯(cuò)因分析失誤有二：其一不能利用給定圖形進(jìn)行選點(diǎn)平移線，其二忽視異面直線所成角的范圍而求其是

12、鈍角的情形,例2如圖，在直二面角l內(nèi)有線段AB，A面，B面，且AB與面所成的角是45.如果AB在平面內(nèi)的射影與棱l所成角為45，求AB與面所成的角,錯(cuò)因分析線面角的求解，關(guān)鍵在平面內(nèi)添射影找到線面角歸結(jié)到三角形中進(jìn)行求解，學(xué)生往往在這個(gè)問(wèn)題上出錯(cuò)而致誤,例3在棱長(zhǎng)為1的正方體AC1中，P是AD的中點(diǎn)，求二面角ABD1P的大小,錯(cuò)因分析作二面角的平面角方法較多給選取恰當(dāng)?shù)姆椒◣?lái)困難，如方法不當(dāng)帶來(lái)理解困難另一方面如利用向量法求二面角一定要搞清兩平面的法向量所成的角與二面角的關(guān)系,例4試證：兩平行直線和同一個(gè)平面所成的角相等 解題思路已知：ab，求證：a，b與所成角相等 (1)若a，則由ab，知b. a，b與所成角相等，都為90. (2)若a(或a)，則b或b. 此時(shí)，a，b與所成角相等，都為0.,(3)如