1、2.1.5正、余弦定理的綜合應(yīng)用知識梳理1.正弦定理： ，其中為外接圓的半徑。利用正弦定理，可以解決以下兩類有關(guān)三角形的問題.（1）已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角；（2）已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角.（從而進(jìn)一步求出其他的邊和角）2.余弦定理：(1)余弦定理：； ； .在余弦定理中，令C=90，這時cosC=0，所以c2=a2+b2.（2）余弦定理的推論：； ； .利用余弦定理，可以解決以下兩類有關(guān)三角形的問題：（1）已知三邊，求三個角；（2）已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個角.3.三角形面積公式：=4.三角形的性質(zhì)：.A+B+C=, , .在中, c , c ; AB

2、, ABcosAcosB, a b AB .若為銳角，則,B+C ,A+C ; ，5.(1)若給出那么解的個數(shù)為：(A為銳角)，幾何作圖時，存在多種情況如已知a、b及A，求作三角形時，要分類討論，確定解的個數(shù)已知兩邊和其中一邊的對角解三角形，有如下的情況：(1)A為銳角 一解 兩解 一解若，則無解；（2）當(dāng)A90若ab,則一解若ab，則無解典例剖析題型一 三角形多解情況的判斷例1.根據(jù)下列條件，判斷有沒有解？若有解，判斷解的個數(shù)（1），求；（2），求；（3），求； （4），求；（5），求解：（1），只能是銳角，因此僅有一解（2），只能是銳角，因此僅有一解（3）由于為銳角，而，即，因此僅有一解（

3、4）由于為銳角，而，即，因此有兩解，易解得（5）由于為銳角，又，即，無解評析：對于已知兩邊和其中一邊的對角，解三角形問題，容易出錯，一定要注意一解、兩解還是無解。這時應(yīng)結(jié)合“三角形中大邊對大角定理及幾何作圖來幫助理解”。題型二 正、余弦定理在函數(shù)中的應(yīng)用例2在ABC中，AB5，AC3，D為BC中點(diǎn)，且AD4，求BC邊長.分析：此題所給題設(shè)條件只有邊長，應(yīng)考慮在假設(shè)BC為x后，建立關(guān)于x的方程.而正弦定理涉及到兩個角，故不可用.此時應(yīng)注意余弦定理在建立方程時所發(fā)揮的作用.因?yàn)镈為BC中點(diǎn)，所以BD、DC可表示為，然后利用互補(bǔ)角的余弦互為相反數(shù)這一性質(zhì)建立方程.解：設(shè)BC邊為x，則由D為BC中點(diǎn)，

4、可得BDDC，在ADB中，cosADB在ADC中，cosADC又ADBADC180cosADBcos（180ADC）cosADC.解得，x2所以，BC邊長為2.評述：此題要啟發(fā)學(xué)生注意余弦定理建立方程的功能，體會互補(bǔ)角的余弦值互為相反數(shù)這一性質(zhì)的應(yīng)用，并注意總結(jié)這一性質(zhì)的適用題型.備選題 正、余弦定理的綜合應(yīng)用例3在ABC中，已知，求ABC的面積.解法1：設(shè)AB、BC、CA的長分別為c、a、b，.故所求面積解法3：同解法1可得c=8. 又由余弦定理可得故所求面積評析：本小題主要考查正弦定理、余弦定理和三角形面積公式等基礎(chǔ)知識，同時考查利用三角公式進(jìn)行恒等變形的技能和運(yùn)算能力.點(diǎn)擊雙基一. 選擇

5、題： 1. 在中，則A為（ ） 解：答案：A2. 在（ ） 解：由題意及正弦定理可得 答案：B3. 以4、5、6為邊長的三角形一定是（ ） A. 銳角三角形B. 直角三角形 C. 鈍角三角形D. 銳角或鈍角三角形 解：長為6的邊所對角最大，設(shè)它為 則 答案A4. 在中，化簡_ 解：利用余弦定理，得原式答案：a5. 在中，則_，_ 解： 又答案：課外作業(yè)一、選擇1. 在中，則A等于（ ） 解：由余弦定理及已知可得 答案：C2.在ABC中，已知b=40,c=20,C=60,則此三角形的解的情況是（ ）A. 有一解 B. 有兩解 C. 無解 D. 有解但解的個數(shù)不確定解：bsinC=20c, 無解答

6、案：C3. 在中，則三角形為（ ） A. 直角三角形B. 銳角三角形 C. 等腰三角形D. 等邊三角形 解：由余弦定理可將原等式化為 答案C 4. 在中，則是（ ） A. 銳角三角形B. 直角三角形 C. 鈍角三角形D. 正三角形解：原不等式可變形為 答案：C5 在ABC中，若，則其面積等于（ ）A B C D 解： 答案：D6 在ABC中，角均為銳角，且則ABC的形狀是（ ）A 直角三角形 B 銳角三角形 C 鈍角三角形 D 等腰三角形 解： 都是銳角，則答案：C7.在ABC中，cos=,則ABC的形狀是（ ）A. 正三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形或直角三角形 D. 等腰直角三角

7、形解：原式可化為=， cosA+1= cosA=由余弦定理，得，aABC為直角三角形答案：B8.在ABC中，A=，BC=3，則ABC的周長為（ ）A. 4 B. 4 C. 6 D. 6 解：，=2=2, b+c=2(sinB+sin()=2()=6a+b+c=6答案：D二. 填空題：9. 在中，已知，則_ 解：由正弦定理得 設(shè)1份為k，則 再由余弦定理得答案：10. 在中，A、B均為銳角，且，則是_ 解：由得 A、B均為銳角， 而在上是增函數(shù) 即 答案：鈍角三角形11. 三角形的兩邊分別為5和3，它們夾角的余弦是方程的根，則三角形的另一邊長為 解：由題意得或2（舍去） 答案：2三. 解答題： 12. .根據(jù)下列條件，判斷是否有解？有解的做出解答 a=7,b=8,A=105 a=10,b=20,A=80 b=10,c=5,C=60 a=2,b=6,A=30解：a=7,b=8,a90 本題無解 a=10,b=20,ab,A=8020sin60=10absinA本題無解b=10,c=5,bc,C=60 90,本題有一解sinB=B=45,A=180-(B+C)=75a=5() a=2,b=6,ab,A=30bsinA本題有兩解由正弦定理得sinB=B=60或120當(dāng)B=60時，C=90,c=4當(dāng)B=120時，C=30,c=2B=