1、1.3.2函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)課時(shí)演練促提升A組1.函數(shù)f(x)=-x3+x2+2x取極小值時(shí),x的值是()A.2B.-1和2C.-1D.-3解析:f(x)=-x2+x+2=-(x+1)(x-2),則在區(qū)間(-,-1)和(2,+)上,f(x)0,故當(dāng)x=-1時(shí),f(x)取極小值.答案:C2.函數(shù)f(x)=x3-3x2-9x(-2x2)有()A.極大值5,極小值-27B.極大值5,極小值-11C.極大值5,無(wú)極小值D.極小值-27,無(wú)極大值解析:f(x)=x3-3x2-9x,f(x)=3x2-6x-9=3(x2-2x-3).令f(x)=0得x=3或x=-1.當(dāng)x(-2,2)時(shí),f(x)在(-2,-1

2、)上是增函數(shù),在(-1,2)上是減函數(shù),故f(x)在(-2,2)內(nèi)有極大值f(-1)=-1-3+9=5,而無(wú)極小值,故選C.答案:C3.對(duì)任意的xR,函數(shù)f(x)=x3+ax2+7ax不存在極值點(diǎn)的充要條件是()A.a=0或a=21B.0a21C.a21D.0a0),則y=f(x)()A.在區(qū)間,(1,e)內(nèi)均有零點(diǎn)B.在區(qū)間,(1,e)內(nèi)均無(wú)零點(diǎn)C.在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn),在區(qū)間(1,e)內(nèi)無(wú)零點(diǎn)D.在區(qū)間內(nèi)無(wú)零點(diǎn),在區(qū)間(1,e)內(nèi)有零點(diǎn)解析:f(x)=,令f(x)=0,得x=3,當(dāng)0x3時(shí),f(x)0,f(e)=-10,所以y=f(x)在區(qū)間內(nèi)無(wú)零點(diǎn),在區(qū)間(1,e)內(nèi)有零點(diǎn).答案:D6.已知函

3、數(shù)f(x)=ax3+bx2+6,其導(dǎo)數(shù)f(x)的圖象如圖所示,則函數(shù)的極小值是.解析:依題意f(x)=3ax2+2bx.由題圖象可知,當(dāng)x0時(shí),f(x)0,當(dāng)0x0,故x=0時(shí)函數(shù)f(x)取極小值f(0)=6.答案:67.若a0,b0,且函數(shù)f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1處有極值,則ab的最大值等于.解析:f(x)=12x2-2ax-2b,f(x)在x=1處有極值,f(1)=12-2a-2b=0,即a+b=6.又a0,b0,ab=9,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=3時(shí)等號(hào)成立.ab的最大值為9.答案:98.設(shè)f(x)=aln x+x+1,其中aR,曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1)處的切線垂直

4、于y軸.(1)求a的值;(2)求函數(shù)f(x)的極值.解:(1)因f(x)=aln x+x+1,故f(x)=.由于曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1)處的切線垂直于y軸,故該切線斜率為0,即f(1)=0,從而a-=0,解得a=-1.(2)由(1)知f(x)=-ln x+x+1(x0),f(x)=-=.令f(x)=0,解得x1=1,x2=-不在定義域內(nèi),舍去.當(dāng)x(0,1)時(shí),f(x)0,故f(x)在(1,+)上為增函數(shù).故f(x)在x=1處取得極小值f(1)=3.9.設(shè)x=1與x=2是函數(shù)f(x)=aln x+bx2+x的兩個(gè)極值點(diǎn).(1)試確定常數(shù)a和b的值;(2)判斷x=1,x=2是函數(shù)f(x

5、)的極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn),并說(shuō)明理由.解:(1)f(x)=aln x+bx2+x,f(x)=+2bx+1.由題意可知f(1)=f(2)=0,解方程組得a=-,b=-.(2)由(1),知f(x)=-ln x-x2+x,f(x)=-x-1-x+1.當(dāng)x(0,1)時(shí),f(x)0,當(dāng)x(2,+)時(shí),f(x)1時(shí),f(x)0;在x=1附近的左側(cè),f(x)0,所以f(1)是極小值.答案:C2.函數(shù)y=x3-2ax+a在(0,1)內(nèi)有極小值,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.(0,3)B.(-,3)C.(0,+)D.解析:y=3x2-2a,函數(shù)在(0,1)內(nèi)有極小值,y=3x2-2a=0在(0,1)內(nèi)必有實(shí)數(shù)解,

6、記f(x)=3x2-2a,如圖,解得0a0;當(dāng)x(-2,-ln 2)時(shí),f(x)0,x取足夠小的負(fù)數(shù)時(shí),有f(x)0,所以曲線y=f(x)與x軸至少有一個(gè)交點(diǎn).由(1)知f(x)極大值=f+a,f(x)極小值=f(1)=a-1.因?yàn)榍€y=f(x)與x軸僅有一個(gè)交點(diǎn),所以f(x)極大值0,即+a0,所以a1,所以當(dāng)a(1,+)時(shí),曲線y=f(x)與x軸僅有一個(gè)交點(diǎn).6.已知函數(shù)f(x)=x-aln x(aR).(1)當(dāng)a=2時(shí),求曲線y=f(x)在點(diǎn)A(1,f(1)處的切線方程;(2)求函數(shù)f(x)的極值.解:函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+),f(x)=1-.(1)當(dāng)a=2時(shí),f(x)=x-2ln x,f(x)=1-(x0),因而f(1)=1,f(1)=-1,所以曲線y=f(x)在點(diǎn)A(1,f(1)處的切線方程為y-1=-(x-1),即x+y-2=0.(2)由f(x)=1-,x0知:當(dāng)a0時(shí),f(x)0,函數(shù)f(x)為(0,+)上的增函數(shù),函數(shù)f(x)無(wú)極值;當(dāng)a0時(shí),由f(x)=0,解得x=a,又當(dāng)x(0,a