1、第4講 第1課時(shí),不等式選講 不等式的證明,1.常用的證明不等式的方法,(1)比較法：比較法包括作差比較法和作商比較法.,(2)綜合法：利用某些已經(jīng)證明過(guò)的不等式(例如算術(shù)平均數(shù) 與幾何平均數(shù)的定理)和不等式的性質(zhì)，推導(dǎo)出所要證明的不等 式.,(3)分析法：證明不等式時(shí)，有時(shí)可以從求證的不等式出發(fā)， 分析使這個(gè)不等式成立的充分條件，把證明不等式轉(zhuǎn)化為判定 這些充分條件是否具備的問(wèn)題，如果能夠肯定這些充分條件都 已具備，那么就可以斷定原不等式成立.,(4)反證法：可以從正難則反的角度考慮，即要證明不等式 AB，先假設(shè) AB，由題設(shè)及其他性質(zhì)，推出矛盾，從而肯定 AB.凡涉及的證明不等式為否定命題

2、、唯一性命題或含有“至 多”“至少”“不存在”“不可能”等詞語(yǔ)時(shí)，都可以考慮用 反證法.,(5)放縮法：要證明不等式 AB 成立，借助一個(gè)或多個(gè)中間,變量通過(guò)適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小達(dá)到證明不等式的方法.,2.絕對(duì)值不等式,(1)含絕對(duì)值不等式的解法：,設(shè) a0，|f(x)|af(x)a. (2)理解絕對(duì)值的幾何意義： |a|b|ab|a|b|.,A,2.已知 x，yR，滿(mǎn)足 x22xy4y26，則 zx24y2 的最,小值為_(kāi).,4,的最大值為_(kāi).,考點(diǎn) 1,比較法證明不等式,例 1：已知ab0，求證：2a3b32ab2a2b.,證明：2a3b3(2ab2a2b) (2a32ab2)(a2bb3)

3、2a(a2b2)b(a2b2) (a2b2)(2ab)(ab)(ab)(2ab)， 又ab0，ab0，ab0,2ab0. (ab)(ab)(2ab)0. 2a3b3(2ab2a2b)0. 2a3b32ab2a2b.,【規(guī)律方法】比較法證不等式的步驟可歸納為：,作差并化簡(jiǎn)，其化簡(jiǎn)目標(biāo)應(yīng)是 n 個(gè)因式之積或完全平方,式或常數(shù)的形式；,判斷差值與零的大小關(guān)系，必要時(shí)需進(jìn)行討論； 得出結(jié)論.,例 2：已知正數(shù) a，b，求證：aabbabba.,思路點(diǎn)撥：根據(jù)同底數(shù)冪的運(yùn)算法則，可考慮作商比較法.,【規(guī)律方法】(1)由于所證不等式對(duì)于 a，b 具有輪換對(duì)稱(chēng) 性，故不妨設(shè) ab0，這樣處理既不影響結(jié)果，又

4、可避免后面 的討論，尤其是有三個(gè)或三個(gè)以上的字母，分類(lèi)討論不太可能， 這種方法顯得更加便利.,(2)比較法的關(guān)鍵是第二步的變形，一般說(shuō)來(lái)，變形越徹底，,對(duì)下一步的判斷就越有利.,考點(diǎn) 2,綜合法證明不等式,例 3：(2017 年新課標(biāo))已知 a0，b0，a3b32. 證明：(1) (ab)(a5b5)4； (2)ab2.,證明：(1)(ab)(a5b5)a6ab5a5bb6 (a3b3)22a3b3ab(a4b4) 4ab(a2b2)24. 當(dāng)且僅當(dāng)ab1時(shí)，等號(hào)成立.,(2)因?yàn)?ab)3a33a2b3ab2b3,23ab(ab)2,3(ab)2 4,(ab)2,3(ab)3 4,.,所以(

5、ab)38，因此 ab2. 當(dāng)且僅當(dāng) ab1 時(shí)，等號(hào)成立. 【規(guī)律方法】綜合法：利用某些已經(jīng)證明過(guò)的不等式和不 等式的性質(zhì)時(shí)要注意它們各自成立的條件.綜合法證明不等式 的邏輯關(guān)系是：AB1B2BnB，及從已知條件 A 出發(fā)， 逐步推演不等式成立的必要條件，推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論 B.,【互動(dòng)探究】,1.(2017 年江蘇)已知 a，b，c，d 為實(shí)數(shù)，且 a2b24，c2,d216，證明：acbd8. 證明：由柯西不等式可得：,2.(2017 年廣東調(diào)研)已知函數(shù) f(x)|2x1|.,考點(diǎn) 3,分析法證明不等式,例 4：(2017 年廣東廣州二模)(1)已知 abc1，,(2)若對(duì)任意實(shí)數(shù)

6、x，不等式|xa|2x1|2 恒成立，求 實(shí)數(shù) a 的取值范圍. (1)證明：因?yàn)?abc1， 所以(a1)2(b1)2(c1)2 a2b2c22(abc)3a2b2c25.,于“f( x)min2”.,(2)解：設(shè) f(x)|xa|2x1|， 則“對(duì)任意實(shí)數(shù) x，不等式|xa|2x1|2 恒成立”等價(jià),【規(guī)律方法】分析法證明不等式，就是“執(zhí)果索因”，從所 證的不等式出發(fā)，不斷用充分條件代替前面的不等式，直至使 不等式成立的條件已具備，就斷定原不等式成立.當(dāng)證題不知從 何入手時(shí)，有時(shí)可以運(yùn)用分析法而獲得解決，特別對(duì)于條件簡(jiǎn) 單而結(jié)論復(fù)雜的題目往往是行之有效的方法.,用分析法論證“若 A，則 B”這個(gè)命題的模式是：欲證命 題 B 為真，只需證明命題 B1 為真，從而又只需證明命題 B2 為 真，從而又只需證明命題 A 為真，今已知A 真，故 B 必真. 簡(jiǎn)寫(xiě)為：BB1B2BnA.,【互動(dòng)探究】,證明：要證的不等式，即為,即證 1cos cos sin sin 2cos cos ， 只需證 1cos()， ，結(jié)論顯然成立. 故原不等式成立.,考點(diǎn) 4,反證法證明不等式,易錯(cuò)、易混、易漏 放縮法證明不等式中正確把握放縮的度,【失誤與防范】(1)在利用放縮法解題時(shí)，一定要注意經(jīng)過(guò) 放縮后的結(jié)果要盡量接近結(jié)論并且有利于運(yùn)算； (2)在利用放縮法解題