1、第10章 單樣本顯著性檢驗,10.1 導(dǎo)論：平均數(shù)的抽樣分布,1. 如何比較抽樣分布的均數(shù)與樣本來自的總體均數(shù)？,2. 當增加抽樣分布的樣本量時，樣本平均數(shù)如何變化？,例1：大學(xué)生艾滋病知識問卷測試。設(shè)總體=50，=10。有多少大學(xué)生在40分到60分之間呢？,圖10-1a,隨機抽取一個大樣本，其個體分數(shù)的分布見圖10-1(a),如果抽取樣本量N=3的100個個樣本，計算每個樣本平均數(shù)，圖10-1b,如果抽取N=20的100個個樣本，計算每個樣本平均數(shù)，圖10-1c,樣本平均數(shù)與總體平均數(shù)相差較小,如果抽取樣本容量N=40的100個樣本，計算每個樣本平均數(shù)，圖10-1d,從總體抽取一個樣本的分布

2、,總面積的68%,=個體分數(shù)方差,樣本平均數(shù)的分布,總面積的68%,=樣本均數(shù)的方差,=樣本均數(shù)的標準差,樣本平均數(shù)的平均數(shù)的標準差，就稱為均數(shù)的標準誤(standard error of mean)，如果總體標準差已知，則標準誤：,10-1,如果總體標準差未知，則標準誤：,10-2,無論總體標準差已知還是未知，標準誤的大小取決于總體的變異與樣本大小。,標準誤=,=50 =2,總體中個體分數(shù),小樣本,大樣本,10.2 統(tǒng)計假設(shè)檢驗：已知總體均數(shù)和標準差,圖a, 知總體和，從中抽取大量樣本，見圖b,圖b,可以描述這些大量樣本的平均數(shù)和標準差，可用來確定正態(tài)曲線下的概率值。,圖c ,通過已知正態(tài)分

3、布的概率關(guān)系，可計算任意一個樣本的平均數(shù)有關(guān)的概率,10.2.1 樣本平均數(shù)落在特定區(qū)間的概率,如前述，任一正態(tài)變量都可轉(zhuǎn)化為標準正態(tài)分布，可根據(jù) z 分數(shù)與正態(tài)曲線下的面積關(guān)系求概率,換言之，任給一個原始分數(shù)，只要知道該分數(shù)之外的面積比例，就可以知道與此相應(yīng)的 z 值。,同理，任給一個樣本平均數(shù)，只要知道該平均數(shù)之外的面積比例，就可以知道與此相應(yīng)的 z 值,=2/2=1,P(z1）=0.1587,例2：已知=50，=10，從該總體隨機抽取一個N=25的樣本，問該 52的概率為多少？,P(48X52)=P(-1z1)=20.34=68%,10.2.2 樣本平均數(shù)的假設(shè)檢驗,例3 ：一所學(xué)校對四

4、個班的教學(xué)進行為期一年的計算機閱讀教學(xué)。已知測驗的常模為=250，=50，一年后進行測驗，從四個班隨機抽查100人， =263，試問傳統(tǒng)教學(xué)與計算機教學(xué)有無差異？,1. H0:=0=250 ，,2. H1:250,3. 統(tǒng)計檢驗：因為已知，所以使用 z 檢驗,4. 顯著性水平：=0.01 雙尾,5. 抽樣分布：正態(tài)概率曲線,6. 拒絕H0的臨界區(qū)間：| z |2.58,因為|z|2.58, 所以P0.01,拒絕H0，差異有統(tǒng)計學(xué)意義。所在四個班級平均分不同于250分的總體。犯錯誤的風(fēng)險為0.01。,例3 ：一所學(xué)校對四個班的教學(xué)進行為期一年的計算機閱讀教學(xué)。已知測驗的常模為=250，=50，一

5、年后進行測驗，從四個班隨機抽查100人， =263，試問傳統(tǒng)教學(xué)與計算機教學(xué)有無差異？,10.3 通過樣本數(shù)據(jù)進行參數(shù)估計點估計,人口普查中的資料可以獲得總體信息，多數(shù)情況不能獲得總體信息，盡管如此，我們?nèi)匀豢梢圆捎脴颖窘y(tǒng)計量推測總體參數(shù)。,實際工作中是抽取單一樣本，利用樣本統(tǒng)計量對總體進行的估計稱為點估計。,已知方差,用方差描述樣本的變異有沒有問題？,沒有問題,再問：用方差估計總體方差有沒有問題？,答：有問題，一般地，樣本方差估計總體方差是偏低的。,如果用大樣本估計總體方差，得到的是無偏估計：,2的無偏估計：,10-4,的無偏估計：,10-5,因此，平均數(shù)抽樣分布的總體方差估計值：,10-6

6、,平均數(shù)抽樣分布的標準誤：,10-7,或者,如果選擇有偏S2 而非無偏估計，常常采用：,10-8,行為科學(xué)常常采用公式10-8 ，我們遵循這一公式,表10-1 溫習(xí)平均數(shù)、方差和標準差的符號,S,標準差,S2,2,2,方差, ,0,平均數(shù),樣本統(tǒng)計量 (經(jīng)驗上的),總體參數(shù) (理論上的),平均數(shù)抽樣分布的無偏總體估計 (經(jīng)驗上的),平均數(shù)的抽樣分布參數(shù) (理論上的),圖10-6 樣本數(shù)據(jù)可以用來估計總體方差(2)的無偏估計 以及平均數(shù)的標準誤 ，樣本方差越大，總體方差的估計值和平均數(shù)的估計標準誤也越大,樣本數(shù)據(jù),或,10.4 參數(shù)未知時統(tǒng)計假設(shè)檢驗 t 檢驗,如果總體方差已知，用,如果總體方差

7、未知，用,圖10-7 當自由度=3，10和時，t 分布于標準正態(tài)分布的比較,注：自由度是指對一組數(shù)據(jù)進行一定的控制之后，可以自由變化的數(shù)據(jù)個數(shù)。,假設(shè)有四個數(shù)：18、23、27、32 ，和是多少？平均數(shù)是多少？,這四個數(shù)的和是100，平均數(shù)是 =25,(1825)+(2325)+(2725)+(3225)=(7)+( 2)+2+7=0,如果必須根據(jù)平均數(shù)計算離差，那么只有第四個固定，其他三個可以自由變化。自由度f=4-1=3,推而廣之：任意一個樣本，我們對它只有一個限制條件，那么這個樣本的自由度就是N-1，今后我們使用 t 分布進行各種檢驗，會用各種不同的自由度。,需要說明的是，t 檢驗是一種

8、穩(wěn)健的檢驗，這就意味著即使總體分布嚴重偏離正態(tài)分布，t 檢驗的統(tǒng)計推論也是相當有效的，這個結(jié)論是由中心極限定理決定的。我們我們懷疑分布是否符合正態(tài)性，明智的做法是增加樣本量。,10.4.1 t 分布的特點,t 分布與標準正態(tài)分布一樣，關(guān)于平均數(shù)0對稱。,t 分布的離散程度比正態(tài)分布大,見圖10.8 當未知時，用 z 檢驗代替 t 檢驗，會冒很大的風(fēng)險去拒絕一個真實的虛無假設(shè)，所以犯類錯誤的危險非常大。增大 t 值可以界定出拒絕區(qū)域，臨界值為3.182。0.05的拒絕區(qū)域：| t | 3.182,t 分布的臨界值表,與正態(tài)分布不同， t 分布的臨界值(critical value)是指與各種顯著

9、性水平相對應(yīng)的臨界值區(qū)域的對應(yīng)值。查表時，先找到df=3，按雙尾=0.05往下找到臨界值 t =3.182。一旦 算的的 t 值大于3.182，就拒絕H0.,10.4.2 未知時的統(tǒng)計假設(shè)檢驗：單樣本情況,例4 ：一所學(xué)校對全校教學(xué)進行測驗。如果測驗的分數(shù)低于250，可獲得政府部門的撥款，從全校隨機隨機抽查10人進行測驗，結(jié)果 =243.3，標準差S=5.1，試問全校平均分與250有無差異？能否獲得撥款？,1. H0:=0=250,2. H0:250,3. 統(tǒng)計檢驗：因為未知，所以使用 t 檢驗,4. 顯著性水平：=0.05 ，雙尾,5. 抽樣分布：自由度df=10-1=9的 t 分布,6.

10、拒絕H0的臨界區(qū)間：| t |2.262,因為 t =3.94，| t |2.262 ，所以拒絕虛無假設(shè)，按照=0.05雙尾的顯著性水平差別有統(tǒng)計學(xué)意義，可以認為該校測驗平均分數(shù)低于250?？梢垣@得政府撥款。,10.5 參數(shù)估計：區(qū)間估計,除了點估計。推論統(tǒng)計還包括區(qū)間估計。,區(qū)間估計(interval estimation) 是指包括總體真值的范圍所作的估計。,例5：成都電視臺8月初報道有1名13歲的肥胖兒童名叫浩浩的，體重達到230斤，假如你不知道他的真實體重，你憑什么猜測他的體重呢？你有多大把握說他的體重是230斤呢？,一般是通過觀察，憑借印象猜測他是200斤，這個就叫“點估計”，如果猜

11、測體重大約在200240斤，就稱為區(qū)間估計。,10.6 置信區(qū)間與置信限,總體均數(shù)真值落入的區(qū)間，就稱為置信區(qū)間。(confidence interval )，置信界限稱為置信限(confidence limit),=0.05的置信區(qū)間稱為95%的置信區(qū)間。=0.01的置信區(qū)間稱為99%的置信區(qū)間。,例5 在例4中，已知 ,N=10, 計算總體測驗分數(shù)95%的置信區(qū)間。,所以0 的下限=,=243.32.2621.7,=243.3 3.85=239.45,上限=243.3+3.85=247.15,解釋置信區(qū)間需注意的問題：,在計算總體均數(shù)可能落入的區(qū)間時，我們不知道計算的樣本平均數(shù)正確的概率有

12、多大，也就不能夠確定總體均數(shù)為的概率是95%還是99%。我們計算的概率不是針對總體均數(shù)，而是針對區(qū)間內(nèi)包含總體均數(shù)的概率。,從總體中重復(fù)抽取100個樣本，理論上有95的區(qū)間包含總體均數(shù)，大約有5個不包含。,這里的 C 表示總體均數(shù)的置信區(qū)間，而非概率,10.7 Pearson 相關(guān)系數(shù) r 的檢驗：單個樣本,回憶下，相關(guān)系數(shù)在什么范圍？,| r |1，r=1，完全相關(guān)， r=0，不相關(guān),對于單個樣本，假設(shè)H0：=0,圖10-9， =-0.8， =0， =+0.8 相關(guān)系數(shù)的抽樣分布,10.7.1 總體相關(guān)系數(shù)=0時的假設(shè)檢驗,10-11,df=N2 ,為什么？,例6 社會心理學(xué)家編制了一份測量

13、人們是否服從權(quán)威的量表，對15名被試進行了測試，其得分與另外一個對少數(shù)群體歧視的調(diào)查量表得分相關(guān)。兩組得分的相關(guān)系數(shù) r =0.6，即對權(quán)威服從的得分越高，對少數(shù)群體的歧視就越厲害，這個相關(guān)系數(shù)是否來自于=0的總體呢？,1. H0: 0,2. H0: 0,3. 統(tǒng)計檢驗：自由度=N-2，使用 t 檢驗,4. 顯著性水平：=0.05 ，單尾檢驗,5. 抽樣分布：自由度df=152=13的 t 分布,6. 拒絕H0的臨界區(qū)間： t 0.051.771 ，如果t1.771，拒絕H0。,因為t1.771，它落入了拒絕H0的臨界區(qū)間，所以拒絕H0，這兩個得分的總體相關(guān)系數(shù)大于零。,10.7.2 等級相關(guān)

14、系數(shù) rS 的假設(shè)檢驗：單樣本,問題：假如你是一名教師，你對“智力與領(lǐng)導(dǎo)力是相關(guān)變量”抱有質(zhì)疑，沒有適當?shù)亩攘繙y量領(lǐng)導(dǎo)力，但是可以對領(lǐng)導(dǎo)力加以排序，從而組成順序量表如下。,試問：r=0.64的相關(guān)系數(shù)是否是顯著的？,因為 r=0.640.521,拒絕H0，智力水平與領(lǐng)導(dǎo)角色顯著相關(guān)。,統(tǒng)計表的來源：*Reporduced with kind permission from S. Kokoska and D.Zwillinger. 1999. Probabillity and Statistics Tables and Formulae,Chapman & Hall/CRC,Boca Raton

15、,Florida,188.,查Spearman秩相關(guān)系數(shù) rs 的臨界值表,注意：有些表沒有N=15的r，用內(nèi)插法， (0.538+0.503)/2=0.521,10.8 案例,2. H0:100,3. 統(tǒng)計檢驗：因為已知，所以使用 z 檢驗,4. 顯著性水平：=0.01, 雙尾,5. 抽樣分布：正態(tài) 分布,6. 拒絕H0的臨界區(qū)間：| z |2.58,1. H0:=100,某公司欲招聘幾百名裝配工去組裝高精度儀器的小型部件，這個工作要求手眼協(xié)調(diào)能力高。在例行體檢中，發(fā)現(xiàn)有30名服用了大麻。于是對這30名進行一種手的靈敏度測驗，已知測驗常模為=100，=15，應(yīng)聘者 =92，S=10.,因為z

16、=2.922.58，P 0.05 , 按雙尾=0.05，拒絕H0，這30名體檢陽性者應(yīng)聘成績不如更大總體中隨機抽取的樣本中的期望成績。,注意：這個檢查結(jié)果雖然支持了你的懷疑，但是實驗設(shè)計并不嚴密，該研究沒有設(shè)置對照組，也沒有對被試者進行隨機分配。這些人是公司挑選的，這個結(jié)果也可能是出于另外的原因致使其操作水平與預(yù)期水平有顯著差異。,計算置信區(qū)間：,置信區(qū)間下限：922.4051.86=88.20,置信區(qū)間上限：922.4051.86=95.80,于是95%的置信區(qū)間為(88.20 , 95.80),繼續(xù)研究，30人的手測試得分與對大麻的依賴程度，計算Pearson 相關(guān)系數(shù)，r=0.62。,H0:=0,df=30-2=28,t =4.180 2.763 , 按照雙尾0.01水平，拒絕H0。,小結(jié),1. 樣本平均數(shù)的分布服從正態(tài)分布。,從總體中抽取一個大樣本,2. 平均數(shù)抽樣分布的總體平均數(shù)等于總體平均數(shù),3. 平均數(shù)的標準誤等于總體標準差除以樣本量的平方根。即：,4. 如