1、第四章 指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù),課程目標 指數(shù)函數(shù) 對數(shù)函數(shù) 對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 經(jīng)濟學(xué)上的兩個應(yīng)用： 相對變化率與需求彈性 指數(shù)成長與衰退,指數(shù)函數(shù),本章，將介紹兩類重要函數(shù)，即指數(shù)函數(shù) (exponential function)與對數(shù)函數(shù) (logarithmic function)，進而探討這些函數(shù)的特性，導(dǎo)數(shù)以及在經(jīng)濟學(xué)和其他領(lǐng)域上的應(yīng)用。 定義4-1: 設(shè) a 0 且 a 1 ，則 f(x) = ax 稱為以 a 為底 (base)的指數(shù)函數(shù)，其中 x 稱為指數(shù) (exponent)。,4-1 指數(shù)函數(shù),描繪指數(shù)函數(shù)圖形,描繪 f(x) = 2x 之圖形。 描繪 之圖形。,

2、4-1 指數(shù)函數(shù),指數(shù)函數(shù)之性質(zhì)及圖形,定理4-1: 設(shè) f(x) = ax 為指數(shù)函數(shù)，則 (a) f(x) 之定義域為 (- , )。 (b) f(x) 之值域為(0, )。 (c) f(x) 之 y 截距為 f(0) = a0 = 1 ，但無 x 截距。 (d) f(x) 為連續(xù)函數(shù)。 (e) 若 a 1，則 f(x) 為遞增函數(shù)， ， 且其 圖形如左圖所示。 (f) 若 0 a 1，則f(x)為遞減函數(shù)， ， 且其圖形如右圖所示。,4-1 指數(shù)函數(shù),最典型的指數(shù)函數(shù)的例子，即所謂的複利 (compounded interest)問題。假設(shè)我們將本金 (principal) P0 元存到

3、某家銀行，銀行的存款利率 (interest)為 r (例如 r 為8%)且每年複利一次，試問 n 年後本利和為多少？,複利問題,解: 設(shè) P(n) 表示 n 年後的本利和，則顯然地一年後的本利和為,4-1 指數(shù)函數(shù),二年後之本利和為,依此類推，我們得到 n 年後之本利和為,複利問題,銀行的利率通常以年利率為準，但是有些銀行可能依顧客的需求而每半年複利一次，即每年複利二次；每季複利一次，即每年複利四次；每月複利一次，即每年複利十二次。 假設(shè)將本金 P0 存放於銀行，年利率為 r 且每年複利 k 次，即每 365/k 天複利一次。在這種情況下，每次複利之利率為 r/k 而一年後之本利和為 n 年

4、後之本利和為,4-1 指數(shù)函數(shù),4-1 指數(shù)函數(shù),求本利和,將1000元存放於銀行，年利率為6%且每年複利一次，試問5年後之本利和為多少？ 將1000元存放於銀行且銀行之年利率為8%。 (a) 每年複利一次，試問2年後之本利和為多少？ (b) 每半年複利一次，試問2年後之本利和為多少？ (c) 每季複利一次，試問2年後之本利和為多少？ (d) 每個月複利一次，試問2年之本利和為多少？,現(xiàn) 值,在上述的論述中，我們得到 其中 P(n) 為 n 年後的本利和，屬於未來的價值。 現(xiàn)在我們逆向思考，假設(shè) n 年後，我們可拿回本利和 P(n) ，那麼 P0 即所謂的現(xiàn)值(present value)。因

5、此，現(xiàn)值,求現(xiàn)值:某家銀行年利率為6%且每半年複利一次，求4年後10000元之現(xiàn)值為何？,4-1 指數(shù)函數(shù),求折價,一部價值36000元之個人電腦，每年的折價率為20%，試問這部電腦3年後價值多少？,4-1 指數(shù)函數(shù),解: 如同在複利的情況，我們可將折價率視為 -0.2 ，因此，3年後電腦之折價為 36000(1-0.2)3=36000(0.8)3=18432 元。,複利的次數(shù)趨近於無窮大時,若銀行每年複利的次數(shù)頻率趨近於無窮大時，則 n 年後之本利和應(yīng)該為,令,是否存在？,4-1 指數(shù)函數(shù),自然指數(shù),定義4-2: 稱為自然指數(shù)(natural exponent)。 定義4-3: 連續(xù)複利(c

6、ontinuously compounded interest) 將本金 P0 元存於年利率 r 的銀行裡，在連續(xù)複利之下，t 年後之本利和為 P(t) = P0ert。 定義4-4: 連續(xù)複利之現(xiàn)值 銀行之年利率為 r，連續(xù)複利，t 年後 P 元其現(xiàn)值為 P0 = Pe-rt。,4-1 指數(shù)函數(shù),求連續(xù)複利之現(xiàn)值 銀行之年利率為 6%，在連續(xù)複利之下，10 年後之 5000元其現(xiàn)值為多少？,連續(xù)複利,求連續(xù)複利之本利和 將1000元存放於年利率 6% 之銀行裡，連續(xù)複利，10 年後之本利和為多少？,4-1 指數(shù)函數(shù),自然指數(shù)函數(shù),定義4-5: y = ex 稱為自然指數(shù)函數(shù)(natural

7、exponential function)。,4-1 指數(shù)函數(shù),自然指數(shù)函數(shù)之圖形,若 k 0，則 y = ekx 之圖形如左圖所示，y = e-kx 之圖形如右圖所示。,4-1 指數(shù)函數(shù),對數(shù)函數(shù),定義4-5: 設(shè) a 0 且 a 1。若 a y = x ，則 y 稱為以 a 為底 (base) x 之對數(shù) (logarithm)，通常表示成 y = loga x 且 y 稱為以 a 為底之對數(shù)函數(shù) (logarithmic function)。 求對數(shù) 求 log2 8。 求 。,4-2 對數(shù)函數(shù),對數(shù)函數(shù)之性質(zhì)及圖形,定理4-2: 設(shè) f(x) = loga x 為對數(shù)函數(shù)，則 (a)

8、f(x) 之定義域為 (0, )。 (b) f(x) 之值域為(-, )。 (c) f(x)之 x 截距為1，即 loga 1 = 0，但無 y 截距。 (d) f(x) 為連續(xù)函數(shù)。 (e) 對任意 x 1 ， ；對任意數(shù) y， 。 (f) 若a 1，則 f(x) 為遞增函數(shù)， ， 且其圖形如左圖。 (g) 若0 a 1，則 f(x) 為遞減函數(shù)， ， 且其圖形如右圖。,4-2 對數(shù)函數(shù),對數(shù)的基本運算法則,對數(shù)的基本運算法則: 函數(shù)的化簡 化簡 f(x) = log2 x7 - log2 x5 。,4-2 對數(shù)函數(shù),常用對數(shù)函數(shù)、自然對數(shù)函數(shù),定義4-6: y = log10 x 稱為常用

9、對數(shù)函數(shù) (common logarithmic function)，通常表示成 y = log x，即 y = log x 若且唯若 10y = x。 定義4-7: y = loge x 稱為自然對數(shù)函數(shù)，通常表示成 y = ln x，即 y = ln x 若且唯若 ey = x 。 求對數(shù) 求 log 1000。 求 log 0.001。 求 ln e8。 求 ln e-0.2。,4-2 對數(shù)函數(shù),解方程式,求 105x = 2 之解。 求 3e2x = 18 之解。,求102x - 2(10 x) - 3 = 0之解。,4-2 對數(shù)函數(shù),變底公式,變底公式 (change base fo

10、rmula)： 求對數(shù) 求 log2 10。,4-2 對數(shù)函數(shù),求雙倍期 (doubling time),將本金 P0 存放於年利率為 6% 之銀行，每年複利一次，試問幾年後其本利和為本金之兩倍？ 將本金P0存放於年利率為8%之銀行，連續(xù)複利，試問幾年後其本利和為本金之兩倍？,4-2 對數(shù)函數(shù),對數(shù)函數(shù)的應(yīng)用,求學(xué)習時間 某人練習中文打字，練習到第 t 週時，此人每分鐘可打 f(t) = 20(1 - e-0.5t) 個中文字，試問此人練習幾天以後，每分鐘可以打 5 個中文字？ 訊息之傳播 某一重大訊息經(jīng)媒體報導(dǎo)，在 t 小時以後，得到這個訊息之比率為 f(t) = 1 - e-0.4t，試問

11、多久以後80%的人都接收到這個訊息？,4-2 對數(shù)函數(shù),對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù),定理4-3: 設(shè) f(x) = ln x，則 f(x) 為可微函數(shù)且 ，即 。 定理4-4: 若 u(x) 為正值可微函數(shù)，則 f(x)= ln u(x) 為可微且 ，即 。 定理4-5: loga x 為可微函數(shù)且 。若 u(x) 為可微的正值函數(shù)，則 loga u(x) 為可微且 。,4-3 對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù),對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù),求 ln (x2 + x + 1) 之導(dǎo)數(shù)。 求 y = ln x 在 x = 1 之切線方程式。 判別 y = ln x 圖形之凹性。 求 ln (1.1) 之線性近似。 求 f(x) = ln

12、(x2 + 1)10 之導(dǎo)數(shù)。,4-3 對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù),對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù),(a) 求 f(x) = log3 x 之導(dǎo)數(shù)。 (b) 求 g(x)= log3 (x4 + 1) 之導(dǎo)數(shù)。 求 f(x) = (x2 + 1) ln (x2 + 8) 。 求 之導(dǎo)數(shù) 設(shè) x 0，f(x) = xx，求 f (x) 。,4-3 對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù),指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù),定理4-6: 設(shè) f(x) = ex，則 f(x) 為可微函數(shù)且 f (x) = ex ，即 。 定理4-7: 若 u(x) 為可微函數(shù)，則 eu(x) 亦為可微函數(shù)且 定理4-8: 設(shè) a 0，a 1。則 ax 為可微函數(shù)且 若 u(x) 為可微

13、，則 au(x) 亦為可微且,4-4 指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù),指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù),求 之導(dǎo)數(shù)。 求 y = ex 在 x = 0 之切線方程式。 判別 y = ex 圖形之凹性。 求 e0.01 之線性近似。,4-4 指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù),指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù),(a) 求 f(x) = 2x 之導(dǎo)數(shù)。 (b) 求 之導(dǎo)數(shù)。 求(a) (b) 求 之相對極值。,4-4 指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù),經(jīng)濟學(xué)上的應(yīng)用,定義4-7: 相對變化率(relative rate of change) 設(shè) f (t) 為可微函數(shù)且 f (t) 0 ，則 f (t) 之相對變化率為 。 求相對變化率 郵局之存款由公元 2000 年起預(yù)估總額為 (其

14、中 t 以年為單位)，試問 16 年後郵局存款總額之相對變化率為何？ 某公司在 t 年時其負債總額為 (萬元)，試問該公司在第 8 年時其負債之相對變化率為何？,4-5 經(jīng)濟學(xué)上的兩個應(yīng)用,需求彈性,假設(shè) x = D(p) 為一需求函數(shù)，需求量之相對變化率為 且售價之相對變化率為 。因此， 定義4-8: 設(shè) x = D(p) 為需求函數(shù)，則需求彈性為 若 E(p) 1，則需求具彈性 (elastic)。 若 E(p) 1，則需求不具彈性 (inelastic)。 若 E(p) = 1，則需求為單位彈性 (unit elasticity)。,4-5 經(jīng)濟學(xué)上的兩個應(yīng)用,設(shè) x = D(p) =

15、20 - p2 為需求函數(shù)，求 p = 2 和 p = 4 之需求彈性，並作適當之解釋。,需求彈性,所以，E(2) = 8/16= 1/2 = 0.5，即當 p = 2 時，需求不具彈性；E(4)= 32/(20-16) = 8，即當 p = 4 時，需求具彈性。,4-5 經(jīng)濟學(xué)上的兩個應(yīng)用,在 p = 2 時，1% 單位售價之變化只引起 0.5% 需求量之變化。,E(4) = 8 表示在 p = 4 時，1% 單位售價之變化引起8% 需求量之變化。,某家早餐店老闆估計每天三明治的需求函數(shù)為 D(p) = 60 - p，求三明治之售價 p = 10 元時之需求彈性。,需求彈性,解: 所以，E(

16、10) = 10/50 = 0.2 ，故在 p = 10 時，需求不具彈性，即當售價為10元時，1% 之售價變化只引起 0.2% 之需求量變化。,4-5 經(jīng)濟學(xué)上的兩個應(yīng)用,需求彈性的功能,需求彈性的功能是用來決定當單位售價為 p 時，為了增加總收入，我們應(yīng)該提高或降低單位售價的策略。 設(shè) x = D(p) 為一需求函數(shù)，則總收入為 R = px = pD(p)。 當 E(p) 0 ，所以提高售價可以增加總收入。 當 E(p) 1 時，即需求具彈性，R(p) 0 ，所以降低售價可以增加總收入。 當 E(p) = 1 時，即需求為單位彈性，R(p) = 0 ，此時總收入為最大。,4-5 經(jīng)濟學(xué)上

17、的兩個應(yīng)用,指數(shù)成長與衰退,在自然科學(xué)及社會科學(xué)裡，某些函數(shù) N(t) 的變化常常遵循以下法則： N(t) 在時間 t 的變化率與在 t 時的量 N(t) 成比率，即 N(t) = kN(t)，k 為比率常數(shù)。 連續(xù)複利的問題，族群的成長，細菌的培養(yǎng)和放射性物質(zhì)的衰變等都屬於這種現(xiàn)象。 以複利的問題來印證，設(shè)將 P0 元存放於年利率為 r 之銀行裡，在連續(xù)複利之下，t 年後之本利和為 P(t) = P0ert。因此，P(t) = P0rert = rP(t)。,4-6 指數(shù)成長與衰退,指數(shù)成長與衰退,假設(shè)某個函數(shù) N(t) 滿足 N(t) = kN(t)，那麼，N(t) = ？ 從複利的例子中，可猜測 N(t) = N0ekt，N0 = N(0) 為一常數(shù)。事實上這是正確的，至於如何求得，我們將其留到第十章討論微分方程式時再加以探討。,在 N(t) = N0ekt 中，k 稱為成長常數(shù) (growth constant)。 若 k 0，則 N(t) 稱為指數(shù)成長 (exponential growth)。 若k 0 時，N(t) 稱為指數(shù)衰退 (exponential decay)。,4-6 指數(shù)成長與衰退,某一果園果蠅的成長率和當時的果蠅數(shù)成比率，若在開始時有100 隻果蠅，第 5 天時果蠅數(shù)為 200 隻，試問 20 天後果