1、第二章 多元數(shù)量值函數(shù)積分學(xué),2.1 多元數(shù)量值函數(shù)積分的概念與性質(zhì),一、物體的質(zhì)量,的細(xì)桿，通過分割、作乘積、求和、取,極限的步驟，其質(zhì)量可表示為定積分：,在一元函數(shù)的定積分中我們知道：一線密度為,1求平面薄片的質(zhì)量,小塊質(zhì)量近似,看作均勻薄片，,薄片總質(zhì)量,取典型小塊 ，將其近似,將薄片分割成若干小塊 ，,2.空間物體的質(zhì)量,設(shè)有一空間物體分布在有界閉區(qū)域V上，其體密度,作乘積,小體積 的質(zhì)量的近似值,為 且 在V上連續(xù).,分割,求和,取極限,近似,4.物體的質(zhì)量分布在一塊曲面S上,分割,近似,求和,取極限,設(shè)其面密度為 , 點M在S上，,且在S上連續(xù).,二、多元數(shù)量值函數(shù)積分的概念,以上

2、幾個求物體質(zhì)量問題在數(shù)學(xué)上可抽象出：,曲線 段，或者是一塊平面區(qū)域、一塊曲面、一個空,間區(qū)域等），這個幾何體是可以度量的（即它是可,定義 設(shè) 為一有界閉區(qū)域的幾何形體( 可以是直線、,求長的，可求面積和體積的），在 上定義了一個,有界函數(shù) f (M), . 將此幾何形體 任意分割成,n個小塊,此極限值稱為 f (M)在幾何形體 上的積分。記為：,上述和式的極限存在，則稱函數(shù)f (M)在 上可積分，,稱為被積表達(dá)式或積分微元；,2.當(dāng)被積函數(shù) f (M) 1 時，積分,量就是,4.以后我們總假定函數(shù) f (M)在 可積.,注 : 1.當(dāng)f (M)為幾何形體 的密度函數(shù)時，其質(zhì),在直角坐標(biāo)系下用平

3、行于,面積元素為,在D上的積分則稱為二重積分，,坐標(biāo)軸的直線網(wǎng)來劃分區(qū)域D.,1.設(shè)幾何形體 是一平面區(qū)域D，,三、不同幾何形體 上積分的表達(dá)式,就稱為三重積分.,記為,如果幾何形體 是一空間區(qū)域V，那么在V上的積分,2.設(shè)幾何形體 是一空間區(qū)域V,上的積分就稱為第一類曲線積分或?qū)￠L的曲線積分.,記為：,如果L是閉曲線，常記為：,3.設(shè)幾何形體 為一條平面或空間曲線L，那么在L,為第一類曲面積分或?qū)γ娣e的曲面積分.,如果S是閉曲面，常記為,那么在S上的積分就稱,4.設(shè)幾何形體 為一曲面S，,四、積分的性質(zhì),性質(zhì)1 函數(shù)的和（或差）的積分等于各個函數(shù),積分的和（或差），即,性質(zhì)2 被積函數(shù)的常數(shù)因子可以提到積分號外面，,即,注 以下性質(zhì)的證明與定積分的證明完全類似.,無公共內(nèi)點，則,性質(zhì)3 閉區(qū)域 分成兩個閉區(qū)域 且 與,性質(zhì)4 如果在 上滿足 f (M) g(M), 則,性質(zhì)5 (估值定理),最大值，則,性質(zhì)6 （積分中值定理）,設(shè)m, M分別是 f (M) 在閉幾何形體 上的最小值和,設(shè) f (M) 在閉幾何形體 上連續(xù)，則存在M0 ，使得,解,例1 不作計算，估計 的值，,其中 是橢圓閉區(qū)域：,在 上,由性質(zhì)5知,解,例2 估計 的值，,其中D：,區(qū)域面積,在 上 的最大值,的最小值,解,例3 比較積分