1、,第九章 排列、組合、二項(xiàng)式定理,一 排列與組合,第一課 基本原理,例1 從甲地到乙地,可以乘火車,也可以乘汽車,還可以乘輪船。一天中，火車有4班，汽車有2班，輪船有3班。那麼，一天中乘坐這些交通工具從甲地到乙地共有多少種不同的走法？,解：因?yàn)橐惶熘谐嘶疖囉?種走法，乘汽車有2種走法，乘輪船有3種走法，每一種走法都可以從甲地到乙地，因此，一天中乘坐這些交通工具從甲地到乙地共有 4+2+3=9 種不同的走法。,加法原理：,做一件事，完成它可以有 n 類辦法，在第一類辦法中有m1種不同的方法，在第二類辦法中有m2種不同的方法， ，在第n類辦法中有mn種不同的方法。那么完成這件事共有 N= m1+

2、m2+ + mn 種不同的方法。,例2 由 A 村去 B 村的道路有3條，由 B 村去 C 村的道路 有2條。從 A 村經(jīng) B 村去 C 村，共有多少種不同的走法？,解：從A 村去 B 村有3種不同的走法，按這3種走法中的每一種走法到達(dá)B村后，再?gòu)?B村到達(dá)C 村又有2種不同的走法。因此，從 A 村經(jīng) B 村去 C 村共有 3 2 = 6 種不同的走法。,乘法原理：,做一件事，完成它需要分成n個(gè)步驟，做第一步有m1種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法， ，做第n步有mn種不同的方法。那么完成這件事共有 N= m1 m2 mn 種不同的方法。,加法原理：做一件事，完成它可以有 n 類辦法，在

3、第一類辦法中有m1種不同的方法，在第一類辦法中有m2種不同的方法， ，在第n類辦法中有mn種不同的方法。那麼完成這件事共有 N= m1+ m2+ + mn 種不同的方法。 乘法原理：做一件事，完成它需要分成n個(gè)步驟，做第一步有m1種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法， ，做第n步有mn種不同的方法。那麼完成這件事共有 N= m1 m2 mn 種不同的方法。,兩個(gè)原理的 共同點(diǎn)： 不同點(diǎn)：,都是把一個(gè)事件分解成若干個(gè)分事件來完成；,前者分類，后者分步； 如果分事件相互獨(dú)立,分類完備,就用加法原理； 如果分事件相互關(guān)聯(lián),缺一不可,就用乘法原理。,例1 書架上層放有 6 本不同的數(shù)學(xué)書，下層放有

4、 5 本不同的語(yǔ)文書。 從中任取一本，共有多少種不同的取法？ 從中任取數(shù)學(xué)書與語(yǔ)文書各一本，共有多少種不同的取法？,解：從書架上任取一本書，有兩類辦法： 第一類辦法是從上層取數(shù)學(xué)書，可以從 6 本書中任取一本，有 6 種取法； 第二類辦法是從下層取語(yǔ)文書，可以從5本書中任取一本，有5 種取法。 根據(jù)加法原理，得到不同的取法的種數(shù)是： N = m1+ m2 = 6+5=11 答：從書架上任取一本書，有11種不同的取法。,解: 從書架上任取數(shù)學(xué)書與語(yǔ)文書各一本,可以分成兩個(gè)步驟完成： 第一步取一本數(shù)學(xué)書，有6種方法；第二步取一本語(yǔ)文書，有5種方法。根據(jù)乘法原理，得到不同的取法的種數(shù)是： N= m1

5、 m2 = 65 = 30 答: 從書架上取數(shù)學(xué)書與語(yǔ)文書各一本，共有30 種不同的取法。,例1 書架上層放有 6 本不同的數(shù)學(xué)書，下層放有 5 本不同的語(yǔ)文書。 從中任取一本，共有多少種不同的取法？ 從中任取數(shù)學(xué)書與語(yǔ)文書各一本，共有多少種不同的取法？,例2 有數(shù)字 1，2，3，4，5 可以組成多少個(gè)三位數(shù)（各位上的數(shù)字許重復(fù)）？,解：要組成一個(gè)三位數(shù)可以分成三個(gè)步驟完成： 第一步確定百位上的數(shù)字，從5個(gè)數(shù)字中任選一個(gè)數(shù)字，共有5種選法； 第二步確定十位上的數(shù)字，由于數(shù)字允許重復(fù)，這仍有5種選法； 第二步確定十位上的數(shù)字，同理，它也有5種選法。 根據(jù)乘法原理，得到組成的三位數(shù)的個(gè)數(shù)是： N

6、= 5 5 5 = 53 = 125 答：可以組成125個(gè)三位數(shù)。,例3 有不同的語(yǔ)文書9本，不同的數(shù)學(xué)書7本，不同的物理書5本，從中任取兩種不同類的書，共有多少種不同的取法？,解：每次取出的兩本書中： 含 1 本語(yǔ)文書和 1 本數(shù)學(xué)書的共有 9 7 = 63 種取法； 含 1 本數(shù)學(xué)書和 1 本物理書的共有 7 5 = 35 種取法； 含 1 本語(yǔ)文書和 1 本物理書的共有 9 5 = 45 種取法。,由加法原理得 63 + 35 + 45 = 143,答：共有 143 種取法。,一類易混問題,映射問題,染色問題,用5種不同的顏色給圖中A、B、C、D四個(gè)區(qū)域涂色，規(guī)定每個(gè)區(qū)域只涂一種顏色，相

7、鄰區(qū)域涂不同顏色，求有多少種不同涂色方法？,例1,4名同學(xué)去爭(zhēng)奪三項(xiàng)冠軍，不允許并列，則有多少種情況？,例2,在所有的兩位數(shù)中，個(gè)位數(shù)字比十位數(shù)字大的兩位數(shù)有多少？,例3,例4,甲、乙兩個(gè)自然數(shù)的最大公約數(shù)為60，則甲、乙兩數(shù)的公約數(shù)共有多少個(gè)？,練習(xí)1： 1 一件工作可以用兩種方法完成。有5人會(huì)用第一種方法完成，另有4人會(huì)用第二種方法完成。選出一個(gè)人來完成這件工作，共有多少種選法？ 2 在讀書活動(dòng)中，一個(gè)學(xué)生要從2本科技書，2本政治書，3本文藝術(shù)里任選一本，共有多少種不同的選法？ 3乘積( a1+ a 2+ a 3 )( b1 + b 2 + b3 + b4 )(c1 + c2 + c3 +

8、 c4 + 5 )展開后共有項(xiàng)？,4 + 5 = 9,2 + 2 + 3 = 7,練習(xí)題2：,書架的上層放有 5 本不同的數(shù)學(xué)書，中層放有6本不同的語(yǔ)文書，下層放有4本不同的英語(yǔ)書，從中任取1 本書的不同取法的種數(shù)是 （ ） A. 5 + 64 = 15 B. 1 C. 654 = 120 D. 3,A,在上題中,如果從中任取3本,數(shù)學(xué),語(yǔ)文,英語(yǔ)各一本,則不同取法的種數(shù)是 ( ) A. 1 + 1 + 1 = 3 B.5 + 6 + 4 =15 C. 564 = 120 D. 1,C,把四封信任意投入三個(gè)信箱中,不同投法種數(shù)是 ( ) A. 12 B.64 C.81 D.7,C,4 火車上有

9、10名乘客，沿途有5個(gè)車站，乘客下車的可能方式有 （ ）種 A. 510 B. 105 C. 50 D. 以上都不對(duì),A,總結(jié)： 加法原理：做一件事，完成它可以有 n 類辦法，在第一類辦法中有m1種不同的方法，在第一類辦法中有m2種不同的方法， ，在第n類辦法中有mn種不同的方法。那麼完成這件事共有 N= m1+ m2+ + mn 種不同的方法。 乘法原理：做一件事，完成它需要分成n個(gè)步驟，做第一步有m1種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法， ，做第n步有mn種不同的方法。那麼完成這件事共有 N= m1 m2 mn 種不同的方法。 加法原理和乘法原理的 共同點(diǎn)：都是把一個(gè)事件分解成若干個(gè)分事件來完成； 不同點(diǎn)：前者分類，后者分