1、,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,9.4 矩陣的初等變換 與初等矩陣,1,由單位矩陣E經(jīng)過(guò)一次初等變換得到的矩陣，,三種初等變換對(duì)應(yīng)著三種初等方陣.,初等矩陣的概念,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,定義：,稱(chēng)為初等矩陣.,2,1,1,0,0,互換,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,3,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例如,初等矩陣,初等矩陣,初等矩陣,4,乘上數(shù)字k,k,初等矩陣,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,5,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例如,初等矩陣,初等矩陣,初等矩陣,兩次初等變換才可以得到,6,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,7,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè)

2、 返回 結(jié)束,例如,初等矩陣,初等矩陣,初等矩陣嗎,2,8,初等矩陣可逆嗎,初等矩陣是由單位矩陣通過(guò)一次初等變換得到的，行列式一定不等于零，因而可逆，并且有結(jié)論:,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,9,初等矩陣與初等變換之間的關(guān)系,定理 設(shè) 是一個(gè) 矩陣，對(duì) 施行一次初等行變換，相當(dāng)于在 的左邊乘以相應(yīng)的 階初等矩陣；對(duì) 施行一次初等列變換，相當(dāng)于在 的右邊乘以相應(yīng)的 階初等矩陣.,例如,相當(dāng)于,對(duì)應(yīng),左乘,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,10,例如,相當(dāng)于,對(duì)應(yīng),右乘,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,11,例,解,不必直接作矩陣乘法，由于P1,P2都是初等矩陣,相當(dāng)于進(jìn)行一次行變換

3、.,所以左乘P1,就相當(dāng)于把A 的第 2 行加到第 3 行，,即有,因?yàn)镻1是由單位矩陣的第2行加到第3行得到的,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,12,相當(dāng)于,是由單位矩陣第 1 列與第 3列進(jìn)行互換得到，,所以右乘P2,相當(dāng)于進(jìn)行一次第1列與第3列互換得到,從而得,對(duì)P1A進(jìn)行一次列變換,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,13,可以驗(yàn)證,例,A 可逆,14,定理,當(dāng)矩陣A可逆時(shí),證明:,左乘初等矩陣,相當(dāng)于進(jìn)行初等行變換,因而僅僅左乘一些初等矩陣能夠化為單位矩陣,就相當(dāng)于可僅僅通過(guò)行變換化為單位矩陣.,可得僅僅通過(guò)列變換化為單位矩陣.,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,15,定理9.

4、7,重要,當(dāng)矩陣A可逆時(shí),用A-1右乘上式兩端,得,如果A經(jīng)過(guò)一系列初等行變換化為E，,則E經(jīng)過(guò)同樣的初等行變換化為A1.,由此可得到一種有效的求逆矩陣的方法:,比較以上兩式可見(jiàn):,初等行變換法求逆矩陣,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,16,當(dāng)矩陣A可逆時(shí),用A-1左乘上式兩端,得,如果A經(jīng)過(guò)一系列初等列變換化為E，,則E經(jīng)過(guò)同樣的初等列變換化為A1.,由此可得到另一種有效的求逆矩陣的方法:,比較以上兩式可見(jiàn):,初等列變換法求逆矩陣,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,17,解,例,E,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,18,E,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,19,即,初等行變換,對(duì)于矩陣方程AX=B,若A可逆,前面我們通常是分成兩步走,先求出A-1,然后再求X=A-1B,得到解.其實(shí)還可以用初等行變換直接求出解.,如果A經(jīng)過(guò)一系列初等行變換化為E，,則B 經(jīng)過(guò)同樣的初等行變換化為A1B.,由此可得到一種有效的求矩陣方程的方法:,比較以上兩式可見(jiàn):,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,20,例,解,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,21,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,22,例,解：由AX=A+2X，得 (A-2E)X=A,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,23,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,如果要求矩陣方程XA=B