1、3.2.3空間的角的計算學(xué)習目標1.理解直線與平面所成角、二面角的概念.2.掌握向量法解決空間角的計算問題.3.體會空間向量解決立體幾何問題的三步曲.知識點一空間角的計算(向量法)思考1設(shè)a，b分別是空間兩條直線l1，l2的方向向量，則l1與l2的夾角大小一定為a，b嗎？思考2若二面角l的兩個半平面的法向量分別為n1，n2，則二面角的平面角與兩法向量的夾角n1，n2一定相等嗎？梳理空間三種角的向量求法角的分類向量求法范圍異面直線所成的角設(shè)兩異面直線所成的角為，它們的方向向量為a，b，則cos _.直線與平面所成的角設(shè)直線l與平面所成的角為，l的方向向量為e，平面的法向量為n，則sin _.二面

2、角設(shè)二面角l為，平面，的法向量分別為n1，n2，則|cos |_.知識點二向量法求線面角、二面角的原理1.向量法求直線與平面所成角的原理條件直線l(方向向量為e)與平面(法向量為n)所成的角為圖形關(guān)系e，n0，e，ne，n，e，n計算sin |cose，n|2.向量法求二面角的原理條件平面，的法向量分別為n1，n2，所構(gòu)成的二面角的大小為，n1，n2圖形關(guān)系計算cos cos cos cos 類型一求兩條異面直線所成的角例1如圖，在三棱柱OAB-O1A1B1中，平面OBB1O1平面OAB，O1OB60，AOB90，且OBOO12，OA，求異面直線A1B與AO1所成角的余弦值的大小.反思與感悟在

3、解決立體幾何中兩異面直線所成角問題時，若能構(gòu)建空間直角坐標系，則建立空間直角坐標系，利用向量法求解.但應(yīng)用向量法時一定要注意向量所成角與異面直線所成角的區(qū)別.跟蹤訓(xùn)練1已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是A1D1、A1C1的中點，求異面直線AE與CF所成角的余弦值.類型二求直線和平面所成的角例2已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長為a，側(cè)棱長為a，求AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角.反思與感悟用向量法求線面角的一般步驟是先利用圖形的幾何特征建立適當?shù)目臻g直角坐標系，再用向量的有關(guān)知識求解線面角.方法二給出了用向量法求線面角的常用方法，即先求平面法向量與斜線的夾角，再進行換

4、算.跟蹤訓(xùn)練2如圖所示，已知直角梯形ABCD，其中ABBC2AD，AS平面ABCD，ADBC，ABBC，且ASAB.求直線SC與底面ABCD的夾角的余弦值.類型三求二面角例3在底面為平行四邊形的四棱錐P-ABCD中，ABAC，PA平面ABCD，且PAAB，E是PD的中點，求平面EAC與平面ABCD的夾角.反思與感悟(1)當空間直角坐標系容易建立(有特殊的位置關(guān)系)時，用向量法求解二面角無需作出二面角的平面角.只需求出平面的法向量，經(jīng)過簡單的運算即可求出，有時不易判斷兩法向量的夾角的大小就是二面角的大小(相等或互補)，但我們可以根據(jù)圖形觀察得到結(jié)論，因為二面角是鈍二面角還是銳二面角一般是明顯的.

5、(2)注意法向量的方向：一進一出，二面角等于法向量夾角；同進同出，二面角等于法向量夾角的補角.跟蹤訓(xùn)練3若PA平面ABC，ACBC，PAAC1，BC，求銳二面角APBC的余弦值.1.在一個二面角的兩個半平面內(nèi)，與二面角的棱垂直的兩個向量分別為(0，1,3)，(2,2,4)，則這個二面角的余弦值為_.2.已知a、b是異面直線，A、Ba，C、Db，ACb，BDb，且AB2，CD1，則a與b所成的角是_.3.已知在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，則CD與平面BDC1所成角的正弦值是_.4.如圖，在四棱錐SABCD中，SA平面ABCD，底面ABCD為直角梯形，ADBC，BAD90，且

6、AB4，SA3，E、F分別為線段BC、SB上的一點(端點除外)，滿足，則當實數(shù)的值為_時，AFE為直角.5.在矩形ABCD中，AB1，BC，PA平面ABCD，PA1，則PC與平面ABCD所成的角是_.向量法求角(1)兩條異面直線所成的角可以借助這兩條直線的方向向量的夾角求得，即cos |cos |.(2)直線與平面所成的角可以通過直線的方向向量與平面的法向量的夾角求得，即sin |cos |或cos sin .(3)二面角的大小可以通過該二面角的兩個面的法向量的夾角求得，它等于兩個法向量的夾角或其補角.答案精析問題導(dǎo)學(xué)知識點一思考1不一定.若l1，l2的方向向量的夾角為0，內(nèi)的角時，l1與l2

7、的夾角為a，b，否則為a，b.思考2不一定.可能相等，也可能互補.梳理|cosa，b|(0，|cose，n|0，|cosn1，n2|0，題型探究例1解建立如圖所示的空間直角坐標系，則O(0,0,0)，O1(0,1，)，A(，0,0)，A1(，1，)，B(0,2,0)，(，1，)，(，1，).|cos，|.異面直線A1B與AO1所成角的余弦值為.跟蹤訓(xùn)練1例2解建立如圖所示的空間直角坐標系，則A(0,0,0)，B(0，a,0)，A1(0,0，a)，C1，(0，a,0)，(0,0，a)，.設(shè)側(cè)面ABB1A1的法向量為n(，y，z)，n0且n0，ay0且az0.yz0.故n(，0,0).，cos，n

8、，|cos，n|.又直線與平面所成的角在0，90范圍內(nèi)，AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角為30.跟蹤訓(xùn)練2解由題設(shè)條件知，以點A為坐標原點，分別以AD，AB，AS所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系(如圖所示). 設(shè)AB1，則A(0,0,0)，B(0,1,0)，C(1,1,0)，D，S(0,0,1)，(0,0,1)，(1，1,1).顯然是底面ABCD的法向量，它與已知向量的夾角90，故有sin cos ，0，90，cos .例3解如圖，以A為原點，分別以AC，AB，AP所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系.設(shè)PAABa，ACb，連結(jié)BD與AC交于點O，取AD中點F，則C(b,

9、0,0)，B(0，a,0)，.D(b，a,0)，P(0,0，a)，E，O，(b,0,0).0，又，0.EOF等于平面EAC與平面ABCD的夾角(或補角).cos，.又，OF0，180，平面EAC與平面ABCD的夾角為45.跟蹤訓(xùn)練3解如圖所示建立空間直角坐標系，則 A(0,0,0)，B(，1,0)，C(0，1,0)，P(0,0,1)，故(0,0,1)，(，1,0)，(，0,0)，(0，1,1)，設(shè)平面PAB的法向量為m(x，y，z)，則令x1，則y，故m(1，0).設(shè)平面PBC的法向量為n(x，y，z)，則令y1，則z1，故n(0，1，1)，cosm，n.又二面角APBC是銳二面角，二面角APBC的余弦值為.當堂訓(xùn)練1.2.603.4