1、7.3空間中的平行關(guān)系與垂直關(guān)系,20102019年高考全國(guó)卷考情一覽表,考點(diǎn)82,考點(diǎn)83,考點(diǎn)84,考點(diǎn)82空間中的平行關(guān)系 1.(2019全國(guó)1,文19,12分,難度)如圖,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形,AA1=4,AB=2,BAD=60,E,M,N分別是BC,BB1,A1D的中點(diǎn). (1)證明:MN平面C1DE; (2)求點(diǎn)C到平面C1DE的距離.,考點(diǎn)82,考點(diǎn)83,考點(diǎn)84,(1)證明連接B1C,ME.,由題設(shè)知A1B1DC,可得B1CA1D,故MEND, 因此四邊形MNDE為平行四邊形,MNED. 又MN平面C1DE,所以MN平面C1DE. (2)解過(guò)C作C1E

2、的垂線,垂足為H. 由已知可得DEBC,DEC1C,所以DE平面C1CE,故DECH. 從而CH平面C1DE,故CH的長(zhǎng)即為C到平面C1DE的距離. 由已知可得CE=1,C1C=4,考點(diǎn)82,考點(diǎn)83,考點(diǎn)84,2.(2017全國(guó)2,文18,12分,難度)如圖,四棱錐P-ABCD中,側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD, AB=BC= AD,BAD=ABC=90. (1)證明:直線BC平面PAD; (2)若PCD的面積為2 ,求四棱錐P-ABCD的體積.,(1)證明在平面ABCD內(nèi),因?yàn)锽AD=ABC=90,所以BCAD.又BC平面PAD,AD平面PAD,故BC平面PAD.,考點(diǎn)82,考

3、點(diǎn)83,考點(diǎn)84,(2)解取AD的中點(diǎn)M,連接PM,CM. 由AB=BC= AD及BCAD,ABC=90得四邊形ABCM為正方形, 則CMAD. 因?yàn)閭?cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD,平面PAD平面 ABCD=AD, 所以PMAD,PM底面ABCD. 因?yàn)镃M底面ABCD,所以PMCM.,取CD的中點(diǎn)N,連接PN,則PNCD,考點(diǎn)82,考點(diǎn)83,考點(diǎn)84,3.(2017浙江,19,12分,難度)如圖,已知四棱錐P-ABCD,PAD是以AD為斜邊的等腰直角三角形,BCAD,CDAD,PC=AD=2DC=2CB,E為PD的中點(diǎn). (1)證明:CE平面PAB; (2)求直線CE與平面PBC

4、所成角的正弦值.,考點(diǎn)82,考點(diǎn)83,考點(diǎn)84,(1)證明如圖,設(shè)PA中點(diǎn)為F,連接EF,FB. 因?yàn)镋,F分別為PD,PA中點(diǎn), 所以EFAD且EF= AD, 又因?yàn)锽CAD,BC= AD, 所以EFBC且EF=BC, 即四邊形BCEF為平行四邊形,所以CEBF. 因此CE平面PAB.,(2)解分別取BC,AD的中點(diǎn)為M,N,連接PN交EF于點(diǎn)Q,連接MQ, 因?yàn)镋,F,N分別是PD,PA,AD的中點(diǎn),所以Q為EF中點(diǎn). 在平行四邊形BCEF中,MQCE. 由PAD為等腰直角三角形得PNAD. 由DCAD,N是AD的中點(diǎn)得BNAD. 所以AD平面PBN. 由BCAD得BC平面PBN,考點(diǎn)82

5、,考點(diǎn)83,考點(diǎn)84,那么平面PBC平面PBN. 過(guò)點(diǎn)Q作PB的垂線,垂足為H,連接MH. MH是MQ在平面PBC上的射影, 所以QMH是直線CE與平面PBC所成的角. 設(shè)CD=1.,考點(diǎn)82,考點(diǎn)83,考點(diǎn)84,4.(2016全國(guó)3,文19,12分,難度)如圖,四棱錐P-ABCD中,PA底面ABCD,ADBC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M為線段AD上一點(diǎn),AM=2MD,N為PC的中點(diǎn).,(1)證明MN平面PAB; (2)求四面體N-BCM的體積.,考點(diǎn)82,考點(diǎn)83,考點(diǎn)84,(1)證明由已知得AM= AD=2.取BP的中點(diǎn)T,連接AT,TN,由N為PC中點(diǎn)知TNBC,TN= B

6、C=2. 又ADBC,故TNAM, 四邊形AMNT為平行四邊形, 于是MNAT. 因?yàn)锳T平面PAB,MN平面PAB,所以MN平面PAB. (2)解因?yàn)镻A平面ABCD,N為PC的中點(diǎn),所以N到平面ABCD的距離為 PA. 取BC的中點(diǎn)E,連接AE.,考點(diǎn)82,考點(diǎn)83,考點(diǎn)84,5.(2016山東,文18,12分,難度)在如圖所示的幾何體中,D是AC的中點(diǎn),EFDB. (1)已知AB=BC,AE=EC.求證:ACFB; (2)已知G,H分別是EC和FB的中點(diǎn).求證:GH平面ABC.,考點(diǎn)82,考點(diǎn)83,考點(diǎn)84,證明(1)因?yàn)镋FDB, 所以EF與DB確定平面BDEF.連接DE. 因?yàn)锳E=

7、EC,D為AC的中點(diǎn),所以DEAC. 同理可得BDAC. 又BDDE=D,所以AC平面BDEF. 因?yàn)镕B平面BDEF, 所以ACFB. (2)設(shè)FC的中點(diǎn)為I,連接GI,HI.在CEF中,因?yàn)镚是CE的中點(diǎn),所以GIEF. 又EFDB,所以GIDB. 在CFB中,因?yàn)镠是FB的中點(diǎn),所以HIBC. 又HIGI=I, 所以平面GHI平面ABC. 因?yàn)镚H平面GHI,所以GH平面ABC.,考點(diǎn)82,考點(diǎn)83,考點(diǎn)84,在解決線面、面面平行的判定問題時(shí),一般遵循從“低維”到“高維”的轉(zhuǎn)化,即從“線線平行”到“線面平行”,再到“面面平行”;而在應(yīng)用性質(zhì)定理時(shí),其順序恰好相反,但也要注意,轉(zhuǎn)化的方向是

8、由題目的具體條件而定,決不可過(guò)于“模式化”.,考點(diǎn)82,考點(diǎn)83,考點(diǎn)84,6.(2015全國(guó)2,文19,12分,難度)如圖,長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,點(diǎn)E,F分別在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4,過(guò)點(diǎn)E,F的平面與此長(zhǎng)方體的面相交,交線圍成一個(gè)正方形. (1)在圖中畫出這個(gè)正方形(不必說(shuō)明畫法和理由); (2)求平面把該長(zhǎng)方體分成的兩部分體積的比值.,考點(diǎn)82,考點(diǎn)83,考點(diǎn)84,解(1)交線圍成的正方形EHGF如圖: (2)作EMAB,垂足為M, 則AM=A1E=4,EB1=12,EM=AA1=8. 因?yàn)镋HGF為正方形,所以EH=E

9、F=BC=10. 因?yàn)殚L(zhǎng)方體被平面分成兩個(gè)高為10的直棱柱,所以其體積的比值,考點(diǎn)82,考點(diǎn)83,考點(diǎn)84,7.(2014全國(guó)2,文18,12分,難度)如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,PA平面ABCD,E為PD的中點(diǎn). (1)證明:PB平面AEC; (2)設(shè)AP=1,AD= ,三棱錐P-ABD的體積V= ,求A到平面PBC的距離.,考點(diǎn)82,考點(diǎn)83,考點(diǎn)84,(1)證明設(shè)BD與AC的交點(diǎn)為O,連接EO. 因?yàn)锳BCD為矩形,所以O(shè)為BD的中點(diǎn). 又E為PD的中點(diǎn),所以EOPB. EO平面AEC,PB平面AEC, 所以PB平面AEC.,作AHPB交PB于H, 由題設(shè)知BC平面P

10、AB,所以BCAH. 故AH平面PBC.,考點(diǎn)82,考點(diǎn)83,考點(diǎn)84,8.(2014安徽,文19,12分,難度)如圖,四棱錐P-ABCD的底面是邊長(zhǎng)為8的正方形,四條側(cè)棱長(zhǎng)均為2 .點(diǎn)G,E,F,H分別是棱PB,AB,CD,PC上共面的四點(diǎn),平面GEFH平面ABCD,BC平面GEFH. (1)證明:GHEF; (2)若EB=2,求四邊形GEFH的面積.,(1)證明因?yàn)锽C平面GEFH,BC平面PBC,且平面PBC平面GEFH=GH,所以GHBC. 同理可證:EFBC,因此GHEF.,考點(diǎn)82,考點(diǎn)83,考點(diǎn)84,(2)解連接AC,BD交于點(diǎn)O,BD交EF于點(diǎn)K,連接OP,GK. 因?yàn)镻A=P

11、C,O是AC的中點(diǎn), 所以POAC,同理可得POBD. 又BDAC=O,且AC,BD都在底面內(nèi), 所以PO底面ABCD. 又因?yàn)槠矫鍳EFH平面ABCD, 且PO平面GEFH, 所以PO平面GEFH. 因?yàn)槠矫鍼BD平面GEFH=GK, 所以POGK,且GK底面ABCD, 從而GKEF.所以GK是梯形GEFH的高. 由AB=8,EB=2,得EBAB=KBDB=14,考點(diǎn)82,考點(diǎn)83,考點(diǎn)84,考點(diǎn)82,考點(diǎn)83,考點(diǎn)84,9.(2013全國(guó)2,文18,12分,難度)如圖,直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分別是AB,BB1的中點(diǎn). (1)證明:BC1平面A1CD; (2)設(shè)AA1=AC=

12、CB=2,AB=2 ,求三棱錐C-A1DE的體積.,考點(diǎn)82,考點(diǎn)83,考點(diǎn)84,(1)證明連接AC1交A1C于點(diǎn)F,則F為AC1中點(diǎn). 又D是AB中點(diǎn),連接DF,則BC1DF. 因?yàn)镈F平面A1CD,BC1平面A1CD, 所以BC1平面A1CD. (2)解因?yàn)锳BC-A1B1C1是直三棱柱,所以AA1CD. 由已知AC=CB,D為AB的中點(diǎn),所以CDAB. 又AA1AB=A,于是CD平面ABB1A1.,考點(diǎn)82,考點(diǎn)83,考點(diǎn)84,考點(diǎn)83空間中的垂直關(guān)系 1.(2019全國(guó)2,文17,12分,難度)如圖,長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,點(diǎn)E在棱AA1上,BEEC1.

13、 (1)證明:BE平面EB1C1; (2)若AE=A1E,AB=3,求四棱錐E-BB1C1C的體積.,考點(diǎn)82,考點(diǎn)83,考點(diǎn)84,(1)證明由已知得B1C1平面ABB1A1,BE平面ABB1A1,故B1C1BE.又BEEC1,所以BE平面EB1C1. (2)解由(1)知BEB1=90.由題設(shè)知RtABERtA1B1E, 所以AEB=A1EB1=45,故AE=AB=3,AA1=2AE=6. 作EFBB1,垂足為F,則EF平面BB1C1C,且EF=AB=3. 所以,四棱錐E-BB1C1C的體積V= 363=18.,考點(diǎn)82,考點(diǎn)83,考點(diǎn)84,2.(2019江蘇,16,14分,難度)如圖,在直三

14、棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分別為BC,AC的中點(diǎn),AB=BC. 求證:(1)A1B1平面DEC1; (2)BEC1E.,考點(diǎn)82,考點(diǎn)83,考點(diǎn)84,證明(1)因?yàn)镈,E分別為BC,AC的中點(diǎn), 所以EDAB. 在直三棱柱ABC-A1B1C1中,ABA1B1, 所以A1B1ED. 又因?yàn)镋D平面DEC1,A1B1平面DEC1, 所以A1B1平面DEC1. (2)因?yàn)锳B=BC,E為AC的中點(diǎn), 所以BEAC. 因?yàn)槿庵鵄BC-A1B1C1是直棱柱, 所以C1C平面ABC. 又因?yàn)锽E平面ABC,所以C1CBE. 因?yàn)镃1C平面A1ACC1,AC平面A1ACC1,C1CAC=C, 所以

15、BE平面A1ACC1. 因?yàn)镃1E平面A1ACC1,所以BEC1E.,考點(diǎn)82,考點(diǎn)83,考點(diǎn)84,3.(2018北京,文18,14分,難度)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,平面PAD平面ABCD,PAPD,PA=PD,E,F分別為AD,PB的中點(diǎn). (1)求證:PEBC; (2)求證:平面PAB平面PCD; (3)求證:EF平面PCD.,考點(diǎn)82,考點(diǎn)83,考點(diǎn)84,證明(1)PA=PD,且E為AD的中點(diǎn),PEAD. 底面ABCD為矩形,BCAD,PEBC. (2)底面ABCD為矩形,ABAD. 平面PAD平面ABCD,AB平面PAD. ABPD.又PAPD,PAAB=A,

16、 PD平面PAB.PD平面PCD,平面PAB平面PCD. (3)如圖,取PC的中點(diǎn)G,連接FG,GD.,F,G分別為PB和PC的中點(diǎn), FGBC,且FG= 1 2 BC. 四邊形ABCD為矩形,且E為AD的中點(diǎn), EDBC,ED= 1 2 BC,EDFG,且ED=FG, 四邊形EFGD為平行四邊形,EFGD. 又EF平面PCD,GD平面PCD,EF平面PCD.,考點(diǎn)82,考點(diǎn)83,考點(diǎn)84,4.(2018江蘇,15,14分,難度)在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB,AB1B1C1. 求證:(1)AB平面A1B1C; (2)平面ABB1A1平面A1BC.,考點(diǎn)82,考點(diǎn)83,

17、考點(diǎn)84,證明(1)在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,ABA1B1.因?yàn)锳B平面A1B1C,A1B1平面A1B1C, 所以AB平面A1B1C. (2)在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,四邊形ABB1A1為平行四邊形.又因?yàn)锳A1=AB,所以四邊形ABB1A1為菱形,因此AB1A1B. 又因?yàn)锳B1B1C1,BCB1C1,所以AB1BC. 又因?yàn)锳1BBC=B,A1B平面A1BC,BC平面A1BC,所以AB1平面A1BC. 因?yàn)锳B1平面ABB1A1, 所以平面ABB1A1平面A1BC.,考點(diǎn)82,考點(diǎn)83,考點(diǎn)84,5.(2017全國(guó)1,文18,12分,難度) 如圖,在四棱錐P

18、-ABCD中,ABCD,且BAP=CDP=90. (1)證明:平面PAB平面PAD; (2)若PA=PD=AB=DC,APD=90,且四棱錐P-ABCD的體積為 ,求該四棱錐的側(cè)面積.,考點(diǎn)82,考點(diǎn)83,考點(diǎn)84,(1)證明由已知BAP=CDP=90,得ABAP,CDPD.由于ABCD,故ABPD,從而AB平面PAD.又AB平面PAB,所以平面PAB平面PAD. (2)解在平面PAD內(nèi)作PEAD,垂足為E. 由(1)知,AB平面PAD,故ABPE,可得PE平面ABCD.,考點(diǎn)82,考點(diǎn)83,考點(diǎn)84,6.(2017全國(guó)3,文19,12分,難度)如圖,四面體ABCD中,ABC是正三角形,AD=

19、CD. (1)證明:ACBD; (2)已知ACD是直角三角形,AB=BD,若E為棱BD上與D不重合的點(diǎn),且AEEC,求四面體ABCE與四面體ACDE的體積比.,考點(diǎn)82,考點(diǎn)83,考點(diǎn)84,(1)證明取AC的中點(diǎn)O,連接DO,BO.因?yàn)锳D=CD,所以ACDO.又由于ABC是正三角形,所以ACBO.從而AC平面DOB,故ACBD. (2)解連接EO. 由(1)及題設(shè)知ADC=90,所以DO=AO. 在RtAOB中,BO2+AO2=AB2.又AB=BD,所以BO2+DO2=BO2+AO2=AB2=BD2,故DOB=90. 由題設(shè)知AEC為直角三角形,所以EO= AC. 又ABC是正三角形,且AB

20、=BD,所以EO= BD. 故E為BD的中點(diǎn),從而E到平面ABC的距離為D到平面ABC的距離的 ,四面體ABCE的體積為四面體ABCD的體積的 ,即四面體ABCE與四面體ACDE的體積之比為11.,考點(diǎn)82,考點(diǎn)83,考點(diǎn)84,7.(2017山東,文18,12分,難度)由四棱柱ABCD-A1B1C1D1截去三棱錐C1-B1CD1后得到的幾何體如圖所示.四邊形ABCD為正方形,O為AC與BD的交點(diǎn),E為AD的中點(diǎn),A1E平面ABCD. (1)證明:A1O平面B1CD1; (2)設(shè)M是OD的中點(diǎn),證明:平面A1EM平面B1CD1.,考點(diǎn)82,考點(diǎn)83,考點(diǎn)84,證明(1)取B1D1的中點(diǎn)O1,連接

21、CO1,A1O1,由于ABCD-A1B1C1D1是四棱柱,所以A1O1OC,A1O1=OC,因此四邊形A1OCO1為平行四邊形,所以A1OO1C. 又O1C平面B1CD1,A1O平面B1CD1,所以A1O平面B1CD1. (2)因?yàn)锳CBD,E,M分別為AD和OD的中點(diǎn),所以EMBD,又A1E平面ABCD,BD平面ABCD. 所以A1EBD,因?yàn)锽1D1BD,所以EMB1D1,A1EB1D1.又A1E,EM平面A1EM,A1EEM=E, 所以B1D1平面A1EM, 又B1D1平面B1CD1, 所以平面A1EM平面B1CD1.,考點(diǎn)82,考點(diǎn)83,考點(diǎn)84,8.(2017江蘇,15,12分,難度

22、)如圖,在三棱錐A-BCD中,ABAD,BCBD,平面ABD平面BCD,點(diǎn)E,F(E與A,D不重合)分別在棱AD,BD上,且EFAD. 求證:(1)EF平面ABC; (2)ADAC.,考點(diǎn)82,考點(diǎn)83,考點(diǎn)84,證明(1)在平面ABD內(nèi),因?yàn)锳BAD,EFAD, 所以EFAB.又因?yàn)镋F平面ABC,AB平面ABC, 所以EF平面ABC. (2)因?yàn)槠矫鍭BD平面BCD, 平面ABD平面BCD=BD,BC平面BCD,BCBD,所以BC平面ABD. 因?yàn)锳D平面ABD,所以BCAD. 又ABAD,BCAB=B,AB平面ABC,BC平面ABC,所以AD平面ABC. 又因?yàn)锳C平面ABC,所以ADA

23、C.,考點(diǎn)82,考點(diǎn)83,考點(diǎn)84,9.(2017北京,文18,12分,難度)如圖,在三棱錐P-ABC中,PAAB,PABC,ABBC,PA=AB=BC=2,D為線段AC的中點(diǎn),E為線段PC上一點(diǎn). (1)求證:PABD; (2)求證:平面BDE平面PAC; (3)當(dāng)PA平面BDE時(shí),求三棱錐E-BCD的體積.,考點(diǎn)82,考點(diǎn)83,考點(diǎn)84,(1)證明因?yàn)镻AAB,PABC,所以PA平面ABC. 又因?yàn)锽D平面ABC,所以PABD. (2)證明因?yàn)锳B=BC,D為AC中點(diǎn),所以BDAC. 由(1)知,PABD,所以BD平面PAC. 所以平面BDE平面PAC. (3)解因?yàn)镻A平面BDE,平面P

24、AC平面BDE=DE,所以PADE.因?yàn)镈為AC的中點(diǎn),考點(diǎn)82,考點(diǎn)83,考點(diǎn)84,10.(2016全國(guó)1,文18,12分,難度) 如圖,已知正三棱錐P-ABC的側(cè)面是直角三角形,PA=6.頂點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的正投影為點(diǎn)D,D在平面PAB內(nèi)的正投影為點(diǎn)E,連接PE并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)G. (1)證明:G是AB的中點(diǎn); (2)在題圖中作出點(diǎn)E在平面PAC內(nèi)的正投影F(說(shuō)明作法及理由),并求四面體PDEF的體積.,考點(diǎn)82,考點(diǎn)83,考點(diǎn)84,(1)證明因?yàn)镻在平面ABC內(nèi)的正投影為D, 所以ABPD. 因?yàn)镈在平面PAB內(nèi)的正投影為E,所以ABDE. 所以AB平面PED,故ABPG. 又由已知可

25、得,PA=PB,從而G是AB的中點(diǎn). (2)解在平面PAB內(nèi),過(guò)點(diǎn)E作PB的平行線交PA于點(diǎn)F,F即為E在平面PAC內(nèi)的正投影.,理由如下:由已知可得PBPA,PBPC, 又EFPB,所以EFPA,EFPC. 因此EF平面PAC,即點(diǎn)F為E在平面PAC 內(nèi)的正投影. 連接CG,因?yàn)镻在平面ABC內(nèi)的正投影為D,所以D是正三角形ABC的中心.,考點(diǎn)82,考點(diǎn)83,考點(diǎn)84,由(1)知,G是AB的中點(diǎn),所以D在CG上,由題設(shè)可得PC平面PAB,DE平面PAB,由已知,正三棱錐的側(cè)面是直角三角形且PA=6,可得,考點(diǎn)82,考點(diǎn)83,考點(diǎn)84,11.(2016江蘇,16,12分,難度)如圖,在直三棱柱

26、ABC-A1B1C1中,D,E分別為AB,BC的中點(diǎn),點(diǎn)F在側(cè)棱B1B上,且B1DA1F,A1C1A1B1. 求證:(1)直線DE平面A1C1F; (2)平面B1DE平面A1C1F.,考點(diǎn)82,考點(diǎn)83,考點(diǎn)84,證明(1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C1AC. 在ABC中,因?yàn)镈,E分別為AB,BC的中點(diǎn), 所以DEAC,于是DEA1C1. 又因?yàn)镈E平面A1C1F,A1C1平面A1C1F, 所以直線DE平面A1C1F. (2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1A平面A1B1C1. 因?yàn)锳1C1平面A1B1C1,所以A1AA1C1. 又因?yàn)锳1C1A1B1,A1A平面ABB1A

27、1,A1B1平面ABB1A1,A1AA1B1=A1, 所以A1C1平面ABB1A1. 因?yàn)锽1D平面ABB1A1,所以A1C1B1D. 又因?yàn)锽1DA1F,A1C1平面A1C1F,A1F平面A1C1F,A1C1A1F=A1, 所以B1D平面A1C1F. 因?yàn)橹本€B1D平面B1DE,所以平面B1DE平面A1C1F.,考點(diǎn)82,考點(diǎn)83,考點(diǎn)84,12.(2015全國(guó)1,文18,12分,難度) 如圖,四邊形ABCD為菱形,G為AC與BD的交點(diǎn),BE平面ABCD. (1)證明:平面AEC平面BED; (2)若ABC=120,AEEC,三棱錐E-ACD的體積為 ,求該三棱錐的側(cè)面積.,(1)證明因?yàn)樗?/p>

28、邊形ABCD為菱形,所以ACBD. 因?yàn)锽E平面ABCD, 所以ACBE.故AC平面BED. 又AC平面AEC,所以平面AEC平面BED.,考點(diǎn)82,考點(diǎn)83,考點(diǎn)84,(2)解設(shè)AB=x,在菱形ABCD中,由ABC=120,可得,考點(diǎn)82,考點(diǎn)83,考點(diǎn)84,13.(2015湖南,文18,12分,難度) 如圖,直三棱柱ABC-A1B1C1的底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形,E,F分別是BC,CC1的中點(diǎn). (1)證明:平面AEF平面B1BCC1; (2)若直線A1C與平面A1ABB1所成的角為45,求三棱錐F-AEC的體積.,考點(diǎn)82,考點(diǎn)83,考點(diǎn)84,(1)證明如圖,因?yàn)槿庵鵄BC-A1B1C

29、1是直三棱柱,所以AEBB1. 又E是正三角形ABC的邊BC的中點(diǎn),所以AEBC. 因此,AE平面B1BCC1. 而AE平面AEF,所以,平面AEF平面B1BCC1. (2)解設(shè)AB的中點(diǎn)為D,連接A1D,CD. 因?yàn)锳BC是正三角形,所以CDAB. 又三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱, 所以CDAA1. 因此CD平面A1ABB1,于是CA1D為直線A1C與平面A1ABB1所成的角.,考點(diǎn)82,考點(diǎn)83,考點(diǎn)84,14.(2015重慶,文20,12分,難度) 如圖,三棱錐P-ABC中,平面PAC平面ABC,ABC= ,點(diǎn)D,E在線段AC上,且AD=DE=EC=2,PD=PC=4,點(diǎn)F在線段

30、AB上,且EFBC. (1)證明:AB平面PFE; (2)若四棱錐P-DFBC的體積為7,求線段BC的長(zhǎng).,考點(diǎn)82,考點(diǎn)83,考點(diǎn)84,(1)證明如圖,由DE=EC,PD=PC知,E為等腰PDC中DC邊的中點(diǎn),故PEAC. 又平面PAC平面ABC,平面PAC平面ABC=AC,PE平面PAC,PEAC,所以PE平面ABC,從而PEAB.因ABC= ,EFBC,故ABEF. 從而AB與平面PFE內(nèi)兩條相交直線PE,EF都垂直,所以AB平面PFE.,考點(diǎn)82,考點(diǎn)83,考點(diǎn)84,考點(diǎn)82,考點(diǎn)83,考點(diǎn)84,15.(2015福建,文20,12分,難度)如圖,AB是圓O的直徑,點(diǎn)C是圓O上異于A,B

31、的點(diǎn),PO垂直于圓O所在的平面,且PO=OB=1. (1)若D為線段AC的中點(diǎn),求證:AC平面PDO; (2)求三棱錐P-ABC體積的最大值; (3)若BC= ,點(diǎn)E在線段PB上,求CE+OE的最小值.,考點(diǎn)82,考點(diǎn)83,考點(diǎn)84,(1)證明在AOC中,因?yàn)镺A=OC,D為AC的中點(diǎn), 所以ACDO. 又PO垂直于圓O所在的平面,所以POAC. 因?yàn)镈OPO=O,所以AC平面PDO. (2)解因?yàn)辄c(diǎn)C在圓O上,所以當(dāng)COAB時(shí),C到AB的距離最大,且最大值為1.,考點(diǎn)82,考點(diǎn)83,考點(diǎn)84,(3)解在POB中,PO=OB=1,POB=90,所以PB=PC=BC,所以CPB=60. 在三棱錐

32、P-ABC中,將側(cè)面BCP繞PB旋轉(zhuǎn)至平面BCP,使之與平面ABP共面,如圖所示. 當(dāng)O,E,C共線時(shí),CE+OE取得最小值. 所以在OCP中,由余弦定理得,考點(diǎn)82,考點(diǎn)83,考點(diǎn)84,16.(2014全國(guó)1,文19,12分,難度) 如圖,三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)面BB1C1C為菱形,B1C的中點(diǎn)為O,且AO平面BB1C1C. (1)證明:B1CAB; (2)若ACAB1,CBB1=60,BC=1,求三棱柱ABC-A1B1C1的高.,考點(diǎn)82,考點(diǎn)83,考點(diǎn)84,(1)證明連接BC1,則O為B1C與BC1的交點(diǎn).因?yàn)閭?cè)面BB1C1C為菱形, 所以B1CBC1. 又AO平面BB1C1C

33、,所以B1CAO,故B1C平面ABO.由于AB平面ABO,故B1CAB. (2)解作ODBC,垂足為D,連接AD.作OHAD,垂足為H.由于BCAO,BCOD,故BC平面AOD, 所以O(shè)HBC.又OHAD,所以O(shè)H平面ABC. 因?yàn)镃BB1=60,所以CBB1為等邊三角形,考點(diǎn)82,考點(diǎn)83,考點(diǎn)84,17.(2014福建,文19,12分,難度) 如圖,三棱錐A-BCD中,AB平面BCD,CDBD. (1)求證:CD平面ABD; (2)若AB=BD=CD=1,M為AD中點(diǎn),求三棱錐A-MBC的體積.,考點(diǎn)82,考點(diǎn)83,考點(diǎn)84,(1)證明AB平面BCD,CD平面BCD, ABCD. 又CDB

34、D,ABBD=B,AB平面ABD,BD平面ABD,CD平面ABD. (2)解由AB平面BCD,得ABBD,考點(diǎn)82,考點(diǎn)83,考點(diǎn)84,18.(2014山東,文18,12分,難度) 如圖,四棱錐P-ABCD中,AP平面PCD,ADBC,AB=BC= AD,E,F分別為線段AD,PC的中點(diǎn). (1)求證:AP平面BEF; (2)求證:BE平面PAC.,考點(diǎn)82,考點(diǎn)83,考點(diǎn)84,證明(1)設(shè)ACBE=O,連接OF,EC.由于E為AD的中點(diǎn), AB=BC= AD,ADBC, 所以AEBC,AE=AB=BC,因此四邊形ABCE為菱形,所以O(shè)為AC的中點(diǎn).又F為PC的中點(diǎn), 因此在PAC中,可得AP

35、OF. 又OF平面BEF,AP平面BEF, 所以AP平面BEF. (2)由題意知EDBC,ED=BC. 所以四邊形BCDE為平行四邊形, 因此BECD. 又AP平面PCD,所以APCD,因此APBE. 因?yàn)樗倪呅蜛BCE為菱形,所以BEAC. 又APAC=A,AP,AC平面PAC, 所以BE平面PAC.,考點(diǎn)82,考點(diǎn)83,考點(diǎn)84,19.(2013全國(guó)1,文19,12分,難度)如圖,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,BAA1=60. (1)證明:ABA1C; (2)若AB=CB=2,A1C= ,求三棱柱ABC-A1B1C1的體積.,考點(diǎn)82,考點(diǎn)83,考點(diǎn)84,(1)證

36、明取AB的中點(diǎn)O,連接OC,OA1,A1B. 因?yàn)镃A=CB, 所以O(shè)CAB. 由于AB=AA1,BAA1=60, 故AA1B為等邊三角形,所以O(shè)A1AB. 因?yàn)镺COA1=O,所以 AB平面OA1C. 又A1C平面OA1C,故ABA1C. (2)解由題設(shè)知ABC與AA1B都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,所以O(shè)C=OA1= . 又A1C= ,則A1C2=OC2+O ,故OA1OC. 因?yàn)镺CAB=O,所以O(shè)A1平面ABC,OA1為三棱柱ABC-A1B1C1的高. 又ABC的面積SABC= ,故三棱柱ABC-A1B1C1的體積V=SABCOA1=3.,考點(diǎn)82,考點(diǎn)83,考點(diǎn)84,20.(2012全國(guó)

37、,文19,12分,難度)如圖,三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)棱垂直底面,ACB=90,AC=BC= AA1,D是棱AA1的中點(diǎn). (1)證明:平面BDC1平面BDC; (2)平面BDC1分此棱柱為兩部分,求這兩部分體積的比.,考點(diǎn)82,考點(diǎn)83,考點(diǎn)84,(1)證明由題設(shè)知BCCC1,BCAC,CC1AC=C, 所以BC平面ACC1A1. 又DC1平面ACC1A1,所以DC1BC. 由題設(shè)知A1DC1=ADC=45, 所以CDC1=90,即DC1DC. 又DCBC=C,所以DC1平面BDC. 又DC1平面BDC1,故平面BDC1平面BDC. (2)解設(shè)棱錐B-DACC1的體積為V1,AC=1

38、.,又三棱柱ABC-A1B1C1的體積V=1, 所以(V-V1)V1=11. 故平面BDC1分此棱柱所得兩部分體積的比為11.,考點(diǎn)82,考點(diǎn)83,考點(diǎn)84,21.(2011全國(guó),文18,12分,難度)如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為平行四邊形,DAB=60,AB=2AD,PD底面ABCD. (1)證明:PABD; (2)設(shè)PD=AD=1,求棱錐D-PBC的高.,考點(diǎn)82,考點(diǎn)83,考點(diǎn)84,(1)證明因?yàn)镈AB=60,AB=2AD,由余弦定理得BD= AD. 從而BD2+AD2=AB2,故BDAD. 又PD底面ABCD,可得BDPD. 所以BD平面PAD.故PABD. (2)解如圖

39、,作DEPB,垂足為E. 已知PD底面ABCD,則PDBC. 由(1)知BDAD,又BCAD,所以BCBD. 故BC平面PBD,BCDE. 則DE平面PBC.,考點(diǎn)82,考點(diǎn)83,考點(diǎn)84,22.(2010全國(guó),文18,12分,難度)如圖,已知四棱錐P-ABCD的底面為等腰梯形,ABCD,ACBD,垂足為H,PH是四棱錐的高. (1)證明:平面PAC平面PBD; (2)若AB= ,APB=ADB=60,求四棱錐P-ABCD的體積.,考點(diǎn)82,考點(diǎn)83,考點(diǎn)84,(1)證明因?yàn)镻H是四棱錐P-ABCD的高, 所以ACPH.又ACBD,PH,BD都在平面PBD內(nèi),且PHBD=H, 所以AC平面PB

40、D,故平面PAC平面PBD.,考點(diǎn)82,考點(diǎn)83,考點(diǎn)84,考點(diǎn)84折疊問題和探究性問題中的位置關(guān)系 1.(2019全國(guó)3,文19,12分,難度)圖1是由矩形ADEB,RtABC和菱形BFGC組成的一個(gè)平面圖形,其中AB=1,BE=BF=2,FBC=60.將其沿AB,BC折起使得BE與BF重合,連接DG,如圖2. (1)證明:圖2中的A,C,G,D四點(diǎn)共面,且平面ABC平面BCGE; (2)求圖2中的四邊形ACGD的面積.,考點(diǎn)82,考點(diǎn)83,考點(diǎn)84,(1)證明由已知得ADBE,CGBE,所以ADCG, 故AD,CG確定一個(gè)平面,從而A,C,G,D四點(diǎn)共面. 由已知得ABBE,ABBC,故A

41、B平面BCGE. 又因?yàn)锳B平面ABC, 所以平面ABC平面BCGE. (2)解取CG的中點(diǎn)M,連接EM,DM. 因?yàn)锳BDE,AB平面BCGE, 所以DE平面BCGE,故DECG. 由已知,四邊形BCGE是菱形,且EBC=60得EMCG,故CG平面DEM. 因此DMCG. 在RtDEM中,DE=1,EM= ,故DM=2. 所以四邊形ACGD的面積為4.,考點(diǎn)82,考點(diǎn)83,考點(diǎn)84,2.(2018全國(guó)1,文18,12分,難度)如圖,在平行四邊形ABCM中,AB=AC=3,ACM=90.以AC為折痕將ACM折起,使點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)D的位置,且ABDA. (1)證明:平面ACD平面ABC; (2)Q為

42、線段AD上一點(diǎn),P為線段BC上一點(diǎn),且BP=DQ= DA,求三棱錐Q-ABP的體積.,考點(diǎn)82,考點(diǎn)83,考點(diǎn)84,解(1)由已知可得,BAC=90,BAAC. 又BAAD, 所以AB平面ACD. 又AB平面ABC, 所以平面ACD平面ABC.,由已知及(1)可得DC平面ABC,所以QE平面ABC,QE=1. 因此,三棱錐Q-APB的體積為VQ-,考點(diǎn)82,考點(diǎn)83,考點(diǎn)84,3.(2018全國(guó)3,文19,12分,難度)如圖,矩形ABCD所在平面與半,(1)證明:平面AMD平面BMC; (2)在線段AM上是否存在點(diǎn)P,使得MC平面PBD?說(shuō)明理由.,考點(diǎn)82,考點(diǎn)83,考點(diǎn)84,解(1)由題設(shè)

43、知,平面CMD平面ABCD,交線為CD.因?yàn)锽CCD,BC平面ABCD,所以BC平面CMD,故BCDM.因?yàn)镸為 上異于C,D的點(diǎn),且DC為直徑,所以DMCM. 又BCCM=C,所以DM平面BMC. 而DM平面AMD,故平面AMD平面BMC. (2)當(dāng)P為AM的中點(diǎn)時(shí),MC平面PBD. 證明如下:連接AC交BD于O.因?yàn)锳BCD為矩形,所以O(shè)為AC中點(diǎn). 連接OP,因?yàn)镻為AM中點(diǎn),所以MCOP. MC平面PBD,OP平面PBD,所以MC平面PBD.,考點(diǎn)82,考點(diǎn)83,考點(diǎn)84,4.(2016全國(guó)2,文19,12分,難度)如圖,菱形ABCD的對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O,點(diǎn)E,F分別在AD,CD

44、上,AE=CF,EF交BD于點(diǎn)H.將DEF沿EF折到DEF的位置. (1)證明:ACHD;,考點(diǎn)82,考點(diǎn)83,考點(diǎn)84,(1)證明由已知得ACBD,AD=CD.,由此得EFHD,EFHD,所以ACHD.,所以O(shè)H=1,DH=DH=3.,故ODOH. 由(1)知ACHD,又ACBD,BDHD=H, 所以AC平面BHD,于是ACOD. 又由ODOH,ACOH=O, 所以,OD平面ABC.,考點(diǎn)82,考點(diǎn)83,考點(diǎn)84,(1)解決與折疊有關(guān)的問題的關(guān)鍵是搞清折疊前后的變化量和不變量.一般情況下,折線同一側(cè)線段的長(zhǎng)度是不變量,而位置關(guān)系往往會(huì)發(fā)生變化,抓住不變量是解決問題的突破口. (2)綜合折疊前

45、后的圖形,既要分析折疊后的圖形,也要分析折疊前的圖形.,考點(diǎn)82,考點(diǎn)83,考點(diǎn)84,5.(2016北京,文18,12分,難度)如圖,在四棱錐P-ABCD中,PC平面ABCD,ABDC,DCAC. (1)求證:DC平面PAC; (2)求證:平面PAB平面PAC; (3)設(shè)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn),在棱PB上是否存在點(diǎn)F,使得PA平面 CEF?說(shuō)明理由.,考點(diǎn)82,考點(diǎn)83,考點(diǎn)84,(1)證明因?yàn)镻C平面ABCD, 所以PCDC. 又因?yàn)镈CAC, 所以DC平面PAC. (2)證明因?yàn)锳BDC,DCAC,所以ABAC. 因?yàn)镻C平面ABCD, 所以PCAB.所以AB平面PAC. 所以平面PAB平面PA

46、C. (3)解棱PB上存在點(diǎn)F,使得PA平面CEF.證明如下:取PB中點(diǎn)F,連接EF,CE,CF. 又因?yàn)镋為AB的中點(diǎn),所以EFPA. 又因?yàn)镻A平面CEF, 所以PA平面CEF.,考點(diǎn)82,考點(diǎn)83,考點(diǎn)84,6.(2015陜西,文18,12分,難度)如圖,在直角梯形ABCD中,ADBC,BAD= ,AB=BC= AD=a,E是AD的中點(diǎn),O是AC與BE的交點(diǎn).將ABE沿BE折起到圖中A1BE的位置,得到四棱錐A1-BCDE. (1)證明:CD平面A1OC; (2)當(dāng)平面A1BE平面BCDE時(shí),四棱錐A1-BCDE的體積為36 ,求a的值.,考點(diǎn)82,考點(diǎn)83,考點(diǎn)84,即在題圖中,BEA1O,BEOC, 從而BE平面A1OC, 又CDBE,所