1、第22課特殊三角形,基礎(chǔ)知識(shí) 自主學(xué)習(xí),1等腰三角形： (1)性質(zhì)： 相等， 相等，底邊上的高線、中線、 頂角的角平分線“三線合一”； (2)判定：有兩邊相等、兩角相等或兩線合一的三角形是等腰 三角形 2等邊三角形： (1)性質(zhì)： 相等，三內(nèi)角都等于 ； (2)判定：三邊相等、三內(nèi)角相等或有一個(gè)角是60的等腰三 角形是等邊三角形,要點(diǎn)梳理,兩腰,兩底角,三邊,60,3直角三角形：在ABC中，C90. (1)性質(zhì)：邊與邊的關(guān)系：(勾股定理)a2b2 ； (2)角與角的關(guān)系：AB ； (3)邊與角的關(guān)系： 若A30，則ac，bc； 若ac，則A30； 若A45，則abc； 若ac，則A45； 斜邊

2、上的中線mcR.其中R為三角形外接圓的半徑 (4)判定：有一個(gè)角是直角的三角形是直角三角形；如果三角形 的三邊長a、b、c滿足a2b2c2，那么這個(gè)三角形是直角三 角形；如果三角形一條邊上的中線等于這條邊的一半，那么 這個(gè)三角形是直角三角形,c2,90,難點(diǎn)正本疑點(diǎn)清源 1等腰三角形的特殊性 “等邊對(duì)等角”是今后我們證明角相等的又一個(gè)重要依據(jù)“等 角對(duì)等邊”可以判定一個(gè)三角形是等腰三角形，同時(shí)也是今后證明 兩條線段相等的重要依據(jù) 等邊三角形是等腰三角形，但等腰三角形不一定是等邊三角 形，等邊三角形擁有等腰三角形的所有性質(zhì)，但不分頂角、底角、 腰、底邊因?yàn)榈冗吶切稳魏我粋€(gè)角都為60，任何一條邊

3、都 可看做腰或底邊 解答等腰三角形的有關(guān)問題時(shí)，常作輔助線，構(gòu)造出“三線合 一”的基本圖形在添加輔助線時(shí)，要根據(jù)具體情況而定，表達(dá)輔 助線的語句，不能限制條件過多，如一邊上的高并且要平分這條 邊；作一邊上的中線并且垂直平分這條邊；作一個(gè)角的平分線并 且垂直對(duì)邊等等，這些都是不正確的,2直角三角形的特殊性 直角三角形是重要的基本圖形之一，它的特征和識(shí)別應(yīng)用非 常廣泛，把勾股定理運(yùn)用到實(shí)際生活中解決實(shí)際問題，常常滲透 著數(shù)形結(jié)合、方程思想 在利用勾股定理時(shí)，一定要看清題中所給的條件是不是直角 三角形，所給的邊是直角邊還是斜邊，如果題目無法確定是直角 邊還是斜邊，則需要分類討論勾股定理的逆定理是把數(shù)

4、轉(zhuǎn)化為 形，是通過計(jì)算判定一個(gè)三角形是否為直角三角形 實(shí)際問題可根據(jù)實(shí)際情況轉(zhuǎn)化為直角三角形去解，圖中無直 角時(shí)，可通過添加輔助線來構(gòu)造直角三角形若圖形中有特殊 角，如30、45、60的角，在作輔助線時(shí)，要注意保留其完 整性，以便應(yīng)用特殊三角形的性質(zhì),基礎(chǔ)自測(cè),1(2011濟(jì)寧)如果一個(gè)等腰三角形的兩邊長分別是5 cm和6 cm，那么此三角形的周長是() A15 cm B16 cm C17 cm D16 cm或17 cm 答案D 解析這個(gè)三角形的周長是55616或66517.,2(2011銅仁)下列關(guān)于等腰三角形的性質(zhì)敘述錯(cuò)誤的是() A等腰三角形兩底角相等 B等腰三角形底邊上的高、底邊上的中

5、線、頂角的平分線互 相重合 C等腰三角形是中心對(duì)稱圖形 D等腰三角形是軸對(duì)稱圖形 答案C 解析等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形,3(2011蕪湖)如圖，已知ABC中，ABC45， F是高AD和BE的交點(diǎn)，CD4，則線段DF的長度為() A2 B4 C3 D4 答案B 解析在RtABD中，ABD45，可得ADBD，易證BDFADC，所以DFCD4.,5(2011雞西)如圖，在RtABC中，ABCB，BOAC，把ABC折疊，使AB落在AC上，點(diǎn)B與AC上的點(diǎn)E重合，展開后，折痕AD交BO于點(diǎn)F，連結(jié)DE、EF.下列結(jié)論： tanADB2； 圖中有4對(duì)全等三角形； 若將DEF沿EF折疊， 則

6、點(diǎn)D不一定落在AC上； BDBF； S四邊形DFOESAOF， 上述結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是() A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè),答案C,題型分類 深度剖析,【例 1】(1)方程x29x180的兩個(gè)根是等腰三角形的底和腰，則這個(gè)三角形的周長為() A12 B12或15 C15 D不能確定 答案C 解析解方程x29x180，得x13，x26，周長為36615，應(yīng)選C. (2)如果等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角是80，那么頂角是_度 答案80或20 解析頂角是80，或當(dāng)?shù)捉鞘?0時(shí)，頂角是18028020. 探究提高在等腰三角形中，如果沒有明確底邊和腰，某一邊可以是底， 也可以是腰同樣，某一角可以是底角也可以是頂

7、角，必須仔細(xì)分類討 論,題型一等腰三角形有關(guān)邊角的討論,知能遷移1(1)(2011株洲)如圖， ABC中，ABAC，A36，AC的垂直平分線交AB于E，D為垂足，連接EC. 求ECD的度數(shù)； 若CE5，求BC長,解解法一： DE垂直平分AC， CEAE，ECDA36. 解法二： DE垂直平分AC， ADCD，ADECDE90. 又DEDE，ADECDE，ECDA36.,解法一： ABAC，A36，BACB72. ECDA36， BCEACBECD36， BEC180367272B， BCEC5. 解法二： ABAC，A36， BACB72， BECAECD72， BECB， BCEC5.,(2

8、)(2011煙臺(tái))等腰三角形的周長為14，其一邊長為4，那么，它的底邊為_ 答案4或6 解析等腰三角形的底邊為4；等腰三角形的兩腰為4時(shí)，則底邊等于14446.,題型二等腰三角形的性質(zhì),【例 2】如圖，在等腰RtABC中，BAC90，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，且AEBF，試判斷DEF的形狀,解題示范規(guī)范步驟，該得的分，一分不丟！,解：連接AD，在等腰RtABC中， AD是中線， ADBC，DAEBAC45，ADBD. 又BC45， BDAE.2分 在BDF和ADE中， BDFADE(SAS)4分 DFDE，12. 又3190， 2390，即EDF90. DEF也是等腰直角三角形6分,探究提高作等腰三角

9、形的底邊中線，構(gòu)造等腰三角形“三線合一”的基本圖形，是常見的輔助線的作法之一,知能遷移2 已知：如圖，D是等腰ABC底邊BC上一點(diǎn)，它到兩腰AB、AC的距離分別為DE、DF.當(dāng)D點(diǎn)在什么位置時(shí)，DEDF？并加以證明,解當(dāng)點(diǎn)D在BC的中點(diǎn)時(shí)，DEDF. ABAC，BC. DEAB，DFAC， DEBDFC90. 點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)， BDCD， BDECDF(AAS)， DEDF.,題型三等邊三角形,【例 3】(1)已知：如圖，P、Q是ABC邊BC上兩點(diǎn)，且BPPQQCAPAQ，求BAC的度數(shù),解APPQAQ，APQ是等邊三角形 PAQ60，APQ60. APBP，BBAP6030. 同理：CCA

10、Q30， BAC306030120.,(2)(2010大興安嶺)如圖所示，已知ABC和DCE均是等邊 三角形，點(diǎn)B、C、E在同一條直線上，AE與BD交于點(diǎn) O，AE與CD交于點(diǎn)G，AC與BD交于點(diǎn)F，連接OC、FG， 則下列結(jié)論： AEBD； AGBF； FGBE； BOCEOC. 其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)() A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè) 答案D,解析由BCDACE， 可得AEBD成立； 由ACGBCF， 可得AGBF成立； ACGBCF， CGCF， 又ACD60， FCG是等邊三角形， CFG60ACB， FGBE成立； 過C畫CMBD，CNAE，垂足分別是M、N， BCDACE， CMCN

11、， 點(diǎn)C在BOE的角平分線上，OC平分BOE， 即BOCEOC成立,探究提高在解題的過程中要充分利用等邊三角形特有的性質(zhì)，每個(gè)角都相等，每條邊都相等，這可以讓我們輕松找到證明全等所需的條件,知能遷移3如圖，在等邊ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊BC、AB上，且BDAE，AD與CE交于點(diǎn)F. (1)求證：ADCE； (2)求DFC的度數(shù),解(1)在等邊ABC中， ABAC，BACCBA60， 又BDAE， ABDCAE， ADCE. (2)ABDCAE， BADECA. DFC是AFC的外角， DFCECADAC BADDAC BAC60.,題型四直角三角形、勾股定理,【例 4】(1)如圖，已知ABC

12、中，ABC90，ABBC，三角形的頂點(diǎn)在相互平行的三條直線l1、l2、l3上，且l1、l2之間的距離為2，l2、l3之間的距離為3，則AC的長是() A2 B2 C4 D7 答案A,(2)如圖，在鈍角三角形ABC中，BC9，AB17， AC10，ADBC，交BC的延長線于D，求AD 的長,探究提高 在線段的長無法直接求出時(shí)，可利用另一線段把這一線段表示出來，然后利用勾股定理得到一個(gè)方程，最后得解，這是利用勾股定理解決線段長的常用方法,知能遷移4(1)如圖，直線l上有三個(gè)正方形a、b、c，若a、c的面積分別為5和11，則b的面積為() A4 B6 C16 D55 答案C,(2)(2011雞西)已

13、知三角形相鄰兩邊長分別為20 cm和 30 cm，第三邊上的高為10 cm，則此三角形的面積 為_cm2.,答題規(guī)范,考題再現(xiàn)在ABC中，高AD和高BE相交于H，且BHAC，求ABC的度數(shù) 學(xué)生作答 解：如圖1， 在RtBHD和RtACD中， CCAD90， CHBD90， HBDCAD. 又BHAC，BHDACD， BDAD. ADB90，ABC45.,9三角形的高可能在形外,圖1,規(guī)范解答 解：這里的ABC有兩種情況，ABC是銳角(圖1)或 ABC是鈍角(圖2) 如圖2，在RtBHD和RtACD中， 易得DCADHB. 又ACBH， DHBDCA， ADDB， DBA45， ABC135.

14、 綜上：ABC45或ABC135.,圖2,老師忠告 1同學(xué)們都知道，三角形的高有可能在形外，但在實(shí)際解題中，常因忽略這一點(diǎn)而造成錯(cuò)誤為什么常常會(huì)忽略三角形的高可能在形外呢？一個(gè)主要原因就是同學(xué)們頭腦中已形成思維定勢(shì)，一畫三角形就不由自主地畫成銳角三角形，從而造成漏解的失誤 2在解答幾何問題時(shí)，如果沒有給出具體的圖形，都應(yīng)該先考慮是否有多種情況，有些命題在一種情況下成立是真命題，而在另一種情況下就可能不成立，是假命題,10易出錯(cuò)的等腰三角形問題,考題再現(xiàn)已知ABC是等腰三角形，由A所引BC邊上的高恰好等于BC邊長的一半，試求BAC的度數(shù) 學(xué)生作答,圖3,規(guī)范解答 解：題目中并沒有指明BC是等腰A

15、BC的底或腰 當(dāng)BC為底時(shí)，可求得BAC90； 當(dāng)BC為腰時(shí)，還應(yīng)對(duì)B的大小進(jìn)行討論：,圖4,圖5,老師忠告 1對(duì)于等腰三角形問題，當(dāng)給出的條件(如邊、角情況)不明時(shí)，一般要分情況逐一考察，否則，容易出現(xiàn)錯(cuò)解或漏解的錯(cuò)誤 2當(dāng)頂角是銳角時(shí)，腰上的高在三角形內(nèi)；當(dāng)頂角為直角時(shí)，腰上的高與另一腰重合；當(dāng)頂角為鈍角時(shí)，腰上的高在三角形外這是在解與等腰三角形腰上的高有關(guān)的問題時(shí)，應(yīng)考慮的幾個(gè)方面.,思想方法 感悟提高,方法與技巧 1. 掌握分類的思想和方法，可深入理解，有效記憶，便于應(yīng) 用例如：從三角形三邊長的比較，可把三角形分為不等邊三角 形和等腰三角形，等腰三角形又分為等邊三角形和其它等腰三角 形

16、；而從最大內(nèi)角的大小出發(fā)，又可以把三角形分為銳角三角形、 直角三角形和鈍角三角形 由于兩種分類的標(biāo)準(zhǔn)不同，所以一個(gè)具體的三角形，在兩種 分類中，必各屬于其中的一類如等腰直角三角形，在第一種分 類中，屬于其它等腰三角形；在第二種分類中，屬于直角三角形 2. 在一個(gè)三角形中“等邊對(duì)等角，等角對(duì)等邊”，當(dāng)所要求證 的兩邊、兩角位于同一個(gè)三角形中，利用等腰三角形來論證它們的 相等關(guān)系是常用的方法,3. 等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)，運(yùn)用廣泛而又靈活，在于 三線中只要有任兩線重合，則可判定三角形等腰，即第三線也重 合 4. 證明等邊三角形的方法一般有兩種：一是直接論證三邊或 三角相等；二是先證明是等腰三角形，再證明其中一角為60. 5. 在直角三角形中斜邊上中線等于斜邊的一半，同時(shí)這條中 線將直角三角形分成了兩個(gè)等腰三角形，這一特征在解題中時(shí)有 運(yùn)用；在直角三角形中，含銳角30、45這兩類是較為特殊 的，它們的邊、角有一些特殊的數(shù)量關(guān)系，應(yīng)該熟記在心,失誤與防范 1在解有關(guān)等腰三角形的問題時(shí)，有一種習(xí)慣上的認(rèn)識(shí)，總 認(rèn)為腰大于底，這是造成錯(cuò)解的原因?qū)嶋H上底也可以大