1、目標(biāo)導(dǎo)航,新知探求,課堂探究,新知探求素養(yǎng)養(yǎng)成,【情境導(dǎo)學(xué)】 導(dǎo)入函數(shù)f(x)=x2-1,f(x)=- ,f(x)=2x的圖象分別如圖所示.,想一想 1:(1)導(dǎo)入中三個(gè)函數(shù)的定義域分別是什么?它們有什么共同特點(diǎn)?,(R;(-,0)(0,+);R.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)),(2)對(duì)于導(dǎo)入中的三個(gè)函數(shù)計(jì)算f(-x),觀察對(duì)定義域內(nèi)每個(gè)x,f(-x)與f(x)有怎樣的關(guān)系?,(f(-x)=x2-1,f(-x)=f(x). f(-x)= ,f(-x)=-f(x). f(-x)=-2x,f(-x)=-f(x),想一想 2:導(dǎo)入中的三個(gè)函數(shù)的圖象具有怎樣的對(duì)稱(chēng)性?,(圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng);圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)),知識(shí)探究

2、,奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義 (1)偶函數(shù):一般地,如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi) 一個(gè)x,都有 ,那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù). (2)奇函數(shù):一般地,如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi) 一個(gè)x,都有 ,那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù). 探究1:若函數(shù)具有奇偶性,則它的定義域有何特點(diǎn)? 答案:定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).,任意,f(-x)=f(x),任意,f(-x)=-f(x),探究2:若函數(shù)y=f(x)是奇函數(shù),且點(diǎn)(a,f(a)是y=f(x)圖象上一點(diǎn),點(diǎn)(-a,-f(a)是否在函數(shù)圖象上? 答案:由f(-a)=-f(a)知點(diǎn)(-a,-f(a)一定在函數(shù)y=f(x)圖象上.,【拓展延伸】 判斷函數(shù)奇偶性的方

3、法 (1)判斷函數(shù)的奇偶性,一般有以下幾種方法: 定義法:若函數(shù)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),則可判斷該函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù);若函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),再判斷f(-x)是否等于 f(x),或判斷f(x)f(-x)是否等于零,或判斷 f(-x)0是否等于1. 圖象法:通過(guò)函數(shù)的圖象可直觀地看出函數(shù)的奇偶性.,性質(zhì)法:偶函數(shù)的和、差、積、商(分母不為零)仍為偶函數(shù);奇函數(shù)的和、差仍為奇函數(shù);奇(偶)數(shù)個(gè)奇函數(shù)的積為奇(偶)函數(shù);兩個(gè)奇函數(shù)的商(分母不為零)為偶函數(shù);一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)的積為奇函數(shù). 對(duì)于復(fù)合函數(shù)F(x)=f(g(x): 若g(x)為偶函數(shù),f(x)為偶函數(shù),則F(x)為偶函

4、數(shù); 若g(x)為奇函數(shù),f(x)為奇函數(shù),則F(x)為奇函數(shù); 若g(x)為偶函數(shù),f(x)為奇函數(shù),則F(x)為偶函數(shù); 若g(x)為奇函數(shù),f(x)為偶函數(shù),則F(x)為偶函數(shù).,注意:利用上述結(jié)論時(shí)要注意各函數(shù)的定義域必須關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng). (2)用定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟: 定義域(關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng))驗(yàn)證f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)下結(jié)論. (3)判斷分段函數(shù)奇偶性的步驟: 先看分段函數(shù)的定義域(各段自變量范圍的并集)是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng). 根據(jù)奇偶性定義,要判斷f(-x)與f(x)的關(guān)系,需求出f(-x),因此要判斷-x的取值范圍,所以要根據(jù)x0與x0時(shí),f(-x)要用-x0的

5、解析式. 奇函數(shù)的定義要求是對(duì)定義域內(nèi)的任意x都有f(-x)=-f(x),此處對(duì)x分x0與x0已討論完畢.,自我檢測(cè),1.(偶函數(shù)定義)已知f(x)=ax2+bx是定義在a-1,3a上的偶函數(shù),那么a+ b的值是( ),C,2.(奇函數(shù)定義)已知f(x)=x3+2x,則f(a)+f(-a)的值是( ) (A)0 (B)-1 (C)1 (D)2,A,3.(偶函數(shù)定義)f(x)為定義在R上的偶函數(shù),若f(2)=3,則f(-2)等于( ) (A)-3 (B)-2 (C)3 (D)2,C,4.(判斷奇偶性)若函數(shù)f(x)= 則f(x)為( ) (A)偶函數(shù) (B)奇函數(shù) (C)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) (

6、D)既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù),5.(由奇偶性求參數(shù))若函數(shù)f(x)= +k是奇函數(shù),則k等于.,B,答案:0,題型一,函數(shù)奇偶性的判定,課堂探究素養(yǎng)提升,規(guī)范解答:(1)函數(shù)的定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng). 1分 又f(-x)=(-x)3+(-x)=-(x3+x)=-f(x),2分 因此函數(shù)f(x)是奇函數(shù). 3分,【例1】 判斷下列函數(shù)的奇偶性: (1)f(x)=x3+x;,規(guī)范解答:(2)由 得x2=1,即x=1. 因此函數(shù)的定義域?yàn)?1,1,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng). 4分 又f(1)=f(-1)=-f(-1)=0,所以f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù). 6分,(3)函數(shù)f(x)的定義域是(-,-1)(-1

7、,+), 7分 不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),所以f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù). 9分,方法技巧 判斷函數(shù)奇偶性的方法 (1)函數(shù)圖象法. (2)定義法:求函數(shù)f(x)的定義域; 判斷函數(shù)f(x)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),若不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),則該函數(shù)既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù),若關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),則進(jìn)行下一步; 結(jié)合函數(shù)f(x)的定義域,化簡(jiǎn)函數(shù)f(x)的解析式; 求f(-x); 根據(jù)f(-x)與f(x)之間的關(guān)系,判斷函數(shù)f(x)的奇偶性:奇函數(shù),偶函數(shù),既奇又偶函數(shù),非奇非偶函數(shù);其中既奇又偶函數(shù)的表達(dá)式是f(x)=0,xA,A是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的非空數(shù)集.,解:(1)因?yàn)閷?duì)于任意的xR,都有f(-x)=(-

8、x)4-1=x4-1=f(x),所以函數(shù)f(x)=x4-1是偶函數(shù).,解:(3)函數(shù)f(x)=2|x|的定義域是R.因?yàn)閷?duì)于任意的xR,都有f(-x) =2|-x|=2|x|=f(x),所以函數(shù)f(x)=2|x|是偶函數(shù). (4)函數(shù)f(x)=(x-1)2的定義域是R. 因?yàn)閒(-x)=(-x-1)2=(x+1)2f(x)且f(-x)-f(x). 所以函數(shù)f(x)是非奇非偶函數(shù).,(3)f(x)=2|x|; (4)f(x)=(x-1)2.,題型二,函數(shù)奇偶性的圖象特征,【例2】 已知奇函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?5,5,且在區(qū)間0,5上的圖象如圖所示. (1)畫(huà)出在區(qū)間-5,0上的圖象;,(2)寫(xiě)

9、出使f(x)0的x的取值集合.,解:(2)由圖象知,使函數(shù)值y0的x的取值集合為(-2,0)(2,5).,方法技巧 (1)奇函數(shù)與偶函數(shù)的圖象的特點(diǎn) 偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng),反之,若f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng),則f(x)為偶函數(shù). 奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),反之,若f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),則f(x)為奇函數(shù). (2)根據(jù)奇偶函數(shù)在原點(diǎn)一側(cè)的圖象求解與函數(shù)有關(guān)的值域、定義域、不等式問(wèn)題時(shí),應(yīng)根據(jù)奇偶函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性作出函數(shù)在定義域另一側(cè)的圖象,根據(jù)圖象特征求解問(wèn)題.,即時(shí)訓(xùn)練2-1:如果奇函數(shù)f(x)在區(qū)間3,7上是增函數(shù)且最小值是5,則f(x)在-7,-3上是() (A)增函數(shù),最小值為

10、-5(B)增函數(shù),最大值是-5 (C)減函數(shù),最小值為-5(D)減函數(shù),最大值是-5,解析:由奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)(如圖)可知:f(x)在-7,-3上單調(diào)遞增,且f(x)max=f(-3)=-f(3)=-5.故選B.,【備用例2】 (2018永州高一期中)已知f(x+1)是偶函數(shù),且f(x)在1,+)上單調(diào)遞減,若f(2)=0,則f(x)0的解集為() (A)(-1,1)(B)(0,1) (C)(1,2)(D)(0,2),解析:因?yàn)閒(x+1)在R上是偶函數(shù), 所以f(-x+1)=f(x+1),則函數(shù)f(x)關(guān)于直線(xiàn)x=1對(duì)稱(chēng), 因?yàn)閒(x)在1,+)上單調(diào)遞減,且f(2)=0, 所以f(

11、x)在(-,1上單調(diào)遞增,f(0)=0, 畫(huà)出函數(shù)的示意圖.由圖得,f(x)0的解集是(0,2),故選D.,題型三,利用函數(shù)奇偶性求參數(shù),【例3】 (1)設(shè)函數(shù)f(x)= 為奇函數(shù),則a=;,答案:(1)-1,(2)已知函數(shù)f(x)= 是奇函數(shù),則a=.,解析:(2)(特值法)由f(x)為奇函數(shù),得f(-1)=-f(1), 即a(-1)2+(-1)=-(-12+1), 整理得a-1=0, 解得a=1. 答案:(2)1,變式探究:是否存在實(shí)數(shù)a使函數(shù)f(x)= 為偶函數(shù),說(shuō)明理由.,誤區(qū)警示 由函數(shù)的奇偶性求參數(shù)應(yīng)注意兩點(diǎn) (1)函數(shù)奇偶性的定義既是判斷函數(shù)的奇偶性的一種方法,也是在已知函數(shù)奇偶性時(shí)可以運(yùn)用的一個(gè)性質(zhì),要注意函數(shù)奇偶性定義的正用和逆用. (2)利用常見(jiàn)函數(shù)如一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)具有奇偶性的條件也可求得參數(shù).,【備用例3】 已知函數(shù)f(x)=mx2+nx+3m+n是偶函數(shù),且其定義域?yàn)閙-1,2m. (1)求m,n的值.,解:(1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=mx2+nx+3m+n是偶函數(shù), 所以函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng). 又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的定義域?yàn)閙-1,2m. 所以m-1+2m=0,解得m= . 又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是偶函數(shù), 所以f(-x)=mx2-nx+3m+n=f(x)=m