1、第2課時補集,1.在具體情境中,了解全集的含義. 2.理解在給定集合中一個子集的補集的含義,會求給定子集的補集. 3.重視補集思想在解題中的應(yīng)用.,1,2,1.全集與補集 如果所要研究的集合都是某一給定集合的子集,那么稱這個給定的集合為全集,通常用U表示. 如果給定集合A是全集U的一個子集,由U中不屬于A的所有元素構(gòu)成的集合,叫做A在U中的補集,記作UA,讀作“A在U中的補集”.,1,2,歸納總結(jié)1.補集的符號語言為:UA=x|xU,且xA; 2.補集的維恩(Venn)圖表示如圖所示; 3.全集具有相對性,即研究某個問題時的全集可能在研究另一個問題時就不是全集.補集是相對于全集而言的,由于全集

2、具有相對性,那么補集也具有相對性,在不同的全集下,一個集合的補集可能不相同. 4.設(shè)U是全集,A是U的一個子集,那么對于U中的任何一個元素x,要么xA,要么xUA.,1,2,【做一做1-1】 若集合U=1,2,3,4,5,A=2,4,5,則UA等于() A.2,4,5B.1,3 C.1,2,3D.1,2,3,4,5 答案:B,1,2,【做一做1-2】 已知全集U=R,若集合M=x|-1x3,則UM等于() A.x|-13 D.x|x-1或x3 解析:集合M的數(shù)軸表示如圖所示, 由補集的定義,并結(jié)合數(shù)軸解題. 因為M=x|-1x3, 所以UM=x|x3. 答案:C,1,2,2.補集的性質(zhì) 對于任

3、意集合A,有 AUA=U,AUA=,U(UA)=A,UU=,U=U. 【做一做2-1】 已知全集U=xZ|-2 017x2 017,A=0,則U(UA)=. 解析:根據(jù)補集的性質(zhì)U(UA)=A,可知U(UA)=0. 答案:0,1,2,【做一做2-2】 有下列敘述: UA=x|xA; U=U; AUA=; 若U=1,2,3,A=2,3,4,則UA=1. 其中正確的序號是. 解析:應(yīng)為UA=x|xU,且xA; 正確; 應(yīng)為AUA=U; 因為AU,所以UA無意義. 答案:,一、子集A在全集U中的補集的求法 剖析:從全集U中去掉所有屬于A的元素,剩下的元素組成的集合即為A在U中的補集.例如,已知U=a

4、,b,c,d,e,f,A=b,f,求UA.該題中顯然AU,從U中除去子集A的元素b,f,剩下的元素a,c,d,e組成的集合為UA,即UA=a,c,d,e.另外,若所給集合是無限集,在實數(shù)范圍內(nèi)求其補集,我們可以充分利用數(shù)軸的直觀性來求解.例如,已知U=R,A=x|x3,求UA.用數(shù)軸表示可知UA=x|x3,如圖中陰影部分. 在求補集時,還要特別注意看A是否滿足AU,再者需看清楚全集的范圍.例如,若U=x|x0,A=x|x3,則UA=x|0x3.,二、用維恩(Venn)圖來解釋U(AB)=UAUB與U(AB)=UAUB 剖析:(1)用維恩(Venn)圖表示U(AB)=UAUB:,(2)用維恩(V

5、enn)圖表示U(AB)=UAUB: 歸納總結(jié)借助維恩(Venn)圖分析集合的運算問題,能使問題簡捷地得以解決,能將本來抽象的集合問題直觀形象地表現(xiàn)出來,這正體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的優(yōu)越性.,題型一,題型二,題型三,題型四,【例1】 (1)已知全集U=三角形,集合A=直角三角形,求UA; (2)已知全集U=1,2,3,4,5,6,7,8,9,集合A=2,4,5,B=1,4,5,求UA,UAUB; (3)已知全集U=x|x4,集合A=x|-2x3,B=x|-3x2,求AUB,UAB,UAUB. 分析:這是一類涉及集合補集關(guān)系的運算,解題的關(guān)鍵是先明確全集,根據(jù)補集的定義求出集合的補集,再根據(jù)交集、并

6、集的定義進行運算.,題型一,題型二,題型三,題型四,解:(1)因為U=三角形,A=直角三角形,所以UA=銳角三角形或鈍角三角形. (2)因為全集U=1,2,3,4,5,6,7,8,9,集合A=2,4,5,所以UA=1,3,6,7,8,9. 又因為B=1,4,5,所以UB=2,3,6,7,8,9. 所以UAUB=1,2,3,6,7,8,9. (3)首先在數(shù)軸上表示出全集U和集合A,B(如圖所示), 則UA=x|x-2或3x4,UB=x|x-3或2x4,所以AUB=x|2x3,UAB=x|x2或3x4,UAUB=U(AB)=x|x-2或2x4.,題型一,題型二,題型三,題型四,反思利用數(shù)軸求無限集

7、合在給定集合中的補集時,務(wù)必注意端點的“實”與“虛”,原集合中包含該端點時,在數(shù)軸上應(yīng)畫成實心點,此時其補集中就不能含有該端點了.,題型一,題型二,題型三,題型四,【變式訓(xùn)練1】 (1)已知全集U=整數(shù),集合M=偶數(shù),求UM; (2)已知全集U=0,1,2,3,4,5,6,集合A滿足UA=0,1,3,5,求A; (3)已知全集U=R,集合A=x|x4,B=x|-2x3,求AUB,UAB. 解:(1)依題意可得UM=奇數(shù); (2)因為UA=0,1,3,5,所以A=2,4,6; (3)由已知得UB=x|x-2或x3, 所以AUB=x|x4. 又因為UA=x|x4,所以UAB=x|x4.,題型一,題

8、型二,題型三,題型四,【例2】 設(shè)全集U=2,3,a2+2a-3,集合A=|a+1|,2,UA=5,求a的值. 分析:由條件UA=5,得5U,注意驗證結(jié)果是否滿足題意. 解:由UA=5,知a2+2a-3=5,解得a=-4或a=2. 當(dāng)a=-4時,U=2,3,5,A=3,2,滿足條件UA=5; 當(dāng)a=2時,U=2,3,5,A=3,2,滿足條件UA=5. 所以a的值為-4或2. 反思通過本題的解決,我們必須認(rèn)識到找準(zhǔn)解決問題的切入點是解題的關(guān)鍵,此題5U就是切入點,另外還要注意對AU及UA=5的檢驗.,題型一,題型二,題型三,題型四,【變式訓(xùn)練2】 已知集合A=x|xa,B=x|1x5,且ARB=

9、R,則實數(shù)a的取值范圍是. 解析:因為B=x|1x5,所以RB=x|x1或x5. 又ARB=R,結(jié)合數(shù)軸分析,可得a1. 答案:a1,題型一,題型二,題型三,題型四,【例3】 已知A=x|x2-2x-8=0,B=x|x2+ax+a2-12=0.若BAA,求實數(shù)a的取值范圍. 分析:BAA說明B不是A的子集,方程x2-2x-8=0的解為-2,4,則方程x2+ax+a2-12=0的實數(shù)解組成的集合可能出現(xiàn)以下幾種情況:-2是解,4不是解;4是解,-2不是解;-2和4都不是解.分別求解十分煩瑣,這時我們先由BA=A,求出a的取值范圍,再利用補集思想求解.,題型一,題型二,題型三,題型四,解:若BA=

10、A,則BA. 因為A=x|x2-2x-8=0=-2,4, 所以集合B有以下三種情況: 當(dāng)B=時,=a2-4(a2-12)16, 所以a4. 當(dāng)B是單元素集時,=a2-4(a2-12)=0, 所以a=-4或a=4. 若a=-4,則B=2A;若a=4,則B=-2A. 當(dāng)B=-2,4時,-2,4是方程x2+ax+a2-12=0的兩根, 綜上可知,當(dāng)BA=A時,a的取值范圍為a-4或a=-2或a4. 所以滿足BAA的實數(shù)a的取值范圍為a|-4a4,且a-2.,題型一,題型二,題型三,題型四,反思對于一些比較復(fù)雜、比較抽象、條件和結(jié)論之間的關(guān)系不明確、難以從正面入手的問題,在解題時,應(yīng)及時調(diào)整思路,從問

11、題的反面入手,探求已知和未知的關(guān)系,這樣能化難為易,化隱為顯,從而解決問題.,題型一,題型二,題型三,題型四,【變式訓(xùn)練3】 已知集合P=x|2x3-x2+2ax-3a0,若-1P,則實數(shù)a的取值范圍是.,題型一,題型二,題型三,題型四,題型一,題型二,題型三,題型四,所以UA=x|x1. 由圖可知, 當(dāng)a1時,UAB; 當(dāng)a1時,UAB. 所以實數(shù)a的取值范圍是a|a1. 反思求某一集合的補集,首先應(yīng)明確這一集合,最好不要急于對集合中的方程、不等式等進行對立面的轉(zhuǎn)化,這樣易出現(xiàn)轉(zhuǎn)化不等價的情況,再就是要充分利用維恩(Venn)圖或數(shù)軸表示集合來解決問題.,題型一,題型二,題型三,題型四,答案

12、:m2,1 2 3 4 5 6,1若集合U=1,2,3,4,5,A=1,2,B=2,3,4,則U(AB)等于() A.2B.5 C.1,2,3,4D.1,3,4,5 解析:AB=1,2,3,4,則U(AB)=5. 答案:B,1 2 3 4 5 6,2已知集合A=xR|-2-2D.x|2x-2. 答案:C,1 2 3 4 5 6,3若集合A,B都是全集U的子集,給出下列命題: 若AB=U,則A=B=U; 若AB=,則A=B=; 若AB=U,則UAUB=; 若AB=,則A=B=; 若AB=,則UAUB=U; 若AB=U,則A=B=U. 其中不正確命題的個數(shù)是() A.0B.2C.4D.6,1 2 3 4 5 6,解析:如果集合A,B中有一個為U的真子集,那么ABU,故A=B=U;若集合A,B中有一個不為空集,則AB,故A=B=;因為UAUB=U(AB),而AB=U,所以UAUB=U(AB)=;當(dāng)集合A,B中只要有一個為空集或兩個集合中沒有共同的元素,就有AB=,故不一定有A=B=;因為UAUB=U(AB),而AB=,所以UAUB=U(AB)=U;AB=U時,還有可能是A=,B=U等情況,不一定有A=B=U.因此,不正確的為. 答案:B,1 2 3