1、第五節(jié),一、由一個方程所確定的隱函數(shù) 的求得公式,二、由方程組所確定的隱函數(shù)組 的求導(dǎo)法則,隱函數(shù)的求導(dǎo)方法,三、全微分法,本節(jié)討論 :,1) 方程（組）在什么條件下才能確定隱函數(shù) .,2) 在方程（組）能確定隱函數(shù)時,研究其,連續(xù)性、可微性及求導(dǎo)方法問題 .,一、由一個方程所確定的隱函數(shù)的求導(dǎo)公式,設(shè)函數(shù),則方程,單值連續(xù)函數(shù),以及恒等式,簡記為,在點 的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù);,的某鄰域內(nèi)可唯一確定一個,滿足,并有連續(xù)導(dǎo)數(shù),定理1. （隱函數(shù)存在定理）,滿足,兩邊對 求導(dǎo),在,的某鄰域內(nèi),則,定理證明從略，僅就求導(dǎo)公式推導(dǎo)如下：,若 的二階偏導(dǎo)數(shù)也都連續(xù),二階導(dǎo)數(shù),則有,得,（不常用！

2、）,的求導(dǎo)公式：,例1. 驗證方程,在點(0,0)某鄰域,可確定一個單值可導(dǎo)隱函數(shù),解: 令,連續(xù) ,由 定理1 可知,導(dǎo)的隱函數(shù),則,在 的某鄰域內(nèi)方程存在單值可,且,并求,注：解法2：,在等式兩邊同時對 x 求導(dǎo)（參見上冊）。,若函數(shù),的某鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) ,則方程,在點,以及,定一個單值連續(xù)函數(shù) ,滿足, 在點,滿足:,某一鄰域內(nèi)可唯一確,定理2.（隱函數(shù)存在定理 ）,并有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),兩邊對 求偏導(dǎo),同樣可得,則,定理證明從略, 僅就求導(dǎo)公式推導(dǎo)如下:,在,的某鄰域內(nèi),例2. 設(shè),解法1 利用隱函數(shù)求導(dǎo),再對 求導(dǎo)得,當(dāng) 時，,當(dāng) 時，,解法2： 利用公式,設(shè),則,兩邊對 求偏導(dǎo)得,

3、例3.,設(shè) 具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),解： 利用偏導(dǎo)數(shù)公式.,確定的隱函數(shù)，記 ，,則,已知,故,以兩個方程確定兩個隱函數(shù)的情況為例 ,設(shè),幾何上表示空間一條曲線的一般方程。,視 為定值， 和 為未知 數(shù)，若解得,寫成,幾何上表示空間一條曲線的參數(shù)方程。,問題一：在什么條件下，空間曲線的一般方程可以 轉(zhuǎn)化為參數(shù)方程，且 和 可導(dǎo)？,問題二：,二、由方程組所確定的隱函數(shù)組的求導(dǎo)法則,由 和 的偏導(dǎo)數(shù)組成的行列式,稱為 ， 的雅可比( Jacobi )行列式.,為此，首先介紹雅可比行列式，,設(shè),且 和 均可偏導(dǎo)。,定理3.（隱函數(shù)存在定理 ）,的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)；,設(shè)函數(shù),則方程組,的單值可導(dǎo)函數(shù),

4、使得, 在點,確定兩個滿足,滿足:,在點,的某一鄰域內(nèi)可唯一,且有偏導(dǎo)數(shù)公式 :,（證明從略）,本定理解決了前面提出的兩個問題。,（不常用！）,2020/8/25,例4.設(shè),求,解法1：,記,則當(dāng) 時，,2020/8/25,兩邊關(guān)于,求導(dǎo)，有,解得,解法2：,分別在,則當(dāng) 時，,建議采用解法2.,定理4.（隱函數(shù)存在定理 ）,的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)；,設(shè)函數(shù),則方程組,值連續(xù)函數(shù),使得, 在點,可唯一確定一組滿足,滿足:,的某一鄰域內(nèi),的單,且有偏導(dǎo)數(shù)公式 :,（不常用?。?例5.設(shè)函數(shù),在點(u,v) 的某,1) 證明函數(shù)組,( x, y) 的某一鄰域內(nèi),2) 求,對 x , y 的偏導(dǎo)

5、數(shù).,在與點 (u, v) 對應(yīng)的點,鄰域內(nèi)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),且,唯一確定一組單值、連續(xù)且具有,連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的反函數(shù)組,則有,由定理 3 可知結(jié)論 1) 成立.,2),解: 1) 令,同理，,例5的應(yīng)用: 計算極坐標(biāo)變換,的反變換的導(dǎo)數(shù) .,同樣有,所以,由于,與直接計算的結(jié)果完全吻合。,例6.設(shè),并可用定理4中的計算公式求出,求,分析：,若令,則,但由于計算公式較繁，一般情況下，往往采用 與例4中解法2相仿的解法。,故由,可確定隱函數(shù),（本題中可求出其表達(dá)式）,解得,同理，在方程組兩邊對 求偏導(dǎo)，并整理得,解得,解:,在方程組兩邊對 求偏導(dǎo)，并整理得,2020/8/25,三、全微分法,全微分法就

6、是利用全微分形式不變性，在多元復(fù)合函數(shù)或隱函數(shù)（組）方程的兩邊，同時求全微分，再根據(jù)全微分與（偏）導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，求出多元復(fù)合函數(shù)以及隱函數(shù)（組）的（偏）導(dǎo)數(shù)或（全）微分。,特別是當(dāng)變量關(guān)系圖比較復(fù)雜，甚至畫不出時，利用全微分法可以非常方便地求出多元復(fù)合函數(shù)以及隱函數(shù)（組）的（偏）導(dǎo)數(shù)或（全）微分。,全微分法也稱為傻瓜型方法。,例7.,利用全微分法又解例3.,例3.,設(shè) 具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),已知,解：,在方程 兩邊求微分:,所以,例6.設(shè),求,例8.,利用全微分法又解例6.,解：,在方程 兩邊求全微分:,將 和 視為常數(shù)， 和 視為未知量，得,解得,利用全微分與偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，即可得,解. 兩邊求全微分，得,設(shè),求,例9.,所以,內(nèi)容小結(jié),1. 隱函數(shù)( 組) 存在定理,2. 隱函數(shù) (組) 求導(dǎo)方法,方法1. 利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接計算 ;,方法2. 利用全微分法;,方法3. 代公式,例2.