1、基本要求： 熟練掌握熟練掌握單自由度體系的自 由振動和簡諧荷載作用下的受迫 振動、兩個自由度體系的自由振 動及主振型的正交性。 掌握計算頻率的近似法、阻尼對振動 的影響。 了解一般荷載作用下結(jié)構(gòu)的動力反映 （杜哈梅積分）、無限自由度體 系的自由振動。,第十五章 結(jié)構(gòu)的動力計算,結(jié)構(gòu)動力計算特點和內(nèi)容 單自由度體系的自由振動 單自由度體系的強迫振動 多自由度體系的自由振動 多自由度體系的強迫振動 無限自由度體系自由振動 近似法求自振頻率,1、結(jié)構(gòu)動力計算的特點和內(nèi)容 動荷載(dynamic load)與靜荷載(static load)的區(qū)別 動荷載：大小、方向或位置隨時間而變， 靜荷載：大小、方

2、向或位置不隨時間而變，,而且變得很快,或變得很慢,衡量荷載變化快慢的標(biāo)準(zhǔn)還有結(jié)構(gòu)的自振頻率。,與靜力計算的區(qū)別。兩者都是建立平衡方程，但動力計 算，利用動靜法，建立的是形式上的平衡方程。力系中包含了慣性力，考慮的是瞬間平衡，荷載內(nèi)力都是時間的函數(shù)。建立的方程是微分方程。 動力計算的內(nèi)容。研究結(jié)構(gòu)在動荷載作用下的動力反應(yīng) 的計算原理和方法。涉及到內(nèi)外兩方面的因素： 結(jié)構(gòu)本身的動力特性：自振頻率、阻尼、振型。（自由振動） 荷載的變化規(guī)律及其動力反應(yīng)。 （強迫振動） 2、動荷載分類。按其變化規(guī)律及其作用特點可分為： 1）周期荷載：隨時間作周期性變化。（轉(zhuǎn)動電機的偏心力）,15-1 動力計算概述,偏心

3、質(zhì)量m,偏心距e,勻角速度 慣性力:P=m 2e,其豎向分量和 水平分量均為簡諧荷載.,簡諧荷載（harmonic load）,一般周期荷載(periodic load),2）沖擊荷載：短時內(nèi)劇增或劇減。,3）隨機荷載：(非確定性荷載) 荷載在將來任一時刻的數(shù)值無 法事先確定。（如地震荷載、風(fēng)荷載）,3、動力計算中體系的自由度(degree-of-freedom) 確定運動過程中任意時刻全部質(zhì)量的位置所需獨立幾何參數(shù)的個數(shù)稱為體系的振動自由度。,實際結(jié)構(gòu)的質(zhì)量都是連續(xù)分布的，嚴(yán)格地說來都是無限自由度體系。計算困難，常作簡化如下： 1）集中質(zhì)量法(method of lumped mess)把連

4、續(xù)分布的質(zhì)量集中為幾個質(zhì)點，將一個無限自由度的問題簡化成有限自由度問題。,m,mm梁,m,+m梁,I,I,2I,m,+m柱,廠房排架水平振動 時的計算簡圖,單自由度體系 (single degree-of-freedom system),三個自由度體系,演示,水平振動時的計算體系,多自由度體系,構(gòu)架式基礎(chǔ)頂板簡化成剛性塊,(t),v(t),u(t),三個自由度,三個自由度,復(fù)雜體系可通過加支桿限制質(zhì)量運動的辦法確定體系的自由度,2）廣義坐標(biāo)法(generalized coordinate)將無限自由度體系化成有限自由度體系的另一種方法假設(shè)震動曲線,為滿足位移邊界條件已知函數(shù),稱為 形狀函數(shù),

5、a1, a2, an為待定的參數(shù)（廣義坐標(biāo)）。,煙囪底部的位移條件:,于是近似設(shè)變形曲線為:,n個自由度體系,簡支梁的位移條件y(0)=0,y(l)=0,于是近似設(shè)變形曲線為:,n個自由度體系,幾點注意： 1）對于具有集中質(zhì)量的體系，其自由度數(shù)并不一定等于集 中質(zhì)量數(shù)，可能比它多，也可能比它少。,2）體系的自由度與其超靜定次數(shù)無關(guān)。 3）體系的自由度決定了結(jié)構(gòu)動力計算的精度。 4）在幾何構(gòu)造分析中所說的自由度是剛體系的運動自 由度，動力計算中討論的自由度是變形體系中質(zhì)量的運動自由度。,一個質(zhì)點兩個自由度,兩個質(zhì)點一個自由度,單自由度體系動力分析的重要性,具有實際應(yīng)用價值，或進(jìn)行初步的估算。 多

6、自由度體系動力分析的基礎(chǔ)。,自由振動(free vibration)：振動過程中沒有干擾力作用，振動 是由初始位移或初始速度或兩者共同影響下所引起的。,一、自由振動微分方程的建立（依據(jù)原理：達(dá)朗伯原理）,m,k,1、剛度法(stiffness method),m,從力系平衡建立的自由振動微分方程,2、柔度法(flexibility method),從位移協(xié)調(diào)角度建立的 自由振動微分方程,取振動體系為研究對象， 慣性力：,=1/k,15-2 單自由度體系的自由振動,(DAlembers principle),二、自由振動微分方程的解,振幅: Amplitude of vibration,初始相位

7、角: initial phase angle,三、結(jié)構(gòu)的自振周期(natural period),周期函數(shù)的條件: y(t+T )=y(t ),是周期函數(shù),且周期是:,頻率: (frequency),每秒鐘內(nèi)的振動次數(shù).,圓頻率: (circular frequency),2秒內(nèi)的振動次數(shù).,無阻尼自由振動是簡諧振動,自振周期計算公式的幾種形式：,圓頻率計算 公式的幾種形式：,其中是沿質(zhì)點振動方向的結(jié)構(gòu)柔度系數(shù)，它表示在質(zhì) 點上沿振動方向加單位荷載使質(zhì)點沿振動方向所產(chǎn)生的位移。 k使質(zhì)點沿振動方向發(fā)生單位位移時，須在質(zhì)點上沿振動 方向施加的力。 st=W在質(zhì)點上沿振動方向施加數(shù)值為W的荷載時質(zhì)

8、 點沿振動方向所產(chǎn)生的位移。 計算時可根據(jù)體系的具體情況，視、 k、 st 三則中哪一 個最便于計算來選用。,一些重要性質(zhì)： （1）自振周期與 且只與結(jié)構(gòu)的質(zhì)量和結(jié)構(gòu)的剛度有關(guān)， 與外界的干擾因素?zé)o關(guān)。干擾力只影響振幅 a。 （2）自振周期與質(zhì)量的平方根成正比，質(zhì)量越大，周期 越大（頻率于?。?；自振周期與剛度的平方根成反比，剛度 越大，周期越?。l率于大）；要改變結(jié)構(gòu)的自振周期，只 有從改變結(jié)構(gòu)的質(zhì)量或剛度著手。 （3）兩個外形相似的結(jié)構(gòu)，如果周期相差懸殊，則動力 性能相差很大。反之，兩個外形看來并不相同的結(jié)構(gòu)，如果 其自振周期相近，則在動荷載作用下的動力性能基本一致。,W是質(zhì) 點的重力,例1

9、：圖示三根單跨梁，EI=常數(shù)，在梁中點有集中質(zhì)量m， 不考慮梁的質(zhì)量，試比較三則者的自振頻率。,解：1）求,3l/16,5l/32,l/2,據(jù)此可得：1:2 : 3= 1 : 1.512 : 2,結(jié)構(gòu)約束越強,其剛度越大,剛度越大,其自振動頻率也越大。,k,QCA,QCB,例2:求圖示剛架的自振 頻率。不計柱的質(zhì)量。,3EI/h2,6EI/h2,6EI/h2,k,例5,解法1：求 k,=1/h,MBA=kh = MBC,解法2：求 ,例6,解：求 k,對于靜定結(jié)構(gòu)一般計算柔度系數(shù)方便。 如果讓振動體系沿振動方向發(fā)生單位位移時，所有剛節(jié)點 都不能發(fā)生轉(zhuǎn)動（如橫梁剛度為無窮大的剛架)計算剛度系數(shù)方

10、 便。,一端鉸結(jié)的桿的側(cè)移剛度為：,兩端剛結(jié)的桿的側(cè)移剛度為：,強迫振動(forced vibration)結(jié)構(gòu)在荷載作用下的振動。,k,彈性力ky、慣性力,和荷載P(t)之間的平衡方程為:,1、簡諧荷載(harmonic load)：,單自由度體系強迫 振動的微分方程,特解：,.,.,.,15-3 單自由度體系的強迫振動,演示,最大靜位移yst（是把荷載幅值當(dāng)作靜荷載作用時結(jié)構(gòu)所產(chǎn)生 的位移）。,特解可寫為：,通解可寫為：,設(shè)t=0時的初始位移和 初始速度均為零，則：,過渡階段：振動開始兩種振動同時存在的階段； 平穩(wěn)階段：后來只按荷載頻率振動的階段。（由于阻尼的存在）,按自振頻率振動,按荷載

11、頻率振動,平穩(wěn)階段：,最大動位移（振幅）為：,動力系數(shù) (magnification factor),重要的特性： 當(dāng)/0時,1，荷載變 化得很慢，可當(dāng)作靜荷載處理。 當(dāng)01，并且隨 /的增大而增大。 當(dāng)/1時,。即當(dāng)荷 載頻率接近于自振頻率時，振幅 會無限增大。稱為“共振”。通常 把0.75/1.25稱為共振區(qū)。,當(dāng)/1時,的絕對值隨/ 的增大而減小。當(dāng)很大時，荷載變化很快，結(jié)構(gòu)來不及反應(yīng)。,當(dāng)動荷載與慣性力共線時,還有,例：已知m=300kg，EI=90105N.m2 ,k=48EI/l3 ,P=20kN,=80s-1 求梁中點的動位移幅值及最大動力彎矩。,解：1)求,2)求,3)求ydm

12、ax Mdmax,例 15-3 有一簡支梁（I28b），慣性矩I=7480cm4，截面系數(shù) W=534cm3，E=2.1104kN/cm2。在跨度中點有電動機重量 Q=35kN，轉(zhuǎn)速n=500r/min。由于具有偏心，轉(zhuǎn)動時產(chǎn)生離心力 P=10kN，P的豎向分量為Psint。忽略梁的質(zhì)量，試求強迫振動 的動力系數(shù)和最大撓度和最大正應(yīng)力。梁長l=4m. 解：1）求自振頻率和荷載頻率,2）求動力系數(shù),175.6MPa,I22b,3570cm4,3570,39.7,39.7,1.35,可見，對于本例，采用 較小的截面的梁既可避 免共振，又能獲得較好 的經(jīng)濟效益。,52.3/57.4=0.91,325

13、,149.2,必須特別注意，這種處理方法（比例算法）只適用于單 自由度體系當(dāng)動荷載作用在質(zhì)點且與質(zhì)點運動方向一致時的 情況。對于動荷載不作用于質(zhì)點的單自由度體系，以及多自 由度體系，均不能采用這一方法。,2、一般荷載,一般荷載作用下的動力反應(yīng)可利用瞬時沖量的 動力反應(yīng)來推導(dǎo),1、瞬時沖量的動力反應(yīng),設(shè)體系在t=0時靜止， 然后 有瞬時沖量S作用。,瞬時沖量S引起的振動可視為 由初始條件引起的自由振動。 由動量定理：,2、任意荷載P(t)的動力反應(yīng),時刻的微分沖量對t瞬時 (t )引起的動力反應(yīng):,初始靜止?fàn)顟B(tài)的單自由度體系 在任意荷載作用下的位移公式:,(Duhamel 積分)（15-29）,

14、初始位移y0和初始速度v0不為零在任意荷載作用下的位移公式:,3、幾種荷載的動力反應(yīng),1）突加荷載,yst=P0=P0/m2,質(zhì)點圍繞靜力平衡 位置作簡諧振動,2）短時荷載,階段(0tu)：與突加荷載相同：,階段(tu)：無荷載，體系以t=u時刻的位移,和速度,為初始條件作自由振動。,或者直接由Duhamel積分作,另解：短時荷載可認(rèn)為由兩個突加荷載疊加而成。,當(dāng)0 u,當(dāng) u,最大動反應(yīng),1）當(dāng) u T/2 最大動位移 發(fā)生在階段,2）當(dāng) u T/2 最大動位移 發(fā)生在階段,=2,動力系數(shù)反應(yīng)譜 (與T 和之間的關(guān)系曲線),3）線性漸增荷載,這種荷載引起的動力反應(yīng)同樣可由Duhamel積分來

15、求:,對于這種線性漸增荷載,其動力反應(yīng)與升載時間的長短有 很大的關(guān)系。其動力系數(shù)的反應(yīng)譜如下：,動力系數(shù)反應(yīng)譜 (spectrum of magnification factor),動力系數(shù)介乎1與2之間。 如果升載很短，tr4T,則接近于1,即相當(dāng)于靜荷載情況。 常取外包虛線作為設(shè)計的依據(jù)。,鋼筋混凝土樓板自由振動試驗曲線,因為在振幅位置結(jié)構(gòu)的變形速度為零（動能=0），故在振幅位置的變形勢能就代表體系全部機械能。振幅隨時間減小，這表明在振動過程中要產(chǎn)生能量的損耗。 振動過程中引起能量損耗的因素稱為阻尼。,阻尼(damping)對振動的影響,演示,忽略阻尼影響時所得結(jié)果 能不能 反映實際結(jié)構(gòu)的

16、振動規(guī)律。,大體上,忽略阻尼的振動規(guī)律,考慮阻尼的振動規(guī)律,結(jié)構(gòu)的自振頻率是結(jié)構(gòu)的固有特性，與外因無關(guān)。,簡諧荷載作用下有可能出現(xiàn)共振。,自由振動的振幅永不衰減。,自由振動的振幅逐漸衰減。,共振時的振幅趨于無窮大。,共振時的振幅較大但為有限值。,產(chǎn)生阻尼的原因：結(jié)構(gòu)與支承之間的外摩擦；材料之間的內(nèi) 摩擦；周圍介質(zhì)的阻力。 阻尼力的確定：總與質(zhì)點速度反向;大小與質(zhì)點速度有如下關(guān)系： 與質(zhì)點速度成正比（比較常用，稱為粘滯阻尼）。 與質(zhì)點速度平方成正比（如質(zhì)點在流體中運動受到的阻力）。 與質(zhì)點速度無關(guān)（如摩擦力）。 粘滯阻尼力的分析比較簡單，(因為 R(t)=Cy ).,其他阻尼力也可化為等效粘滯阻

17、尼力來分析。,考慮阻尼的振動模型,k,m,動平衡方程：,1、有阻尼的自由振動,( 阻尼比damping ratio ）,設(shè)解為：,特征方程為： (characteristic equation),1)1（低阻尼）情況,ae-t,低阻尼y- t曲線,無阻尼y- t曲線,阻尼對自振頻率的影響.,當(dāng)0.2,則0.96r/1 在工程結(jié)構(gòu)問題中0.010.1 可近似取.,阻尼對振幅的影響. 振幅ae-t 隨時間衰減.相鄰兩個振幅的比,振幅按等比級數(shù)遞減.,稱為振幅的對數(shù)遞減率. (logarithmic decrement),設(shè)yk和yk+n是相隔n個周期的兩個振幅則:,經(jīng)過一個周期后,相鄰兩振幅yk和

18、yk+1的比值的對數(shù)為:,2)=1（臨界阻尼）情況,這條曲線仍具有衰減性， 但不具有波動性。,工程中常用此方法測定阻尼,例題：圖示一單層建筑物的計算簡圖。屋蓋系統(tǒng)和柱子的質(zhì)量均集 中在橫梁處共計為m,，加一水平力P=9.8kN，測得側(cè)移A0=0.5cm， 然后突然卸載使結(jié)構(gòu)發(fā)生水平自由振動。再測得周期T=1.5s 及一 個周期后的側(cè)移A1=0.4cm。求結(jié)構(gòu)的阻尼比和阻尼系數(shù)c。,解：,返回,臨界阻尼常數(shù)cr是=1時的阻尼常數(shù)。（振與不振的分界點） (critical damping coefficient),阻尼比。反映阻尼 情況的基本參數(shù)。,3)1 強阻尼：不出現(xiàn)振動，實際問題不常見。,2

19、、有阻尼的強迫振動,單獨由v0引起的自由振動：,（低阻尼體系，1）,瞬時沖量dS=Pdt=v0m所引起的振動，可視為 以v0=Pdt/m， y0=0為初始條件的自由振動：,將荷載P(t)的加載過程 看作一系列瞬時沖量,總反應(yīng),（1）突加荷載P0,低阻尼y- t曲線,無阻尼y- t曲線,靜力平衡位置,具有阻尼的體系在 突加荷載作用下， 最初所引起的最大 位移接近于靜位移 yst=P0/m2的兩倍， 然后逐漸衰減，最 后停留在靜力平衡 位置。,（2）簡諧荷載P(t)=Fsint,設(shè)特解為：y=Asint+Bcost 代入（17-34）得：,+Asint+Bcost,齊次解加特解得到通解：,自由振動

20、，因阻尼作用， 逐漸衰減、消失。,純強迫振動，平穩(wěn)振動， 振幅和周期不隨時間而變.,結(jié)論：在簡諧荷載作用下，無論是否計入阻尼的作用，純 強迫振動部分總是穩(wěn)定的周期運動，稱為平穩(wěn)振動。,y=Asint+Bcost=yPsin(t),振幅:yp，最大靜力位移 yst=F/k=F/m2,與頻率比/和阻尼比有關(guān),幾點討論： 隨增大曲線漸趨平緩， 特別是在/=1附近的 峰值下降的最為顯著。 當(dāng)接近時，增加的,很快，對的數(shù)值影響 也很大。在0.75/1.25 (共振區(qū))內(nèi)，阻尼大大地減 小了受迫振動的位移，因此, 為了研究共振時的動力反映, 阻尼的影響是不容忽略。在 共振區(qū)之外阻尼對的影響 較小，可按無阻

21、尼計算。,max并不發(fā)生在共振/=1時， 而發(fā)生在，,由y=yPsin(t) 可見， 只要有阻尼位移總滯后荷載 P=Fsint一個 相位角，,但因很小，可近似地認(rèn)為：,當(dāng)時,0體系振動得很慢，F(xiàn)I、R較小，動荷主 要由 S平衡，(即P與S反向)，S與y反向，y與P基本上同步； 荷載可作靜荷載處理。,當(dāng)時,180體系振動得很快，F(xiàn)I很大，S、R相對 說來較小，動荷主要由FI 平衡， FI 與y同向，y與P反向；,位移y、彈性力S，慣性力FI， 阻尼力R分別為：,k,當(dāng)=時,90,由此可見：共振時（=），S與FI剛好互相平衡，,yst,有無阻尼 均如此。動荷恰與阻尼力平衡，故運動呈現(xiàn)穩(wěn)態(tài)故不會出現(xiàn)

22、位 移為無窮大的情況。而在無阻尼受迫振動時，因不存在阻尼力 來平衡動荷載，才出現(xiàn)位移為無限大的現(xiàn)象。,k=m2=m2,=P(t), 強迫振動時的能量轉(zhuǎn)換,振動荷載Fsint在振動一個周期所輸入的能量,.,在時間段dt內(nèi),在一個周期內(nèi),.,在時間段dt內(nèi),在一個周期內(nèi),.,當(dāng)體系有阻尼時,振動過程中總有能量的損耗,為使振動不衰減,就必須經(jīng)常補充以能量.當(dāng)穩(wěn)態(tài)振動時, UR=UP,彈性動內(nèi)力幅值的計算,一般方法:由于結(jié)構(gòu)的彈性內(nèi)力與位移成正比，所以位移達(dá)到幅值，內(nèi)力也達(dá)到幅值。將位移達(dá)到幅值時刻的荷載值和慣性力值加在結(jié)構(gòu)上，按一般靜力學(xué)方法求解。 慣性力與位移同時達(dá)到幅值。,無阻尼時同時達(dá)到幅值。,有阻尼時位移總滯后荷載一個相位角 。,比例算法:無阻尼單自由度體系且荷載作用在振動質(zhì)點上(動荷載與慣性力共線)時，產(chǎn)生振幅yd的外力P為:,這意味著，在位移達(dá)到幅值時，可用F 代替慣性力和荷載的共同作用（有無阻尼均如此）。 F產(chǎn)生的動內(nèi)力和動位移是F產(chǎn)生的靜內(nèi)力和靜位移倍。,注意：位移達(dá)幅值時，速度為 零，故阻尼力為零，計算