1、第二章 隨機變量及其分布1、解：設(shè)公司賠付金額為，則X的可能值為；投保一年內(nèi)因意外死亡：20萬，概率為0.0002投保一年內(nèi)因其他原因死亡：5萬，概率為0.0010投保一年內(nèi)沒有死亡：0，概率為1-0.0002-0.0010=0.9988所以的分布律為：2050P0.00020.00100.99882、一袋中有5只乒乓球，編號為1、2、3、4、5，在其中同時取三只，以X表示取出的三只球中的最大號碼，寫出隨機變量X的分布律解：X可以取值3，4，5，分布律為 也可列為下表X： 3， 4，5P：3、設(shè)在15只同類型零件中有2只是次品，在其中取三次，每次任取一只，作不放回抽樣，以X表示取出次品的只數(shù)，

2、（1）求X的分布律，（2）畫出分布律的圖形.解：任取三只，其中新含次品個數(shù)X可能為0，1，2個.Px12O再列為下表X： 0， 1， 2P： 4、進(jìn)行重復(fù)獨立實驗，設(shè)每次成功的概率為p，失敗的概率為q =1p(0pY)=P (X=1, Y=0)+P (X=2, Y=0)+P (X=2, Y=1)+ P (X=3) P (Y=0)+ P (X=3) P (Y=1)+ P (X=3) P (Y=2)=P (X=1) P (Y=0) + P (X=2, Y=0)+ P (X=2, Y=1)+ P (X=3) P (Y=0)+ P (X=3) P (Y=1)+ P (X=3) P (Y=2)= 9、有

3、一大批產(chǎn)品，其驗收方案如下，先做第一次檢驗：從中任取10件，經(jīng)驗收無次品接受這批產(chǎn)品，次品數(shù)大于2拒收；否則作第二次檢驗，其做法是從中再任取5件，僅當(dāng)5件中無次品時接受這批產(chǎn)品，若產(chǎn)品的次品率為10%，求（1）這批產(chǎn)品經(jīng)第一次檢驗就能接受的概率（2）需作第二次檢驗的概率（3）這批產(chǎn)品按第2次檢驗的標(biāo)準(zhǔn)被接受的概率（4）這批產(chǎn)品在第1次檢驗未能做決定且第二次檢驗時被通過的概率（5）這批產(chǎn)品被接受的概率解：X表示10件中次品的個數(shù)，Y表示5件中次品的個數(shù)， 由于產(chǎn)品總數(shù)很大，故XB（10，0.1），YB（5，0.1）（近似服從）（1）P X=0=0.9100.349（2）P X2=P X=2+ P

4、 X=1=（3）P Y=0=0.9 50.590（4）P 0X2，Y=0(0X2與 Y=2獨立) = P 0X2P Y=0 =0.5810.5900.343（5）P X=0+ P 0X2，Y=0 0.349+0.343=0.69210、有甲、乙兩種味道和顏色極為相似的名酒各4杯.如果從中挑4杯，能將甲種酒全部挑出來，算是試驗成功一次.（1）某人隨機地去猜，問他試驗成功一次的概率是多少？（2）某人聲稱他通過品嘗能區(qū)分兩種酒.他連續(xù)試驗10次，成功3次.試問他是猜對的，還是他確有區(qū)分的能力（設(shè)各次試驗是相互獨立的.）解：（1）P (一次成功)=（2）P (連續(xù)試驗10次，成功3次)= .此概率太小

5、，按實際推斷原理，就認(rèn)為他確有區(qū)分能力.11. 盡管在幾何教科書中已經(jīng)講過用圓規(guī)和直尺三等分一個任意角是不可能的.但每年總有一些“發(fā)明者”撰寫關(guān)于用圓規(guī)和直尺將角三等分的文章.設(shè)某地區(qū)每年撰寫此類文章的篇數(shù)X服從參數(shù)為6的泊松分布.求明年沒有此類文章的概率.解： 12. 一電話交換臺每分鐘收到呼喚的次數(shù)服從參數(shù)為4的泊松分布.求（1）每分鐘恰有8次呼喚的概率.（2）某一分鐘的呼喚次數(shù)大于3的概率. （1） （2）13. 某一公安局在長度為t的時間間隔內(nèi)收到的緊急呼救的次數(shù)X服從參數(shù)為（1/2）t的泊松分布，而與時間間隔的起點無關(guān)（時間以小時計）.（1）求某一天中午12時至下午3時沒有收到緊急呼

6、救的概率.（2）求某一天中午12時至下午5時至少收到1次緊急呼救的概率.解： 14、解：（1）、分鐘時小時，（2）、故（小時）所以（分鐘）15、解：16、解：17、解：設(shè)服從分布，其分布率為，求的分布函數(shù)，并作出其圖形.解一： 01 的分布函數(shù)為：18在區(qū)間上任意投擲一個質(zhì)點，以表示這個質(zhì)點的坐標(biāo).設(shè)這個質(zhì)點落在中任意小區(qū)間內(nèi)的概率與這個小區(qū)間的長度成正比例，試求的分布函數(shù).解： 當(dāng)時.是不可能事件， 當(dāng)時， 而 是必然事件 則 當(dāng)時，是必然事件，有19、以X表示某商店從早晨開始營業(yè)起直到第一顧客到達(dá)的等待時間（以分計），X的分布函數(shù)是求下述概率：（1）P至多3分鐘；（2）P 至少4分鐘；（3

7、）P3分鐘至4分鐘之間；（4）P至多3分鐘或至少4分鐘；（5）P恰好2.5分鐘解：（1）P至多3分鐘= P X3 = （2）P 至少4分鐘 P (X 4) = （3）P3分鐘至4分鐘之間= P 3X4= （4）P至多3分鐘或至少4分鐘= P至多3分鐘+P至少4分鐘 = （5）P恰好2.5分鐘= P (X=2.5)=020、設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)為，求（1）P (X2), P 0X3, P (2X)；（2）求概率密度fX (x).解：（1）P (X2)=FX (2)= ln2， P (0X3)= FX (3)FX (0)=1，（2）21、設(shè)隨機變量的概率密度為（1）（2）求X的分布函數(shù)F (x)

8、，并作出（2）中的f (x)與F (x)的圖形.解：（1）當(dāng)1x1時：當(dāng)1x時：故分布函數(shù)為：解：（2）故分布函數(shù)為（2）中的f (x)與F (x)的圖形如下f (x)x0F (x)21x01222、由統(tǒng)計物理學(xué)知，分子運動速度的絕對值服從邁克斯韋爾(Maxwell)分布，其概率密度為其中，為Boltzmann常數(shù)，為絕對溫度，是分子的質(zhì)量.試確定常數(shù).解: 即 當(dāng)時， 當(dāng)時， 或23、某種型號的電子的壽命X（以小時計）具有以下的概率密度： 現(xiàn)有一大批此種管子（設(shè)各電子管損壞與否相互獨立）.任取5只，問其中至少有2只壽命大于1500小時的概率是多少？解：一個電子管壽命大于1500小時的概率為令

9、Y表示“任取5只此種電子管中壽命大于1500小時的個數(shù)”.則，24、設(shè)顧客在某銀行的窗口等待服務(wù)的時間X（以分計）服從指數(shù)分布，其概率密度為：某顧客在窗口等待服務(wù)，若超過10分鐘他就離開.他一個月要到銀行5次.以Y表示一個月內(nèi)他未等到服務(wù)而離開窗口的次數(shù)，寫出Y的分布律.并求P（Y1）.解：該顧客“一次等待服務(wù)未成而離去”的概率為因此 25、設(shè)K在（0，5）上服從均勻分布，求方程有實根的概率 K的分布密度為：要方程有根，就是要K滿足(4K)244 (K+2)0.解不等式，得K2時，方程有實根.26、設(shè)XN（3.22）（1）求P (2X5)，P (4)2，P (X3)若XN（，2），則P (X)

10、=P (2X5) =(1)(0.5) =0.84130.3085=0.5328P (42)=1P (|X|2)= 1P (2 P3)=1P (X3)=1=10.5=0.5（2）決定C使得P (X C )=P (XC)P (X C )=1P (XC )= P (XC)得P (XC )=0.5又P (XC )= C =327、某地區(qū)18歲的女青年的血壓（收縮區(qū)，以mm-Hg計）服從在該地區(qū)任選一18歲女青年，測量她的血壓X.求（1）P (X105)，P (100x) 0.05.解:28、由某機器生產(chǎn)的螺栓長度（cm）服從參數(shù)為=10.05，=0.06的正態(tài)分布.規(guī)定長度在范圍10.050.12內(nèi)為

11、合格品，求一螺栓為不合格的概率是多少？設(shè)螺栓長度為XPX不屬于(10.050.12, 10.05+0.12) =1P (10.050.12X10.05+0.12) =1 =1(2)(2) =10.97720.0228 =0.045629、一工廠生產(chǎn)的電子管的壽命X（以小時計）服從參數(shù)為=160，(未知)的正態(tài)分布，若要求P (120X200=0.80，允許最大為多少？ P (120X200)=又對標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布有(x)=1(x) 上式變?yōu)?解出 再查表，得30、解：31、解：32、解：所以為概率密度函數(shù)33、設(shè)隨機變量X的分布律為： X：2， 1， 0，1，3P：， ， ， ，求Y=X 2的分布

12、律 Y=X 2：(2)2 (1)2(0)2(1)2(3)2 P： 再把X 2的取值相同的合并，并按從小到大排列，就得函數(shù)Y的分布律為： Y： 0 1 4 9 P： 34、設(shè)隨機變量X在（0，1）上服從均勻分布（1）求Y=eX的分布密度 X的分布密度為：Y=g (X) =eX是單調(diào)增函數(shù)又X=h (Y)=lnY，反函數(shù)存在且 = ming (0), g (1)=min(1, e)=1 maxg (0), g (1)=max(1, e)= e Y的分布密度為：（2）求Y=2lnX的概率密度. Y= g (X)=2lnX是單調(diào)減函數(shù)又 反函數(shù)存在.且 = ming (0), g (1)=min(+,

13、 0 )=0 =maxg (0), g (1)=max(+, 0 )= + Y的分布密度為：35、設(shè)XN（0，1）（1）求Y=eX的概率密度 X的概率密度是 Y= g (X)=eX是單調(diào)增函數(shù)又X= h (Y ) = lnY 反函數(shù)存在且 = ming (), g (+)=min(0, +)=0 = maxg (), g (+)= max(0, +)= + Y的分布密度為：（2）求Y=2X2+1的概率密度.在這里，Y=2X2+1在(+，)不是單調(diào)函數(shù)，沒有一般的結(jié)論可用.設(shè)Y的分布函數(shù)是FY（y），則FY ( y)=P (Yy)=P (2X2+1y) =當(dāng)y1時，( y)= FY ( y) =

14、 =（3）求Y=| X |的概率密度.Y的分布函數(shù)為 FY ( y)=P (Yy )=P ( | X |y)當(dāng)y0時：( y)= FY ( y) =36、（1）設(shè)隨機變量X的概率密度為f (x)，求Y = X 3的概率密度.Y=g (X )= X 3是X單調(diào)增函數(shù)，又X=h (Y ) =，反函數(shù)存在，且 = ming (), g (+)=min(0, +)= = maxg (), g (+)= max(0, +)= + Y的分布密度為： ( y)= f h ( h )| h ( y)| = （2）設(shè)隨機變量X服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，求Y=X 2的概率密度.xOy=x2y法一： X的分布密度為：

15、 Y=x2是非單調(diào)函數(shù)當(dāng) x0時 y=x2 反函數(shù)是當(dāng) x0時 y=x2 & Y fY (y) = =法二： Y fY (y) =37、設(shè)X的概率密度為求Y=sin X的概率密度.FY ( y)=P (Yy) = P (sinXy)當(dāng)y0時：FY ( y)=0當(dāng)0y1時：FY ( y) = P (sinXy) = P (0Xarc sin y或arc sin yX) =當(dāng)1y時：FY ( y)=1 Y的概率密度( y )為：y0時，( y )= FY ( y) = (0 ) = 00y1時，( y )= FY ( y) = =1y時，( y )= FY ( y) = = 038、設(shè)電流是一個隨機變量，它均勻分布在9安11安之間.若此電流通過2歐的電阻，在其上消耗求的概率密度