1、第38周 應用同余問題,同余這個概念最初是由偉大的德國數(shù)學家高斯發(fā)現(xiàn)的。同余的定義是這樣的：兩個整數(shù)a，b，如果它們除以同一自然數(shù)m所得的余數(shù)想同，則稱a，b對于模m同余。記作：ab（mod）。讀做：同余于模。比如，12除以5，47除以5，它們有相同的余數(shù)2，這時我們就說，對于除數(shù)5，12和47同余，記做1247（mod5）。 同余的性質比較多，主要有以下一些： 性質（1）：對于同一個出書，兩個數(shù)之和（或差）與它們的余數(shù)之和（或差）同余。比如：32除以5余數(shù)是2，19除以5余數(shù)是4，兩個余數(shù)的和是2+4=6?！?2+19”除以5的余數(shù)就恰好等于它們的余數(shù)和6除以5的余數(shù)。也就是說，對于除數(shù)5，

2、“32+19”與它們的余數(shù)和“2+4”同余，用符號表示就是：322（mod5），194（mod5），32+192+41（mod5）,一、知識要點,性質（2）：對于同意個除數(shù)，兩個數(shù)的乘積與它們余數(shù)的乘積同余。 性質（3）：對于同意個除數(shù)，如果有兩個整數(shù)同余，那么它們的差就一定能被這個除數(shù)整除。 性質（4）：對于同意個除數(shù)，如果兩個整數(shù)同余，那么它們的乘方仍然同余。 應用同余性質幾萼體的關鍵是要在正確理解的基礎上靈活運用同余性質。把求一個較大的數(shù)除以某數(shù)的余數(shù)問題轉化為求一個較小的數(shù)除以這個數(shù)的余數(shù)，使復雜的題變簡單，使困難的題變容易。,一、知識要點,【例題1】 求199259除以7的余數(shù)。 【

3、思路導航】 應用同余性質（2）可將199259轉化為求1992除以7和59除以7的余數(shù)的乘積，使計算簡化。1992除以7余4，59除以7余3。根據(jù)同余性質，“43”除以7的余數(shù)與“199259”除以7的余數(shù)應該是相同的，通過求“43”除以7的余數(shù)就可知道199259除以7的余數(shù)了。 因為199259435（mod 7） 所以199259除以7的余數(shù)是5。,二、精講精練,【練習1】1、求4217364除以6的余數(shù)。 2、求133965512除以13的余數(shù)。 3、求87943765283除以11的余數(shù)。,第38周 應用同余問題 瘋狂操練二,【例題2】已知2001年的國慶節(jié)是星期一，求2010年的國

4、慶節(jié)是星期幾？ 【思路導航】一星期有7天，要求2010年的國慶節(jié)是星期幾，就要求從2001年到2010年的國慶節(jié)的總天數(shù)被7除的余數(shù)就行了。但在甲酸中，如果我們能充分利用同余性質，就可以不必算出這個總天數(shù)。 2001年國慶節(jié)到2010年國慶節(jié)之間共有2個閏年7個平年，即有“3662+3657”天。因為3662224（mod 7），3657170（mod 7），3662+365722+174+04（mod 7）,【練習2】1、已知2002年元旦是星期二。求2008年元旦是星期幾？ 2、已知2002年的“七月一日”是星期一。求2015年的“十月一日”是星期幾？ 3、今天是星期四，再過365的15次

5、方是星期幾？,第38周 應用同余問題 瘋狂操練三,【例題3】求2001的2003次方除以13的余數(shù)。 【思路導航】2001除以13余12，即200112（mod 13）。根據(jù)同余性質（4），可知2001的2003次方12的2003次方（mod 13），但12的2003次方仍然是一個很大的值，要求它的余數(shù)比較困難。這時的關鍵就是要找出12的幾次方對模13與1是同余的。經(jīng)試驗可知12的平方1（mod 13），而200321001+1。所以（12的平方）的1001次方1的1001（mod 13），即12的2002次方1（mod 13），而12的2003次方12的2002次方12。根據(jù)同余性質（2）可

6、知12的2002次方1211212（mod 13） 因為：2001的2003次方12的2003次方（mod 13） 12的平方1（mod 13），而200321001+1 12的2003次方12的2002次方1211212（mod 13） 所以2001的2003次方除以13的余數(shù)是12。,【練習3】1、求12的200次方除以13的余數(shù)。 2、求3的92次方除以21余幾。 3、9個小朋友坐成一圈，要把35的7次方粒瓜子平均分給他們，最后剩下幾粒？,第38周 應用同余問題 瘋狂操練四,【例題4】自然數(shù)16520，14903，14177除以m的余數(shù)相同，m最大是多少？ 【思路導航】 自然數(shù)16520

7、，14903，14177除以m的余數(shù)相同，換句話說就是165201490314177（mod m）。根據(jù)同余性質（3），這三個餓數(shù)同余，那么它們的差就能被m整除。要求m最大是多少，就是求它們差的最大公約數(shù)是多少？ 因為1652014903=1617=37的平方11 1652014177=2343=31171 1490314177=726=2311的平方 m是這些差的公約數(shù)，m最大是311=33。,【練習4】1、若2836、4582、5164、6522四個整數(shù)都被同一個兩位數(shù)相除，所得的余數(shù)相同。除數(shù)是多少？ 2、一個整數(shù)除226、192、141都得到相同的余數(shù)，且余數(shù)不為0，這個整數(shù)是幾？ 3

8、、當1991和1769除以某一個自然數(shù)m時，余數(shù)分別為2和1，那么m最小是多少？,第38周 應用同余問題 瘋狂操練五,【例題5】某數(shù)用6除余3，用7除余5，用8除余1，這個數(shù)最小是幾？ 【思路導航】 我們可從較大的除數(shù)開始嘗試。首先考慮與1模8同余的數(shù)，91（mod 8），但9輸以7余數(shù)不是5，所以某數(shù)不是9。171（mod 8），17除以7的余數(shù)也不是5。251（mod 8），25除以7的余數(shù)也不是5。331（mod 8），33除以7的余數(shù)正好是5，而且33除以6余數(shù)正好是3，所以這個數(shù)最小是33。上面的方法實際是一種列舉法，也可以簡化為下面的格式： 被8除余1的數(shù)有：9，17，25，33，41，49，57，65，73，81，89，其中被7除余5的數(shù)有：33，89，這些數(shù)中被6除余3的數(shù)最小是33。,【練習5】1、某數(shù)除以7余1，除以5余1，除以12余9。這個數(shù)最小是幾？ 2、某數(shù)除以7余6，除以5余1，除以11余3，求此數(shù)最小值。 3、在一個圓