1、文數(shù) 課標(biāo)版,第四節(jié)函數(shù)y=Asin(x+)的圖象及應(yīng)用,1.用“五點(diǎn)法”畫(huà)y=Asin(x+)(A,0)在一個(gè)周期內(nèi)的簡(jiǎn)圖 用五點(diǎn)法畫(huà)y=Asin(x+)(A,0)在一個(gè)周期內(nèi)的簡(jiǎn)圖時(shí),一般先列表,后描點(diǎn),連線(xiàn),其中所列表如下:,教材研讀,2.由函數(shù)y=sin x的圖象通過(guò)變換得到y(tǒng)=Asin(x+)(A0,0,0)的圖象的步驟,3.函數(shù)y=Asin(x+)(A0,0,x0,+)的物理意義 (1)振幅為A. (2)周期T=. (3)頻率f=. (4)相位是x+. (5)初相是. 注:本節(jié)關(guān)于函數(shù)y=Asin(x+)的一些方法與結(jié)論可類(lèi)比推理到y(tǒng)=Acos(x+)及y=Atan(x+).,判斷

2、下列結(jié)論的正誤(正確的打“”,錯(cuò)誤的打“”) (1)利用圖象變換作圖時(shí)“先平移,后伸縮”與“先伸縮,后平移”中平移的長(zhǎng)度一致.() (2)y=sin的圖象是由y=sin的圖象向右平移個(gè)單位得到 的.() (3)函數(shù)f(x)=Asin(x+)的圖象的兩條相鄰對(duì)稱(chēng)軸間的距離為一個(gè)周期.() (4)函數(shù)y=Acos(x+)的最小正周期為T(mén),那么函數(shù)圖象的兩個(gè)相鄰對(duì)稱(chēng)中心之間的距離為.(),1.y=2sin的振幅、頻率和初相分別為() A.2,-B.2,- C.2,-D.2,- 答案A由振幅、頻率和初相的定義可知,函數(shù)y=2sin的振幅 為2,頻率為,初相為-.,2.(2016課標(biāo)全國(guó),6,5分)將函

3、數(shù)y=2sin的圖象向右平移個(gè)周 期后,所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為() A.y=2sinB.y=2sin C.y=2sinD.y=2sin 答案D該函數(shù)的周期為,將其圖象向右平移個(gè)單位后,得到的圖 象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為y=2sin=2sin,故選D.,3.(2016四川,4,5分)為了得到函數(shù)y=sin的圖象,只需把函數(shù)y=sin x 的圖象上所有的點(diǎn)() A.向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度 B.向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度 C.向上平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度 D.向下平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度 答案A根據(jù)“左加右減”的原則可知,把函數(shù)y=sin x的圖象上所有的點(diǎn)向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度可得y=sin的圖象.故選A.,4.把y=sin

4、 x的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變)得 到y(tǒng)=sin x的圖象,則的值為. 答案 解析由題意得=.,5.已知函數(shù)f(x)=sin(x+)(0)的圖象如圖所示,則=. 答案 解析由題圖可知,=-=, 即T=,所以=, 故=.,6.用五點(diǎn)法作函數(shù)y=sin在一個(gè)周期內(nèi)的圖象時(shí),主要確定的五個(gè) 點(diǎn)是、. 答案; 解析分別令x-=0,2,即可得五個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)(縱坐標(biāo)分別為 0,1,0,-1,0).,考點(diǎn)一函數(shù)y=Asin(x+)的圖象及變換 典例1某同學(xué)用“五點(diǎn)法”畫(huà)函數(shù)f(x)=Asin(x+)在某 一個(gè)周期內(nèi)的圖象時(shí),列表并填入了部分?jǐn)?shù)據(jù),如下表:,考點(diǎn)突破,(1)請(qǐng)將上表數(shù)據(jù)補(bǔ)

5、充完整,并直接寫(xiě)出函數(shù)f(x)的解析式; (2)將y=f(x)圖象上所有點(diǎn)向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度,得到y(tǒng)=g(x)的圖 象,求y=g(x)的圖象離原點(diǎn)O最近的對(duì)稱(chēng)中心; (3)說(shuō)明函數(shù)f(x)的圖象是由y=sin x的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的變換得到的.,解析(1)根據(jù)表中已知數(shù)據(jù),解得A=5,=2,=-,數(shù)據(jù)補(bǔ)全如下表:,且函數(shù)解析式為f(x)=5sin. (2)由(1)知f(x)=5sin, 因此g(x)=5sin=5sin. 因?yàn)閥=sin x圖象的對(duì)稱(chēng)中心為(k,0),kZ, 則y=g(x)圖象的對(duì)稱(chēng)中心為,kZ, 其中離原點(diǎn)O最近的對(duì)稱(chēng)中心為.,1.由y=sin x到y(tǒng)=sin(x+)的變換:

6、向左平移(0,0)個(gè)單位長(zhǎng)度而 非個(gè)單位長(zhǎng)度.,易錯(cuò)警示,2.平移前后兩個(gè)函數(shù)的名稱(chēng)如果不一致,應(yīng)先利用誘導(dǎo)公式化為同名函數(shù),為負(fù)時(shí)應(yīng)先變成正值.,1-1(2016課標(biāo)全國(guó),7,5分)若將函數(shù)y=2sin 2x的圖象向左平移個(gè) 單位長(zhǎng)度,則平移后圖象的對(duì)稱(chēng)軸為() A.x=-(kZ)B.x=+(kZ) C.x=-(kZ)D.x=+(kZ) 答案B將函數(shù)y=2sin 2x的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)y= 2sin=2sin的圖象,由2x+=k+(kZ),可得x=+ (kZ).則平移后圖象的對(duì)稱(chēng)軸為x=+(kZ),故選B.,1-2(2016課標(biāo)全國(guó),14,5分)函數(shù)y=sin x-cos x的

7、圖象可由函數(shù)y= 2sin x的圖象至少向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到. 答案 解析函數(shù)y=sin x-cos x=2sin的圖象可由函數(shù)y=2sin x的圖象 至少向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到.,1-3函數(shù)y=cos(2x+)(-)的圖象向右平移個(gè)單位后,與函數(shù)y= sin的圖象重合,則=. 答案 解析將y=cos(2x+)的圖象向右平移個(gè)單位后得到y(tǒng)=cos 的圖象,化簡(jiǎn)得y=-cos(2x+),又可變形為y=sin. 由題意可知-=+2k(kZ),所以=+2k(kZ),結(jié)合-知, =.,答案A 解析由題圖可知A=2,=-=,則T=,所以=2,則y=2sin(2x+), 因?yàn)轭}圖經(jīng)過(guò)點(diǎn),所以2sin=2

8、,所以+=2k+,kZ, 即=2k-,kZ,當(dāng)k=0時(shí),=-, 所以y=2sin,故選A.,方法技巧 根據(jù)函數(shù)y=Asin(x+)+k(A0,0)的圖象求其解析式時(shí),主要從以下四個(gè)方面來(lái)考慮: (1)A的確定:根據(jù)圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn),即A=; (2)k的確定:根據(jù)圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn),即k=; (3)的確定:利用圖象先求出周期T,然后由T=(0)來(lái)確定; (4)的確定:由函數(shù)圖象的特殊點(diǎn)得到關(guān)于的方程,結(jié)合的范圍確定.,2-2已知函數(shù)f(x)=Acos(x+)的圖象如圖所示, f =-,則f=() A.-B.-C.D. 答案A由題圖知=-=, T=,即=3,考點(diǎn)三函數(shù)y=Asin(x+)的圖

9、象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用 典例3已知函數(shù)f(x)=Asin(x+)的最大值為2,最小 正周期為,直線(xiàn)x=是其圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸. (1)求函數(shù)f(x)的解析式; (2)求函數(shù)g(x)=f-f的單調(diào)遞增區(qū)間. 解析(1)由題意,得A=2,=2, 又直線(xiàn)x=是f(x)的圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸, 2sin=2, sin=1,+=k+(kZ), 解得=k+(kZ),又0,=. 故f(x)=2sin. (2)g(x)=2sin-2sin =2sin 2x-2sin =2sin 2x-2 =sin 2x-cos 2x =2sin.,令2k-2x-2k+,kZ, 得k-xk+,kZ. 所以函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是,k

10、Z.,規(guī)律總結(jié) 函數(shù)y=Asin(x+)(A0,0)的常用性質(zhì) (1)奇偶性:當(dāng)=k(kZ)時(shí),函數(shù)y=Asin(x+)為奇函數(shù);當(dāng)=k+(k Z)時(shí),函數(shù)y=Asin(x+)為偶函數(shù). (2)周期性:函數(shù)y=Asin(x+)(A0,0)具有周期性,其最小正周期為T(mén)=. (3)單調(diào)性:根據(jù)y=sin x的單調(diào)性來(lái)研究,由-+2kx+2k,kZ 得單調(diào)增區(qū)間;由+2kx+2k,kZ得單調(diào)減區(qū)間. (4)對(duì)稱(chēng)性:利用y=sin x的對(duì)稱(chēng)性來(lái)研究,由x+=k(kZ)求得對(duì)稱(chēng)中心的橫坐標(biāo);由x+=k+(kZ)得對(duì)稱(chēng)軸方程.,3-1已知函數(shù)f(x)=sin(x+)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x= 對(duì)稱(chēng),且圖象上相鄰兩

11、個(gè)最高點(diǎn)的距離為. (1)求和的值; (2)當(dāng)x時(shí),求函數(shù)y=f(x)的最大值和最小值. 解析(1)因?yàn)閒(x)的圖象上相鄰兩個(gè)最高點(diǎn)的距離為,所以f(x)的最小正周期T=,從而=2. 又因?yàn)閒(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=對(duì)稱(chēng), 所以2+=k+,kZ,故=k-,kZ, 由-得k=0,=-.,綜上,=2,=-. (2)由(1)知f(x)=sin, 當(dāng)x時(shí),-2x-, 當(dāng)2x-=,即x=時(shí), f(x)最大=; 當(dāng)2x-=-,即x=0時(shí), f(x)最小=-.,考點(diǎn)四三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用 典例4下圖為一個(gè)纜車(chē)的示意圖,該纜車(chē)半徑為4.8米,圓上最低點(diǎn)與地面距離為0.8米,且60秒轉(zhuǎn)動(dòng)一圈,圖中OA與地面

12、垂直,以O(shè)A為始邊,逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)角到OB,設(shè)B點(diǎn)與地面間的距離為h. (1)求h與間關(guān)系的函數(shù)解析式; (2)設(shè)從OA開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng),經(jīng)過(guò)t秒后到達(dá)OB,求h與t之間的函數(shù)關(guān)系式,并求纜車(chē)到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)用的最少時(shí)間.,解析(1)以圓心O為原點(diǎn),建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,則以O(shè)x為始邊,OB為終邊的角為-,故點(diǎn)B的坐標(biāo)為 , h=5.6+4.8sin.,(2)點(diǎn)A在圓上轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度是=弧度/秒,故t秒轉(zhuǎn)過(guò)的弧度數(shù)為 t, h=5.6+4.8sin,t0,+). 到達(dá)最高點(diǎn)時(shí),h=10.4米, 故sin=1,所以t-=+2k(kZ), tmin=30, 纜車(chē)到達(dá)最高點(diǎn)時(shí),用的最少時(shí)間為30秒.,方法技巧 解三角函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題的基本步驟,4-1某實(shí)驗(yàn)室一