1、第四章 線性系統(tǒng)的根軌跡法,4.1 根軌跡法的基本概念 4.2 根軌跡繪制的基本法則 4.3 廣義根軌跡 4.4 系統(tǒng)性能的分析,4.1 根軌跡法的基本概念,一、根軌跡定義,開環(huán)傳遞函數(shù)的某個參數(shù)由0時，閉環(huán)特征根在s平面上移動的軌跡。,例1:如圖所示二階系統(tǒng)，試繪制其根根軌跡。,解：,系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)：,閉環(huán)傳遞函數(shù)：,一定要寫成零極點表達式,閉環(huán)特征方程為：,特征根為：,討論：,.,當K=0時，s1=0,s2=-2,當K=0.125時，s1=-0.13,s2=-1.866,當K=0.25時，s1=-0.29,s2=-1.707,當K=0.5時，s1=-1,s2=-1,當K=1時，s1=-1

2、+j,s2=-1-j,當K=2.5時，s1=-1+2j,s2=-1-2j,當K= 時，s1=-1+j,s2=-1-j,二. 根軌跡與系統(tǒng)性能,1.穩(wěn)定性 根軌跡不會穿越虛軸進入右半s平面，則系統(tǒng)穩(wěn)定，如果根軌跡越過虛軸進入s右半平面，此時根軌跡與虛軸交點處的K值，就是臨界開環(huán)增益。,2.穩(wěn)態(tài)性能 由坐標原點處的極點數(shù)確定系統(tǒng)類型； 若給定系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差要求，則可以確定閉環(huán)極點位置的容許范圍。,3.動態(tài)性能,K=0時，根軌跡均在時s平面的左半部分，系統(tǒng)始終穩(wěn)定；,(1)0K0.5時，兩個負實根，過阻尼系統(tǒng)，階躍響應(yīng)為非周期過程；,(2)K=0.5時，相同負實根，臨界阻尼系統(tǒng)，階躍響應(yīng)仍為非周期過

3、程；,(4)K0.5時，一對共軛復(fù)根，欠阻尼系統(tǒng)，階躍響應(yīng)為阻尼振蕩過程。,問題在于逐點計算工作量大，若要更有效的繪制根軌跡就必須找出繪根軌跡的規(guī)律,三、閉環(huán)零極點與開環(huán)零極點的關(guān)系,典型閉環(huán)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖,前向通路傳函：,KG*-前向通路根軌跡增益 KH*-反饋通路根軌跡增益,反饋通路傳函：,開環(huán)傳遞函數(shù)：,K*-開環(huán)系統(tǒng)根軌跡增益,閉環(huán)傳遞函數(shù)：,(1)閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡增益，等于開環(huán)系統(tǒng)前向通路根軌跡增益。 對于單位反饋系統(tǒng)，閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡增益等于開環(huán)系統(tǒng)根軌跡益。 (2)閉環(huán)零點由開環(huán)前向通路傳遞函數(shù)的零點和反饋通路傳遞數(shù)的極點所組成。 對于單位反饋系統(tǒng)，閉環(huán)零點就是開環(huán)零點。 (3)閉環(huán)極點

4、與開環(huán)零點、開環(huán)極點以及根軌跡增益均有關(guān)。,結(jié)論,四、根軌跡方程,閉環(huán)特征方程：,-根軌跡方程,五、模值條件方程和相角條件方程,模值條件：,相角條件：,注釋： 1.根軌跡上的點應(yīng)同時滿足上兩個方程； 2.相角條件方程與K*無關(guān)，模值方程才與K*相關(guān)； 3.模值條件用來確定對應(yīng)的K*； 4.相角條件是決定根軌跡的充要條件，s平面上一點s1若滿足相角條件即為根軌跡上的一點。,繪制根軌跡方法： 1.試探法：任選s1點看是否滿足相角條件； 2.按基本規(guī)則手工繪制； 3.用計算機繪制。,一些約定： 在根軌跡圖中，“”表示開環(huán)極點，“”表示開環(huán)有限值零點。粗線表示根軌跡，箭頭表示某一參數(shù)增加的方向?！?”

5、表示根軌跡上的點。,4.2 根軌跡繪制的基本法則,一、繪制根軌跡的基本法則,法則1. 根軌跡的起點和終點,根軌跡起始于開環(huán)極點，終止于開環(huán)零點，若nm，則有n-m條根軌跡終止于無窮遠處。,K*=0時,必有,K*=時,必有,-起點,-終點,若nm，那么剩余的n-m個終點在哪里？,答案：在無窮遠處。,n-m個無限遠零點,法則2. 根軌跡的分支數(shù)、對稱性和連續(xù)性,根軌跡的分支數(shù)與開環(huán)有限零點m和有限極點n中的大者相等，它們是連續(xù)的且對稱于實軸。,根軌跡的分支數(shù)與開環(huán)極點數(shù)n相等(nm)，或與開環(huán)有限零點數(shù)m相等(nm)。 根軌跡連續(xù)：根軌跡增益是連續(xù)變化導(dǎo)致特征根也連續(xù)變化。 實軸對稱：特征方程的系

6、數(shù)為實數(shù)，特征根必為實數(shù)或共軛復(fù)數(shù)。,法則3. 實軸上的根軌跡,如果實軸上某一區(qū)域的右側(cè)的實數(shù)開環(huán)零點、極點個數(shù)之和為奇數(shù)，則該區(qū)域?qū)嵼S必是根軌跡。,證明,1.s1點與p3、 p4的向量的相角之和q 1+q 2=0,2.s1點與z1、 z2的向量的相角之和q 3+q4=0,3.s1點與p2的向量的相角為0,4.s1點與p1的向量的相角為180,s1點滿足根軌跡相角條件，因此p2 , p1為實軸上的根軌跡。,s2、s3 ：不滿足根軌跡相角條件，所以不是根軌跡上的點。,試驗點s1點,例1:設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為： 試求實軸上的根軌跡。,解：,零極點分布如下：,p1=0，p2=-3，p3=-4，z1

7、=-1，z2=-2,實軸上根軌跡為：-1，0、-3，-2和 (- ，-4,法則4. 根軌跡的漸近線,nm時： n-m條根軌跡沿著漸近線趨向無窮遠處。,與實軸的交點：,與實軸的夾角：,例2:系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為： ，試確定根軌跡分支數(shù)、起點和終點。若終點在無窮遠處，求漸近線與實軸的交點和夾角。,解：,根軌跡有3條； 起點為開環(huán)極點：p1=0，p2=-1，p3=-5； 因無有限值零點，所以3條根軌跡都趨向無窮遠。,與實軸的交點：,與實軸的夾角：,零極點分布和漸近線如圖所示：,法則5. 根軌跡的分離點與分離角,若干根軌跡在復(fù)平面上某一點相遇后又分開，稱該點為分離點或會合點。 分離點在兩極點之間，會合點

8、在兩零點之間。閉環(huán)特征方程有重根。,分離點,A-分離點 B-會合點,分離角：,l-根軌跡分支數(shù),求取分離點的方法,(1)試探法：,若系統(tǒng)無有限零點：,例3例4-1系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示，試繪制該系統(tǒng)概略根軌跡。,1.開環(huán)零極點：,解：,牢記！,3.漸近線：,2.實軸上的根軌跡：,-3,-2 -1,0,4.分離點：,實軸區(qū)域 -2,-3 必有一個根軌跡的分離點d，d 滿足分離點方程：,解得：,(2)極值法,(3)牛頓余數(shù)定理法,步驟：,(1)求出 ；,(2)設(shè) ；,(3)在其分離點可能出現(xiàn)的實軸坐標附近找一試探點s1 ；,(4)用(s-s1)去除P(s)，得到商Q(s)、余數(shù)R1 ；,(5)用(s-

9、s1)去除Q(s)，得到余數(shù)R2 ；,(6)計算s2 =s1-R1/R2 ；,(7)將s2 作為新的試探點重復(fù)步驟(4)(6)。,例4:試用牛頓余數(shù)定理法確定例3的分離點。,解：,因- 3, -2內(nèi)必有分離點，所以選s1=-2.5。,所以，分離點為-2.47。,解：,實軸上根軌跡區(qū)間是：(-,-5 - 1, 0,顯然，分離點為-0.4725，而-3.5275不是分離點。,閉環(huán)特征方程為：,(舍去),(1)極值法,因- 1, 0內(nèi)必有分離點，所以選s1=-0.5。,所以，分離點為-0.472。,(2)牛頓余數(shù)定理法,法則6. 根軌跡的起始角和終止角,起始(出射)角pi ： 起始于開環(huán)復(fù)數(shù)極點的根

10、軌跡在起點處的切線與正實軸的夾角。,終止(入射)角j zi： 終止于開環(huán)復(fù)數(shù)零點的根軌跡在終點處的切線與正實軸的夾角。,例6:如圖，試確定根軌跡離開復(fù)數(shù)共軛極點的起始角。 p1=-1+j1，p2=-1-j1，p3=0，p4=-3，z1=-2,根據(jù)對稱性，可知 p2點的起始角為：,注意： 相角要注意符號：逆時針為正，順時針為負； 注意矢量的方向。,解：,tanj 1=1,j 1=45,2=90,3=135,tan4=0.5,4=26.6,取k=0(考慮到周期性)： p1= -26.6,p2 = -p1= 26.6,例7例4-3系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)如下，試繪制該系統(tǒng)概略根軌跡。,3.漸近線：,解：,2

11、.實軸上的根軌跡：,1.開環(huán)零極點：,n-m=1，只有一條180o漸近線。,(，-2.5 -1.5，0,起始角：,4.起始角和終止角：,終止角：,概略根軌跡圖,法則7. 根軌跡與虛軸的交點,根軌跡和虛軸相交時，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。則閉環(huán)特征方程至少有一對純虛根，這時的增益稱為臨界根軌跡增益。,交點和臨界根軌跡增益的求法： (1)由勞斯穩(wěn)定判據(jù)求解； (2)令s=jw，代入閉環(huán)特征方程中，使實、虛部分別為零，求出w 和K*。,解： 方法一,K*=0 w =0 舍去(根軌跡的起點),與虛軸的交點:,閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為：,s=jw,方法二：用勞斯穩(wěn)定判據(jù)確定交點的值。,勞斯表：,s2的輔助方程：

12、,K* =30,當s1行等于0時，特征方程可能出現(xiàn)純虛根。,即,法則8. 根之和,當n-m2時：,對于任意的K* 閉環(huán)極點之和等于開環(huán)極點之和為常數(shù)。,表明： 當K*變化時，部分閉環(huán)極點在復(fù)平面上向右移動(變大)，則另一些極點必然向左移動(變小)。 該規(guī)則的作用： (1)定性判斷根軌跡的走向； (2)已知幾個閉環(huán)根可以求出其他一個或兩個根。,小結(jié),需掌握繪制根軌跡的8個準則 根軌跡的起點和終點； 根軌跡的分支數(shù)、對稱性和連續(xù)性； 實軸上根軌跡； 根軌跡的漸近線； 根軌跡的分離點與分離角； 根軌跡的起始角和終止角； 根軌跡與虛軸的交點； 根之和。,1.標注開環(huán)極點和零點(縱、橫坐標用相同的比例尺

13、)； 2.實軸上的根軌跡； 3.n-m條漸近線； 4.根軌跡的起始角和終止角； 5.根軌跡與虛軸的交點； 6.根軌跡的分離點； 結(jié)合根軌跡的連續(xù)性、對稱性、根軌跡的分支數(shù)、起始點和終點、根之和等性質(zhì)畫出根軌跡。,根軌跡作圖步驟,例9例4-4系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)如下，試繪制該系統(tǒng)概略根軌跡。,3.漸近線：,1.開環(huán)零極點：,2.實軸上的根軌跡：,解：,-3，0,4.分離點：,5.起始角：,6.與虛軸的交點：,勞斯表：,當s1行等于0時，特征方程可能出現(xiàn)純虛根。,即,K* =8.16,s2的輔助方程：,概略根軌跡圖,3.漸近線：,例10:開環(huán)傳遞函數(shù)為： ，試繪制該系統(tǒng)概略根軌跡。,4.起始角：,1.

14、開環(huán)零極點：,2.實軸上的根軌跡：,解：,(，0,5.與虛軸的交點：,特征方程：,s=j,概略根軌跡圖,開環(huán)極點、零點分布及其相應(yīng)的根軌跡,二、閉環(huán)極點的確定,上面繪制根軌跡的基本原則，可以簡便地繪制系統(tǒng)根軌跡的大致圖形。為了得到準確的根軌跡曲線，必要時可以選取若干個試驗點，用相角條件去檢驗。 方法： 根據(jù)模值條件先用試探法確定實數(shù)閉環(huán)極點的數(shù)值； 用綜合除法得到其余閉環(huán)極點。,4.3 廣義根軌跡,-以非開環(huán)增益為可變參數(shù)繪制的根軌跡,一、參數(shù)根軌跡,在控制系統(tǒng)中，除根軌跡增益K*以外，其它情形下的根軌跡統(tǒng)稱為廣義根軌跡。,閉環(huán)特征方程：,變換,當系統(tǒng)有兩個參數(shù)變化時，所繪出的根軌跡稱謂根軌跡

15、簇。,等效開環(huán)傳遞函數(shù)：,利用此式畫出的根軌跡，就是以參數(shù)A為變量的參數(shù)根軌跡。,列出系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程； 以特征方程中不含參變量的各項除特征方程，得等效的系統(tǒng)根軌跡方程。該參數(shù)稱為等效系統(tǒng)的根軌跡增益； 用已知的方法繪制等效系統(tǒng)的根軌跡，即為原系統(tǒng)的參數(shù)根軌跡。,繪制參數(shù)根軌跡的步驟,解：,例1:繪制如下系統(tǒng)以a為參數(shù)的根軌跡。,閉環(huán)特征方程為：,等效的開環(huán)傳遞函數(shù)為：,1.開環(huán)零極點：,2.實軸上的根軌跡：(，0,3.漸近線：,4.分離點：,5.起始角：,例2:設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下，其中開環(huán)增益可自行選定。試分析時間常數(shù)Ta 對系統(tǒng)性能的影響。,解：,閉環(huán)特征方程為：,等效開環(huán)

16、極點：,選定不同K值，然后將G1(s)的零、極點畫在 s 平面上，再令Ta=0 繪制出Ta變化時的參數(shù)根軌跡。,等效的開環(huán)傳遞函數(shù)為：,參數(shù)根軌跡簇,二、附加開環(huán)零、極點的作用,根軌跡的形狀、位置完全取決于系統(tǒng)的開環(huán)零、極點，因此可以通過增加開環(huán)零、極點來改造根軌跡，從而實現(xiàn)改善系統(tǒng)的目的。,1.增加開環(huán)極點,一般說，在s左半平面增加極點，對根軌跡的影響： (1)改變根軌跡在實軸上的分布； (2)改變根軌跡漸近線的條數(shù)、傾角； (3)改變根軌跡的分支數(shù)； (4)促使根軌跡右移，降低系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性。,實例,(1)增加一個實數(shù)極點,軌跡向右彎曲，極點對系統(tǒng)穩(wěn)定不利，極點越靠近虛軸影響越大。,穩(wěn)定

17、,K*小時穩(wěn)定 K*大時可能不穩(wěn)定,(2)增加一對共軛復(fù)數(shù)極點,2.增加開環(huán)零點,增加開環(huán)零點對根軌跡的影響： (1)改變根軌跡在實軸上的分布； (2)改變根軌跡漸近線的條數(shù)、傾角； (3)若增加的開環(huán)零點和某個極點重合或距離很近， 構(gòu)成開環(huán)偶極子，則兩者相互抵消 (因此，可加入一個零點來抵消有損于系統(tǒng)性能的極點) ； (4)促使根軌跡左移，系統(tǒng)的穩(wěn)定性增強。,(1)增加一個實數(shù)零點,增加的零點使根軌跡左偏，對系統(tǒng)穩(wěn)定有利。,實例,(2)增加一對軛復(fù)數(shù)零點,三、零度根軌跡,常規(guī)根軌跡的相角條件：,(2k+1)p=180o+2kp,-180o根軌跡,零度根軌跡的相角條件：,2kp=0o+2kp,

18、零度根軌跡的來源： 1.非最小相位系統(tǒng)(系統(tǒng)在s平面的右半側(cè)有開環(huán)零極點)中包含s最高次冪的系數(shù)為負的因子； 2.控制系統(tǒng)中包含有正反饋內(nèi)回路。,負反饋系統(tǒng)根軌跡稱為180o根軌跡或簡稱為根軌跡； 正反饋系統(tǒng)根軌跡稱為0o根軌跡。,因此：,零度根軌跡的繪制,閉環(huán)傳遞函數(shù)：,根軌跡方程：,模值條件：,相角條件：,繪制0度根軌跡的法則(修改的法則),1.實軸上的根軌跡：,2.漸近線的夾角：,3.起始角和終止角：,起始角：,終止角：,其右側(cè)實數(shù)開環(huán)零、極點個數(shù)之和為偶數(shù)(包括0)的區(qū)域。,例1:設(shè)單位正反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：,試繪制系統(tǒng)的根軌跡。,1.開環(huán)零極點：,解：,2.實軸上：,3.漸近線：,p1=0 p2=-1 p3=-5,-5，-1 0，+),4.分離點：,根軌跡圖,例2例4-6設(shè)具有正反饋回路系統(tǒng)的內(nèi)回路傳遞函數(shù)分別如下，試繪制該回路的根軌跡圖。,1.開環(huán)零極點：,解：,2.實軸上：,3.漸近線：,(-，-3，-2，+),4.分離點：,經(jīng)整理：,5.起始角：,根軌跡圖,6.確定臨界開環(huán)增益：,s=0時,比較正負反饋的根軌跡方程：,若開環(huán)傳遞函數(shù)為：,則正負反饋的根軌跡方程分別為：,可見，正反饋根軌跡相當于負反饋根軌跡的K*從0 -時的根軌跡。所以，可將正負反饋系統(tǒng)的根軌跡合并，得 -K*+ 時的整個區(qū)間的根軌跡。,正反饋(0度)根