1、第三章,微分法:,積分法:,互逆運(yùn)算,一元函數(shù)積分學(xué),二、 基本積分表,三、不定積分的性質(zhì),一、 原函數(shù)與不定積分的概念,3.1,不定積分的概念與性質(zhì),第三章,一、 原函數(shù)與不定積分的概念,引例: 一個(gè)質(zhì)量為 m 的質(zhì)點(diǎn),下沿直線運(yùn)動(dòng) ,因此問題轉(zhuǎn)化為:,已知,求,在變力,試求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度,根據(jù)牛頓第二定律,加速度,定義 1 . 若在區(qū)間 I 上定義的兩個(gè)函數(shù) F (x) 及 f (x),滿足,在區(qū)間 I 上的一個(gè)原函數(shù) .,則稱 F (x) 為f (x),如引例中,的原函數(shù)有,問題:,1. 在什么條件下, 一個(gè)函數(shù)的原函數(shù)存在 ?,2. 若原函數(shù)存在, 它如何表示 ?,定理1.,存在原函數(shù)

2、 .,初等函數(shù)在定義區(qū)間上連續(xù),初等函數(shù)在定義區(qū)間上有原函數(shù),定理 2.,原函數(shù)都在函數(shù)族,( C 為任意常數(shù) ) 內(nèi) .,證: 1),又知,故,它屬于函數(shù)族,即,定義 2.,在區(qū)間 I 上的原函數(shù)全體稱為,上的不定積分,其中, 積分號;, 被積函數(shù);, 被積表達(dá)式., 積分變量;,若,則,( C 為任意常數(shù) ),C 稱為積分常數(shù), 不可丟 !,例如,記作,不定積分的幾何意義:,的原函數(shù)的圖形稱為,的圖形,的所有積分曲線組成,的平行曲線族.,的積分曲線 .,二、 基本積分表,從不定積分定義可知:,或,或,利用逆向思維,( k 為常數(shù)),或,或,例3. 求,解: 原式 =,例4. 求,解: 原式

3、=,三、不定積分的性質(zhì),推論: 若,則,例5. 求,解: 原式,例6. 求,解: 原式 =,內(nèi)容小結(jié),1. 不定積分的概念, 原函數(shù)與不定積分的定義, 不定積分的性質(zhì), 基本積分表,2. 直接積分法:,利用恒等變形,及 基本積分公式進(jìn)行積分 .,常用恒等變形方法,分項(xiàng)積分,加項(xiàng)減項(xiàng),利用三角公式 , 代數(shù)公式 ,積分性質(zhì),若,的導(dǎo)函數(shù)為,則,的一個(gè)原函數(shù),是 ( ) .,提示: 已知,求,即,B,?,?,或由題意,其原函數(shù)為,思考與練習(xí),作業(yè)題:,1 （2） 2 （1） （3） （5） （7） （9） （11） （13） （15） （17） （19）,P137,二、第二類換元法,3.2,一、第

4、一類換元法,換元積分法,第三章,第二類換元法,第一類換元法,基本思路,設(shè),可導(dǎo),則有,一、第一類換元法,定理1.,則有換元,公式,(也稱配元法,即, 湊微分法),例1. 求,解: 令,則,故,原式 =,注: 當(dāng),時(shí),注意換回原變量,例2. 求,解:,令,則,想到公式,例4. 求,解:,類似,例5. 求,解:, 原式 =,常用的幾種配元形式:,萬能湊冪法,例6. 求,解: 原式 =,小結(jié),常用簡化技巧:,(1) 分項(xiàng)積分:,(2) 降低冪次:,(3) 統(tǒng)一函數(shù): 利用三角公式 ; 配元方法,(4) 巧妙換元或配元,萬能湊冪法,利用積化和差; 分式分項(xiàng);,利用倍角公式 , 如,思考與練習(xí),1. 下

5、列各題求積方法有何不同?,二、第二類換元法,第一類換元法解決的問題,難求,易求,若所求積分,易求,則得第二類換元積分法 .,難求，,定理2 . 設(shè),是單調(diào)可導(dǎo)函數(shù) , 且,具有原函數(shù) ,證:,令,則,則有換元公式,例16. 求,解: 令,則, 原式,說明:,1. 被積函數(shù)含有,除采用三角,采用雙曲代換,消去根式 ,所得結(jié)果一致 .,或,代換外, 還可利用公式,2. 再補(bǔ)充兩個(gè)常用雙曲函數(shù)積分公式,原式,例19. 求,解: 令,則,原式,當(dāng) x 0 時(shí), 類似可得同樣結(jié)果 .,小結(jié):,1. 第二類換元法常見類型:,令,令,令,或,令,或,令,或,2. 常用基本積分公式的補(bǔ)充,7) 分母中因子次數(shù)

6、較高時(shí), 可試用倒代換,令,作業(yè)題:,P147,1.（1） （3） （5） （7） （9） （11） （13）,2.（1） （3） （5） （7） （9） （11） （13） （15） （17） （19） （21） （23） （25） （27）,3.3,由導(dǎo)數(shù)公式,積分得:,分部積分公式,或,1) v 容易求得 ;,容易計(jì)算 .,分部積分法,第三章,例1. 求,解: 令,則, 原式,思考: 如何求,提示: 令,則,原式,例2. 求,解: 令,則,原式 =,例3. 求,解: 令,則, 原式,例4. 求,解: 令, 則, 原式,再令, 則,故 原式 =,說明: 也可設(shè),為三角函數(shù) , 但兩次所設(shè)類

7、型,必須一致 .,解題技巧:,把被積函數(shù)視為兩個(gè)函數(shù)之積 ,按 “ 反對冪指三” 的,順序,前者為 后者為,例5. 求,解: 令, 則,原式 =,反: 反三角函數(shù) 對: 對數(shù)函數(shù) 冪: 冪函數(shù) 指: 指數(shù)函數(shù) 三: 三角函數(shù),說明:,分部積分題目的類型:,1) 直接分部化簡積分 ;,2) 分部產(chǎn)生循環(huán)式 , 由此解出積分式 ;,(注意: 兩次分部選擇的 u , v 函數(shù)類型不變 , 解出積分后加 C ),3) 對含自然數(shù) n 的積分, 通過分部積分建立遞 推公式 .,例4,內(nèi)容小結(jié),分部積分公式,1. 使用原則 :,2. 使用經(jīng)驗(yàn) :,“反對冪指三” , 前 u 后,3. 題目類型 :,分部化

8、簡 ;,循環(huán)解出;,遞推公式,4. 計(jì)算格式 :,例13. 求,解:,令,則,可用表格法求 多次分部積分,思考與練習(xí),1. 下述運(yùn)算錯(cuò)在哪里? 應(yīng)如何改正?,得 0 = 1,答: 不定積分是原函數(shù)族 , 相減不應(yīng)為 0 .,求此積分的正確作法是用換元法 .,作業(yè)題:,P153,1、3、5、7、9、11、13、15、17,3.4,一、定積分問題舉例,二、 定積分的定義,三、 定積分的近似計(jì)算,定積分,四、 微積分基本公式,一、定積分問題舉例,1. 曲邊梯形的面積,設(shè)曲邊梯形是由連續(xù)曲線,以及兩直線,所圍成 ,求其面積 A .,矩形面積,梯形面積,解決步驟 :,1) 大化小.,在區(qū)間 a , b

9、中任意插入 n 1 個(gè)分點(diǎn),用直線,將曲邊梯形分成 n 個(gè)小曲邊梯形;,2) 常代變.,在第i 個(gè)窄曲邊梯形上任取,作以,為底 ,為高的小矩形,并以此小,矩形面積近似代替相應(yīng),窄曲邊梯形面積,得,3) 近似和.,4) 取極限.,令,則曲邊梯形面積,二、定積分定義,任一種分法,任取,總趨于確定的極限 I ,則稱此極限 I 為函數(shù),在區(qū)間,上的定積分,即,此時(shí)稱 f ( x ) 在 a , b 上可積 .,記作,定積分僅與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān) ,而與積分,變量用什么字母表示無關(guān) ,即,定積分的幾何意義:,曲邊梯形面積,曲邊梯形面積的負(fù)值,各部分面積的代數(shù)和,可積的充分條件:,定理1.,定理2.,

10、且只有有限個(gè)間斷點(diǎn),(證明略),例2. 用定積分表示下列極限:,解:,三、定積分的性質(zhì),(設(shè)所列定積分都存在),( k 為常數(shù)),線性,區(qū)間可加,6. 若在 a , b 上,則,推論1. 若在 a , b 上,則,保號,推論2.,7. 設(shè),則,說明:,可把,故它是有限個(gè)數(shù)的平均值概念的推廣.,積分中值定理對,8. 積分中值定理,則至少存在一點(diǎn),使,內(nèi)容小結(jié),1. 定積分的定義, 乘積和式的極限,2. 定積分的性質(zhì),3. 積分中值定理,矩形公式,梯形公式,連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的平均值公式,近似計(jì)算,拋物線法公式,作業(yè)題:,P163,4.（1）、（3）,二、積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù),三、牛頓 萊布尼茨公

11、式,一、引例,3.5,微積分基本公式,一、引例,在變速直線運(yùn)動(dòng)中, 已知位置函數(shù),與速度函數(shù),之間有關(guān)系:,物體在時(shí)間間隔,內(nèi)經(jīng)過的路程為,這種積分與原函數(shù)的關(guān)系在一定條件下具有普遍性 .,二、積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù),變上限積分函數(shù),定理1. 若,說明:,1) 定理 1 證明了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的.,2) 其他變限積分求導(dǎo):,同時(shí)為,通過原函數(shù)計(jì)算定積分開辟了道路 .,三、牛頓 萊布尼茨公式,( 牛頓 - 萊布尼茨公式),定理2.,函數(shù) ,則,例4. 計(jì)算,解:,例5. 計(jì)算正弦曲線,的面積 .,解:,內(nèi)容小結(jié),則有,1. 微積分基本公式,積分中值定理,微分中值定理,牛頓 萊布尼茨公式,作

12、業(yè)題:,P169,1（1） 2 （1）（3） （5）（7） （9） 3 （1）（3）,二、定積分的分部積分法,3.6,不定積分,一、定積分的換元法,換元積分法,分部積分法,定積分,換元積分法,分部積分法,定積分的換元法和,分部積分法,一、定積分的換元法,定理1. 設(shè)函數(shù),單值函數(shù),滿足:,1),2) 在,上,則,說明:,1) 當(dāng) , 即區(qū)間換為,定理 1 仍成立 .,2) 必需注意換元必?fù)Q限 , 原函數(shù)中的變量不必代回 .,3) 換元公式也可反過來使用 , 即,或配元,配元不換限,例1. 計(jì)算,解: 令,則, 原式 =,且,例2. 計(jì)算,解: 令,則, 原式 =,且,例3.,證:,(1) 若,

13、(2) 若,偶倍奇零,設(shè) f (x) 是連續(xù)的周期函數(shù), 周期為T：,并由此計(jì)算,二、定積分的分部積分法,定理2.,則,例5. 計(jì)算,解:,原式 =,內(nèi)容小結(jié),基本積分法,換元積分法,分部積分法,換元必?fù)Q限 配元不換限 邊積邊代限,作業(yè)題:,P177,1（1）（3） （5）（7） （9） （11）（13） （15） 2 （1）（3） （5）（7） 3 （1）（3）,3.7,利用元素法解決:,定積分在幾何上的應(yīng)用,定積分在物理上的應(yīng)用,定積分的應(yīng)用,表示為,什么問題可以用定積分解決 ?,1) 所求量 U 是與區(qū)間a , b上的某分布 f (x) 有關(guān)的,2) U 對區(qū)間 a , b 具有可加性

14、,即可通過,“大化小, 常代變, 近似和, 取極限”,定積分定義,一個(gè)整體量 ;,如何應(yīng)用定積分解決問題 ?,第一步 利用“化整為零 , 以常代變” 求出局部量的,微分表達(dá)式,第二步 利用“ 積零為整 , 無限累加 ” 求出整體量的,積分表達(dá)式,這種分析方法稱為元素法 (或微元分析法 ),元素的幾何形狀常取為:,條, 帶, 段, 環(huán), 扇, 片, 殼 等,近似值,精確值,第二節(jié),4. 旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積 (補(bǔ)充),3. 已知平行截面面積函數(shù)的 立體體積,一、,1. 平面圖形的面積,2. 平面曲線的弧長,定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用,第三章,1. 平面圖形的面積,1）. 直角坐標(biāo)情形,設(shè)曲線,與直線,及

15、x 軸所圍曲,則,邊梯形面積為 A ,右下圖所示圖形面積為,例1. 計(jì)算兩條拋物線,在第一象限所圍,所圍圖形的面積 .,解: 由,得交點(diǎn),例2. 計(jì)算拋物線,與直線,的面積 .,解: 由,得交點(diǎn),所圍圖形,為簡便計(jì)算, 選取 y 作積分變量,則有,一般地 , 當(dāng)曲邊梯形的曲邊由參數(shù)方程,給出時(shí),按順時(shí)針方向規(guī)定起點(diǎn)和終點(diǎn)的參數(shù)值,則曲邊梯形面積,2）. 極坐標(biāo)情形,求由曲線,及,圍成的曲邊扇形的面積 .,在區(qū)間,上任取小區(qū)間,則對應(yīng)該小區(qū)間上曲邊扇形面積的近似值為,所求曲邊扇形的面積為,對應(yīng) 從 0 變,例5. 計(jì)算阿基米德螺線,解:,到 2 所圍圖形面積 .,2. 平面曲線的弧長,當(dāng)折線段的

16、最大,邊長 0 時(shí),折線的長度趨向于一個(gè)確定的極限 ,即,并稱此曲線弧為可求長的.,定理: 任意光滑曲線弧都是可求長的.,(證明略),則稱,(1) 曲線弧由直角坐標(biāo)方程給出:,弧長元素(弧微分) :,因此所求弧長,(2) 曲線弧由參數(shù)方程給出:,弧長元素(弧微分) :,因此所求弧長,(3) 曲線弧由極坐標(biāo)方程給出:,因此所求弧長,則得,弧長元素(弧微分) :,(自己驗(yàn)證),3. 已知平行截面面積函數(shù)的立體體積,設(shè)所給立體垂直于x 軸的截面面積為A(x),則對應(yīng)于小區(qū)間,的體積元素為,因此所求立體體積為,上連續(xù),特別 , 當(dāng)考慮連續(xù)曲線段,軸旋轉(zhuǎn)一周圍成的立體體積時(shí),有,當(dāng)考慮連續(xù)曲線段,繞 y

17、 軸旋轉(zhuǎn)一周圍成的立體體積時(shí),有,內(nèi)容小結(jié),1. 平面圖形的面積,邊界方程,參數(shù)方程,極坐標(biāo)方程,2. 平面曲線的弧長,曲線方程,參數(shù)方程方程,極坐標(biāo)方程,弧微分:,直角坐標(biāo)方程,上下限按順時(shí)針方向確定,直角坐標(biāo)方程,注意: 求弧長時(shí)積分上下限必須上大下小,3. 已知平行截面面積函數(shù) A(x) 的立體體積,旋轉(zhuǎn)體的體積,繞 x 軸 :,4. 旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積,側(cè)面積元素為,(注意在不同坐標(biāo)系下 ds 的表達(dá)式),繞 y 軸 :,(柱殼法),思考與練習(xí),1.用定積分表示圖中陰影部分的面積 A 及邊界長 s .,提示: 交點(diǎn)為,弧線段部分,直線段部分,以 x 為積分變量 , 則要分,兩段積分,故以

18、y 為積分變量.,3.8,1. 變力沿直線所作的功,2. 液體的側(cè)壓力,3. 引力問題,4. 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 (補(bǔ)充),定積分物理應(yīng)用,第三章,1. 變力沿直線所作的功,設(shè)物體在連續(xù)變力 F(x) 作用下沿 x 軸從 x a 移動(dòng)到,力的方向與運(yùn)動(dòng)方向平行,求變力所做的功 .,在其上所作的功元,素為,因此變力F(x) 在區(qū)間,上所作的功為,例1.,一個(gè)單,求電場力所作的功 .,解:,當(dāng)單位正電荷距離原點(diǎn) r 時(shí),由庫侖定律電場力為,則功的元素為,所求功為,說明:,位正電荷沿直線從距離點(diǎn)電荷 a 處移動(dòng)到 b 處 (a b) ,在一個(gè)帶 +q 電荷所產(chǎn)生的電場作用下,面積為 A 的平板,2. 液體側(cè)壓

19、力,設(shè)液體密度為 ,深為 h 處的壓強(qiáng):,當(dāng)平板與水面平行時(shí),當(dāng)平板不與水面平行時(shí),所受側(cè)壓力問題就需用積分解決 .,平板一側(cè)所受的壓力為,內(nèi)容小結(jié),(1) 先用元素法求出它的微分表達(dá)式 dQ,一般元素的幾何形狀有:,扇、片、殼 等.,(2) 然后用定積分來表示整體量 Q , 并計(jì)算之.,1.用定積分求一個(gè)分布在某區(qū)間上的整體量 Q 的步驟:,2.定積分的物理應(yīng)用:,變力作功 ,側(cè)壓力 ,引力,轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等.,條、段、環(huán)、帶、,二、無界函數(shù)的反常積分,3.9,常義積分,積分限有限,被積函數(shù)有界,推廣,一、無窮限的反常積分,反常積分,(廣義積分),反常積分,第三章,一、無窮限的反常積分,引例. 曲

20、線,和直線,及 x 軸所圍成的開口曲,邊梯形的面積,可記作,其含義可理解為,定義1. 設(shè),若,存在 ,則稱此極限為 f (x) 的無窮限反常積分,記作,這時(shí)稱反常積分,收斂 ;,如果上述極限不存在,就稱反常積分,發(fā)散 .,類似地 , 若,則定義,則定義,( c 為任意取定的常數(shù) ),只要有一個(gè)極限不存在 , 就稱,發(fā)散 .,無窮限的反常積分也稱為第一類反常積分.,并非不定型 ,說明: 上述定義中若出現(xiàn),它表明該反常積分發(fā)散 .,引入記號,則有類似牛 萊公式的計(jì)算表達(dá)式 :,例1. 計(jì)算反常積分,解:,思考:,分析:,原積分發(fā)散 !,注意: 對反常積分, 只有在收斂的條件下才能使用,“偶倍奇零” 的性質(zhì),否則會出現(xiàn)錯(cuò)誤 .,