1、1,7 序貫實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì),系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)法: 對(duì)實(shí)驗(yàn)先進(jìn)行系統(tǒng)全面設(shè)計(jì)，然后按步就班完成各個(gè)實(shí)驗(yàn)的研究。 序貫實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)法： 有不少實(shí)驗(yàn)優(yōu)化方向難以預(yù)見確定，下一步的實(shí)驗(yàn)方案往往要根據(jù)上一步的實(shí)驗(yàn)結(jié)果來設(shè)計(jì)，也即實(shí)驗(yàn)必須一個(gè)接著一個(gè)開展，時(shí)間上有先后，步驟上分前后。,序貫實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)法可分為登山法和消去法兩類。 登山法是逐步向最優(yōu)化目標(biāo)逼近的過程，就象登山一樣朝山頂(最高峰)挺進(jìn)。2 消去法則是不斷地去除非優(yōu)化的區(qū)域，使得優(yōu)化目標(biāo)存在的范圍越來越小，就象去水抓魚一樣逐步縮小包圍圈，最終獲得優(yōu)化實(shí)驗(yàn)條件。,7.1 單因素優(yōu)選法,優(yōu)選法是以數(shù)學(xué)原理為指導(dǎo)，以盡可能少的實(shí)驗(yàn)次數(shù)找到最優(yōu)實(shí)驗(yàn)方案的一類方法。 一般

2、在目標(biāo)函數(shù)無明顯表達(dá)式時(shí)采用，運(yùn)用此方法可以節(jié)約大量的人力、物力和時(shí)間。 例如在單因素實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)的情況下，如果均分法需做1000次實(shí)驗(yàn)，則用優(yōu)選法只需做14次左右實(shí)驗(yàn)就能達(dá)到同樣的實(shí)驗(yàn)精度，所以這一方法在國內(nèi)外各個(gè)領(lǐng)域中都得到了廣泛應(yīng)用。,7.1.1 黃金分割法 黃金分割法，又稱0.6l8法、折紙法。 一般適用于對(duì)實(shí)驗(yàn)總次數(shù)預(yù)先不做規(guī)定、每次做一個(gè)實(shí)驗(yàn)的情況。,例7-1 為了改善某油品的性能，需在油品中加入一種添加劑，其加入量在200 gt到400 gt之間，試確定添加劑的最佳加入量。 解： 這里考察因素只有添加劑加入量一個(gè)，總實(shí)驗(yàn)次數(shù)不限，可采用0.618法：,第一，確定第一個(gè)實(shí)驗(yàn)點(diǎn)。如圖7-

3、1(1)取一張紙條，其刻度為200400 g，在紙條全長的0.618處劃一條直線，在該直線所指示的刻度上做第一次實(shí)驗(yàn)，即按323.6 g做實(shí)驗(yàn)。,第二，確定第二個(gè)實(shí)驗(yàn)點(diǎn)。用對(duì)折法，以中點(diǎn)300 g為準(zhǔn)將紙條依中對(duì)折，如圖7-1(2)所示，找出對(duì)折后與323.6 g相對(duì)應(yīng)的點(diǎn)劃第二條線。第二條線的位置正好在紙條全長的0.382處，該點(diǎn)刻度276.4 g，按276.4 g做實(shí)驗(yàn)。,第三，比較兩次實(shí)驗(yàn)的結(jié)果，若比效果好，則在323.6 g處把紙條右邊一段剪去（若比效果好，則在276.4 g處把紙條左邊一段剪去）。剪去一端，余下的紙條再重復(fù)上面的對(duì)折法，找出第三個(gè)實(shí)驗(yàn)點(diǎn)，該實(shí)驗(yàn)點(diǎn)為247.2 g做實(shí)驗(yàn)

4、。如圖7-1(3)所示。,第四，比較實(shí)驗(yàn)的結(jié)果，如果仍然是比好，則將247.2 g左邊一段剪去，余下依中對(duì)折，找出第四個(gè)實(shí)驗(yàn)點(diǎn)294.4 g做實(shí)驗(yàn)。如圖7-1(4)所示。,第五，比較實(shí)驗(yàn)再剪去一端，按對(duì)折法，依次往后不斷確定新的實(shí)驗(yàn)點(diǎn)。每往后進(jìn)行一次實(shí)驗(yàn)，都比前一次更加接近所需要的加入量。 本例共做了8次實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)在紙條上所示的位置分別為265.2 g、283.2 g、287.6 g、280.8 g，當(dāng)做到第8次實(shí)驗(yàn)時(shí)，認(rèn)為已取得較滿意的結(jié)果，另外，剩余的實(shí)驗(yàn)范圍已很小，重新實(shí)驗(yàn)的結(jié)果相差不大，因此可以終止實(shí)驗(yàn)。經(jīng)過比較，最后獲得添加劑的最佳加入量為280.8 g。此法實(shí)驗(yàn)精度相當(dāng)于均分法80

5、多次，提高工效10多倍，節(jié)約了大量人力、物力。,由上例可見： (1) 0.618法是在給定的實(shí)驗(yàn)范圍內(nèi)確定的最佳點(diǎn)。 若實(shí)驗(yàn)范圍估算不準(zhǔn)確，那么就會(huì)失去運(yùn)用該方法的意義。因此需根據(jù)專業(yè)知識(shí)和實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)仔細(xì)估算實(shí)驗(yàn)范圍，以尋找出最佳的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。 (2) 采用0.618法安排實(shí)驗(yàn)，每次剪掉的紙條長度都是上次的0.382；而留下來的是上次長度的0.618?！叭ザ塘糸L” 無論剪掉左邊還是右邊，都將中間一段保留下來，而且隨著實(shí)驗(yàn)的一次次進(jìn)行，中間段的范圍越來越小，實(shí)驗(yàn)過的較好點(diǎn)一步又一步接近實(shí)驗(yàn)所要尋求的最優(yōu)點(diǎn)。 (3) 除了第1次需做2個(gè)實(shí)驗(yàn)外，其余每次只做一個(gè)新實(shí)驗(yàn)。 (4) 在實(shí)際操作時(shí)，每次實(shí)驗(yàn)所

6、取數(shù)值的確定，可以采用以下簡(jiǎn)便公式計(jì)算： 第一個(gè)實(shí)驗(yàn)點(diǎn)，應(yīng)取數(shù)值為：小頭+0.618(大頭-小頭) 以后各次實(shí)驗(yàn)點(diǎn)應(yīng)取數(shù)值為：(大頭+小頭-前次留下的實(shí)驗(yàn)點(diǎn))，簡(jiǎn)單說就是：加兩頭，減中間。 第一次實(shí)驗(yàn)點(diǎn)200+0.618(400-200)323.6 第二次實(shí)驗(yàn)點(diǎn)400+200-323.6276.4 第三次實(shí)驗(yàn)點(diǎn)323.6+200-276.4247.2 第四次實(shí)驗(yàn)點(diǎn)323.6+247.2-276.4294.4,例7-2 某電化學(xué)反應(yīng)中電流對(duì)電解產(chǎn)物的產(chǎn)率影響存在最佳值，試用黃金分割法確定最佳電流值，實(shí)驗(yàn)范圍為540 mA。,解： 實(shí)驗(yàn)過程如圖7-2：優(yōu)于；優(yōu)于；優(yōu)于；優(yōu)于；優(yōu)于，最佳電流值為19

7、.56 mA。6次實(shí)驗(yàn)誤差19.56-18.37=1.19 mA。采用均分法達(dá)到該精度的實(shí)驗(yàn)次數(shù)為 (40-5)/1.19=29次。,圖7-2 實(shí)驗(yàn)安排過程,7.1.2 分?jǐn)?shù)法 分?jǐn)?shù)法的原理與0.618法完全一樣。 預(yù)先規(guī)定了實(shí)驗(yàn)總次數(shù)的情況，我們就要用分?jǐn)?shù)法。 分?jǐn)?shù)法與0.618法的不同僅在于第一次實(shí)驗(yàn)點(diǎn)的選取方法不同。,“菲比那契數(shù)列”: 1，1，2，3，5，8，13，21，34，55， 遞推關(guān)系：F1=1, F2=1, Fn+2= Fn+ Fn+1，,數(shù)列：1, 1/2, 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21, 21/34，的漸近數(shù)0.618。,步驟如下： 如實(shí)驗(yàn)范圍已定

8、，要求只做n次實(shí)驗(yàn)，分?jǐn)?shù)法的第一個(gè)實(shí)驗(yàn)點(diǎn)是在實(shí)驗(yàn)范圍全長的Fn+1/Fn+2 位置進(jìn)行。 后面的實(shí)驗(yàn)點(diǎn)的選取，均按0.618法步驟依次進(jìn)行，直到做完n次實(shí)驗(yàn)，即可得到n次實(shí)驗(yàn)中的最佳實(shí)驗(yàn)方案。,例7-3 某化學(xué)反應(yīng)的反應(yīng)溫度范圍為120200 ，要求只進(jìn)行4次實(shí)驗(yàn)，找出最好的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。,解： 已知總實(shí)驗(yàn)次數(shù)：n4。 由菲比那契數(shù)列得知Fn+2F6=8，F(xiàn)n+1F5=5，于是按分?jǐn)?shù)法應(yīng)在實(shí)驗(yàn)范圍總長的Fn+1/Fn+2= 5/8處安排做第一次實(shí)驗(yàn)，即第一實(shí)驗(yàn)點(diǎn)是在： l20+(200-120)5/8170 進(jìn)行。 用“加兩頭，減中間”計(jì)算可得第二次實(shí)驗(yàn)點(diǎn)為： 200+120-170150 比較實(shí)

9、驗(yàn)、結(jié)果，發(fā)現(xiàn)好，去掉170 以上部分，對(duì)余下部分求得第三實(shí)驗(yàn)點(diǎn)為： 170+120-150140 即在第2等份處做實(shí)驗(yàn)。比較實(shí)驗(yàn)、結(jié)果，仍是好，去掉140 以下部分，對(duì)余下部分求第四實(shí)驗(yàn)點(diǎn)為： 170+140-150160 在第4等份處做實(shí)驗(yàn)，比較實(shí)驗(yàn)、結(jié)果，還是好，故最后確定150 是4次實(shí)驗(yàn)中較好的反應(yīng)溫度。,例7-4 某廠對(duì)鍋爐結(jié)垢進(jìn)行清洗，選用敲下來的垢片做實(shí)驗(yàn)，放入17、10的鹽酸液內(nèi)沸煮，17的需要180 min溶解，10%的需130 min溶解。接著，又做了一次30的實(shí)驗(yàn)，沸煮300 min垢仍不溶解，說明高濃度不好。因此，決定選取2 %10 %的區(qū)間，限定做4次實(shí)驗(yàn)，用分?jǐn)?shù)法

10、進(jìn)行優(yōu)選。 解： 把實(shí)驗(yàn)范圍分8等份，先后在7、5、4、6的鹽酸溶液中共做4次實(shí)驗(yàn)。比較各次實(shí)驗(yàn)結(jié)果，以采用6%的鹽酸液除垢效果最佳。實(shí)驗(yàn)安排及實(shí)驗(yàn)結(jié)果見圖7-4和表7-2。,表7-2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果,7.1.3 對(duì)分法,前面介紹的幾種方法都是先做兩個(gè)實(shí)驗(yàn)，再通過比較，找出最好點(diǎn)所在的傾向性來不斷縮小實(shí)驗(yàn)范圍，最后找到最佳點(diǎn)。 但不是所有的問題都要先做兩點(diǎn)，有時(shí)實(shí)驗(yàn)是朝一個(gè)方向進(jìn)行的，無需對(duì)比兩個(gè)實(shí)驗(yàn)結(jié)果。,例如，稱量質(zhì)量為2060 g某種樣品時(shí)，第一次砝碼的質(zhì)量為40 g，如果砝碼偏輕，則可判斷樣品的質(zhì)量為4060 g，于是第二次砝碼的質(zhì)量改為50 g，如果砝碼又偏輕，則可判斷樣品的質(zhì)量為5060

11、 g，接下來砝碼的質(zhì)量應(yīng)為55 g，如此稱下去，直到天平平衡為準(zhǔn)。稱量過程如圖7-5所示。,圖7-5 對(duì)分法實(shí)驗(yàn)過程,這個(gè)稱量過程中就使用了對(duì)分法(也叫平分法)，每個(gè)實(shí)驗(yàn)點(diǎn)的位置都在實(shí)驗(yàn)區(qū)間的中點(diǎn)，每做一次實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)區(qū)間長度就縮短一半，可見，對(duì)分法不僅分法簡(jiǎn)單，而且能很快地逼近最好點(diǎn)。,但不是所有的問題都能用對(duì)分法，只有符合以下兩個(gè)條件的時(shí)候才能使用。 要有一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)（或具體指標(biāo)）。對(duì)分法每次只有一個(gè)實(shí)驗(yàn)，如果沒有一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，就無法鑒別實(shí)驗(yàn)結(jié)果是好是壞。在上述例子中，天平是否平衡就是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)。 要預(yù)知該因素對(duì)指標(biāo)的影響規(guī)律。也就是說，能夠從一個(gè)實(shí)驗(yàn)的結(jié)果直接分析出該因素的值是取大了還是取小了。如果

12、沒有這一條件就不能確定舍去哪段，保留哪段，也就無從下手做下一次實(shí)驗(yàn)。對(duì)于上例，可以根據(jù)天平傾斜的方向來判斷是砝碼重，還是樣品重，進(jìn)而可以判斷樣品的質(zhì)量范圍，即實(shí)驗(yàn)區(qū)間。,例7-5 某潤滑油加入66 的復(fù)合劑后質(zhì)量符合要求，為了降低成本，在保證潤滑油質(zhì)量的前提下，試選擇復(fù)合添加劑的最佳加入量。 解： 實(shí)驗(yàn)可使用對(duì)分法進(jìn)行安排。假如當(dāng)復(fù)合添加劑加入量小于18 時(shí)，該種潤滑油質(zhì)量即不合格，故實(shí)驗(yàn)范圍為18 66 。在這范圍內(nèi)對(duì)分取其中點(diǎn)，即添加劑加入量為42 時(shí)做第一次實(shí)驗(yàn)，如果質(zhì)量仍然合格，則含去42 66 這一段，在余下的18 42 中再取中點(diǎn)，即30 做第二次實(shí)驗(yàn)，結(jié)果如不合格，則舍去18 3

13、0 這一段；在30 42 這一段再取中點(diǎn)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，直到找到最佳點(diǎn)為止。參見圖7-6。 由于對(duì)分法每次舍去的將是原來實(shí)驗(yàn)范圍的一半，因此較之0.618法可以縮短整個(gè)實(shí)驗(yàn)的總周期。,14,7.1.4 拋物線法,不管是黃金分割法，還是分?jǐn)?shù)法，都是通過比較兩個(gè)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的好壞，逐步找出最好點(diǎn)。 如果實(shí)驗(yàn)結(jié)果是定量處理的，那么顯然實(shí)驗(yàn)結(jié)果的數(shù)值，即目標(biāo)函數(shù)值本身的大小，并沒有在優(yōu)化方案中被考慮利用。,拋物線法是根據(jù)已得的三個(gè)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，找到這三點(diǎn)的拋物線方程，然后求出該拋物線的極大值，作為下次實(shí)驗(yàn)的根據(jù)。用拋物線法可使實(shí)驗(yàn)進(jìn)一步深化，對(duì)最優(yōu)點(diǎn)的位置作出更準(zhǔn)確的估計(jì)。,如圖7-7所示，設(shè)在x1、x2、x3三點(diǎn)

14、上做實(shí)驗(yàn)，其結(jié)果分別為y1、y2、y3。通過x-y平面上的三點(diǎn)（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3）作拋物線逼近曲線，拋物線的頂點(diǎn)（x0，y0）就可能近似于實(shí)驗(yàn)曲線的最優(yōu)點(diǎn)。,如果將下次實(shí)驗(yàn)安排在拋物線頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)x0處，便可得到最佳的實(shí)驗(yàn)結(jié)果y0，此方法常被稱為優(yōu)選法的“最后一躍”。,用拉格朗日插值法可以可得通過上述三點(diǎn)的拋物線方程為：,16,拋物線的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)為,在x=x0處得到實(shí)驗(yàn)結(jié)果y0后，若需繼續(xù)實(shí)驗(yàn)，則在（x0，y0）和它相近的兩點(diǎn)做新的拋物線，以求最優(yōu)點(diǎn)。 此方法最適用于中間高、兩頭低，或中間低、兩頭高的二次拋物線情況。,粗略地說，如果窮舉法（在每個(gè)實(shí)驗(yàn)點(diǎn)上都做實(shí)驗(yàn)）需要

15、做n次實(shí)驗(yàn)，達(dá)到同樣的效果，黃金分割法只要數(shù)量級(jí)lgn次就可以達(dá)到，拋物線法效果更好些，只要數(shù)量級(jí)lglgn次。,17,例7-6 在測(cè)定某離心泵效率h (%)與流量Q (L/s)之間關(guān)系曲線的實(shí)驗(yàn)中，已經(jīng)測(cè)得三組數(shù)據(jù): Q分別為8, 20, 32時(shí)，h等于50, 75, 70。如何利用拋物線法盡快地找到最高效率點(diǎn)？,解： 首先根據(jù)這三組數(shù)據(jù)，確定拋物線的極值點(diǎn)，即下一實(shí)驗(yàn)點(diǎn)的位置。為了表示方便，流量用x表示，效率用y表示，于是,接下來的實(shí)驗(yàn)應(yīng)在流量為24 L/s時(shí)進(jìn)行。實(shí)驗(yàn)表明，在該處離心泵效率h78，該效率已經(jīng)非常理想了，實(shí)驗(yàn)一次成功。,18,7.2 雙因素優(yōu)選法 雙因素優(yōu)選問題，就是要迅速

16、地找到二元函數(shù)zf (x, y) 的最大值及其對(duì)應(yīng)的（x, y）點(diǎn)的問題。,假定處理的是單峰問題，也就是把x，y平面作為水平面，實(shí)驗(yàn)結(jié)果z看成這一點(diǎn)的高度，這樣的圖形就是一座山。雙因素優(yōu)選法的幾何意義是找出該山峰的最高點(diǎn)。,圖7-8 雙因素優(yōu)選法的幾何意義(單峰),7.2.1 對(duì)開法,在直角坐標(biāo)系中畫出一矩形代表優(yōu)選范圍：axb，cyd。 在中線x(a+b)/2上用單因素法找最大值，設(shè)最大值在P點(diǎn)。在中線y(c+d)/2上用單因素法找最大值，設(shè)為Q點(diǎn)。比較P和Q的結(jié)果，如果Q大，去掉x(a+b)/2部分，否則去掉另一半。再用同樣的方法來處理余下的半個(gè)矩形，不斷地去其一半，逐步地得到所需要的結(jié)果

17、。優(yōu)選過程如圖7-9所示。,需要指出的是，如果P、Q兩點(diǎn)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果相等（或無法辨認(rèn)好壞），說明P和Q點(diǎn)位于同一條等高線上，所以可以將圖上的下半塊和左半塊都去掉，僅留下第一象限。所以當(dāng)兩點(diǎn)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的可分辨性十分接近時(shí)，可直接丟掉實(shí)驗(yàn)范圍的3/4。,例7-7 某化工廠試制磺酸鋇，其原料磺酸是磺化油經(jīng)乙醇水溶液萃取出來的。實(shí)驗(yàn)?zāi)康氖沁x擇乙醇水溶液的合適濃度和用量，使分離出的磺酸最多。根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，乙醇水溶液的濃度變化范圍為5090（體積百分?jǐn)?shù)），用量變化范圍為3070（質(zhì)量百分?jǐn)?shù)）。 解： 用對(duì)開法優(yōu)選，先將乙醇用量固定在50，用0.618法，求得A點(diǎn)較好，即濃度為80；而后上下對(duì)折，將濃度固定在70，

18、用0.618法優(yōu)選，結(jié)果B點(diǎn)較好，如圖7-10（a）。比較A點(diǎn)與B點(diǎn)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，A點(diǎn)比B點(diǎn)好，于是丟掉下半部分。在剩下的范圍內(nèi)再上下對(duì)折，將濃度固定于80，對(duì)用量進(jìn)行優(yōu)選，結(jié)果還是A點(diǎn)最好。于是A點(diǎn)即為所求。即乙醇水溶液濃度為80，用量為50。,7.2.2 旋升法,在直角坐標(biāo)系中畫出一矩形代表優(yōu)選范圍：axb，cyd。 先在一條中線，例如x(a+b)/2上，用單因素優(yōu)選法求得最大值。假定在P1點(diǎn)取得最大值，然后過P1點(diǎn)作水平線，在這條水平線上進(jìn)行單因素優(yōu)選，找到最大值，假定在P2處取得最大值，如圖7-11（a）所示，這時(shí)應(yīng)去掉通過P1點(diǎn)的直線所分開的不含P2點(diǎn)的部分；又在通過P2的垂線上找最大

19、值，假定在P3處取得最大值，如圖7-11（b）所示，此時(shí)應(yīng)去掉P2的上部分，繼續(xù)做下去，直到找到最佳點(diǎn)。,在這個(gè)方法中，每一次單因素優(yōu)選時(shí)，都是將另一因素固定在前一次優(yōu)選所得最優(yōu)點(diǎn)的水平上，故也稱為“從好點(diǎn)出發(fā)法”。,解： 先固定溫度為65 ，用單因素優(yōu)選時(shí)間，得最優(yōu)時(shí)間為150 min，其收率為41.6。 固定時(shí)間為150 min，用單因素優(yōu)選法優(yōu)選溫度，得最優(yōu)溫度為67 ，其收率為51.6（去掉小于65 部分）。 固定溫度為67 ，對(duì)時(shí)間進(jìn)行單因素優(yōu)選，得最優(yōu)時(shí)間為80 min，其收率為56.9%（去掉l50 min上半部）。 再固定時(shí)間為80 min，又對(duì)溫度進(jìn)行優(yōu)選，這時(shí)溫度的優(yōu)選范圍

20、為6575 。優(yōu)選結(jié)果還是67 。到此實(shí)驗(yàn)結(jié)束，可以認(rèn)為最好的工藝條件為溫度：67 ，時(shí)間80 min，得率56.9。,例7-8 阿托品是一種抗膽堿藥。為了提高產(chǎn)量降低成本，利用優(yōu)選法選擇合適的酯化工藝條件。根據(jù)分析，主要影響因素為溫度與時(shí)間，其實(shí)驗(yàn)范圍為：溫度：5575 ，時(shí)間：30310 min。,先將y固定在范圍 (c，d)的0.618處，即取y=c+(d-c)0.618, 用單因素法找最大值，假定在P點(diǎn)取得這一值。再把y固定在范圍 (c，d)的0.382處，即取y=c+(d-c)0.382, 用單因素法找最大值，假定在Q點(diǎn)取得這值。 比較P、Q的結(jié)果。如果P好，則去掉Q點(diǎn)下面部分，即去

21、掉yc+(d-c)0.382的部分（否則去掉P點(diǎn)上面的部分），再用同樣的方法處理余下的部分，如此繼續(xù)，如圖7-13所示。 注意，因素y的取點(diǎn)方法不一定要按0.618法, 也可以固定在其他合適的地方。,7.2.3 平行線法 兩個(gè)因素中，一個(gè)(例如x)易于調(diào)整，另一個(gè)(例如y)不易調(diào)整，則建議用“平行線法”。,24,7.3 多因素優(yōu)選法,7.3.1 最陡坡法 眾所周知，登山時(shí)若沿最陡坡攀登，路線將最短。 實(shí)驗(yàn)指標(biāo)的變化速度，也可看作是一種“坡度”； 最陡坡法，就是要沿實(shí)驗(yàn)指標(biāo)變化最快的方向?qū)ふ易顑?yōu)條件。,(1) 實(shí)驗(yàn)步驟 查找最陡坡 利用多因素二水平正交實(shí)驗(yàn)，可以獲得各因素的極差值。極差的相對(duì)大小

22、，反映了因素的水平變化對(duì)實(shí)驗(yàn)指標(biāo)的影響程度，也即因素效應(yīng)的相對(duì)大小。因素的效應(yīng)代表了該方向上指標(biāo)的變化率，即坡度。調(diào)優(yōu)過程中，應(yīng)使各因素水平的變動(dòng)幅度與各自效應(yīng)的大小成比例，這就是最陡坡。 沿最陡坡登山 沿著已確定的最陡方向安排一批試點(diǎn)，逐步調(diào)優(yōu)，直至實(shí)驗(yàn)指標(biāo)不再改進(jìn)為止。 檢驗(yàn)頂點(diǎn)位置 以登山時(shí)找到的最優(yōu)試點(diǎn)為中心，重新安排一組正交實(shí)驗(yàn)，檢驗(yàn)該處是否已達(dá)“山頂”，如果不是，就要找出新的最陡方向，繼續(xù)登山。,例7-9 某褐鐵礦試樣，粒度0.13 mm，品位41% (Fe)，可淘汰法分選，要求精礦品位49%50% (Fe)，用最陡坡法尋求最優(yōu)工藝操作條件。,解： 先要查找最陡坡。 需考查的因素為

23、：人工床層厚度(A)，mm；篩下水量(B)，m3(m2h）；沖程(C)，mm；試料層厚度(D)，mm。 利用2水平正交實(shí)驗(yàn)尋找最陡坡。選用正交表L8(27)，安排四個(gè)因素。這樣的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)方案可保證全部主效應(yīng)均不被混雜，而僅交互作用項(xiàng)相互混雜，因而有利于正確地找到最陡坡。 基點(diǎn)（中心點(diǎn)）的實(shí)驗(yàn)條件定為: A0=60 mm; B0=7.06 m3(m2h）；C0=7.5 mm; D0=45 mm。 步長相鄰兩實(shí)驗(yàn)點(diǎn)間取值的間距。由于基點(diǎn)的水平編碼為0，故它同高水平點(diǎn)(+1)和低水平點(diǎn)(-1)的間距均為“半步”。設(shè)以S表示步長，各因素的步長定為: SA=30 mm; SB=2.38 m3/(m2h）

24、；SC=3.0 mm; SD=30 mm。 于是可將各因素水平的實(shí)際取值匯總?cè)绫?-3。,實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表7-4所示。實(shí)驗(yàn)考察指標(biāo)為精礦品位, 即Fe含量。,表7-4中K= K(+1)-K(-1)，與極差R相似，但不完全相同。K是有正負(fù)的。K為負(fù)，表示K(+1)DAB(3)(5)(6)。因素C、D、A對(duì)結(jié)果影響較大，因素B及一些交互作用對(duì)結(jié)果影響較小可忽略。,27,最陡坡的確定如下。 C、D、A三因素主效應(yīng)的比值為KC：KD：KA=(-9.39): 3.39: 3.31=(-1): 0.36: 0.35。 要保證C、D、A三因素同步變化，則它們的步長變化幅度就應(yīng)該按照上述比例進(jìn)行，即C因素減小1步

25、，D因素和A因素分別增大0.36步和0.35步。 現(xiàn)選定沖程C的新步長SC=1 mm，SC：SC1：3，即C的新步長相當(dāng)于原步長的1/3，那么就可算出： 試料層厚度D的新步長為SD=0.36(SC/SC)SD=0.36(1/3)30=3.6 mm。 人工床層厚度A的新步長為SA=0.35(SC/SC)SA=0.35(1/3)30=3.5 mm。 需要注意的是，因素C的效應(yīng)為負(fù)值，因素D和A的效應(yīng)為正值，故登山時(shí)C取值需減小，而D和A取值需增大。,確定了最陡坡的方向和前進(jìn)的步長后，就可以沿最陡坡登山了。 以原正交實(shí)驗(yàn)中的最優(yōu)實(shí)驗(yàn)點(diǎn)2作為登山起點(diǎn)，該點(diǎn)的條件為A(+1)75 mm，B(-1)5.8

26、7 m3/(m2h），C(-1)6.0 mm，D(+1)60 mm。新實(shí)驗(yàn)9的條件為：A75+3.578.5 mm，C6.0-1.05.0 mm，D60+3.663.6 mm。依次可算出實(shí)驗(yàn)10、11的條件。各點(diǎn)的實(shí)驗(yàn)條件和結(jié)果均已綜合列入表7-5。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，最優(yōu)試點(diǎn)為實(shí)驗(yàn)10，相應(yīng)的操作條件為人工床厚A為82 mm，篩下水量B為5.87 m3/(m2h），沖程C為4 mm，試料層厚D為67.2 mm。,表7-5 登山實(shí)驗(yàn)條件和結(jié)果,(2) 應(yīng)用條件 采用最陡坡法要注意其應(yīng)用條件。 目標(biāo)函數(shù)為一單峰函數(shù)，即只有一個(gè)極大值。 在實(shí)驗(yàn)范圍內(nèi)響應(yīng)面接近一斜面，而沒有突然的轉(zhuǎn)折點(diǎn)。 一般來說，若目

27、標(biāo)函數(shù)對(duì)工藝條件的變化很敏感，就可能出現(xiàn)突變點(diǎn)。此時(shí)，若采用二水平的正交實(shí)驗(yàn)，就不易找到“坡度”。 在尋找最陡坡時(shí)所選用的兩個(gè)水平必須落在山坡上，而不是落在山腳外或橫跨山嶺。 只有滿足了以上三項(xiàng)條件，才能將實(shí)驗(yàn)范圍內(nèi)的響應(yīng)面方程近似地看作線性方程，并按線性模型尋找最陡坡。,30,7.3.2 單純形法,(1) 單純形法特點(diǎn) 單純形法(Simplex)又稱單純形優(yōu)化法,是一種動(dòng)態(tài)尋優(yōu)方法。它能在交互作用復(fù)雜，因素較多的場(chǎng)合使用，對(duì)實(shí)驗(yàn)有全面優(yōu)化的效果，克服了單因素優(yōu)化法無法考慮各因素間的交互影響、準(zhǔn)確性低、工作量大的缺點(diǎn)。它能在實(shí)驗(yàn)次數(shù)較少的情況下，快速地找出最佳條件組合。 單純形法的優(yōu)點(diǎn)是，計(jì)算

28、比較簡(jiǎn)單，不論因素多少，除了第一步需安排n+1個(gè)實(shí)驗(yàn)點(diǎn)以外，以后每一步只需安排一個(gè)新實(shí)驗(yàn)點(diǎn)，且可隨時(shí)調(diào)整最優(yōu)方向，因而調(diào)優(yōu)速度很快。 如果需要中途引進(jìn)新的變數(shù)，也非常方便。也就是說，不論實(shí)驗(yàn)進(jìn)展到哪里，只要多加一個(gè)實(shí)驗(yàn)點(diǎn)，就可多考查一個(gè)因素。不象正交實(shí)驗(yàn)，每增加一個(gè)因素，實(shí)驗(yàn)點(diǎn)數(shù)將增加很多。 單純形法的實(shí)驗(yàn)點(diǎn)數(shù)很少，但因?yàn)槭切蜇瀸?shí)驗(yàn)，所以實(shí)驗(yàn)批次很多。單純形法每一步的實(shí)驗(yàn)安排都要依賴上一步的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，不象最陡坡法那樣一次可以安排好幾步實(shí)驗(yàn)，因而時(shí)間上不一定節(jié)省。,31,(2) 基本單純形法 單純形是指多維空間中的一種凸圖形，它的頂點(diǎn)數(shù)僅比空間的維數(shù)多1。 二維空間的單純形是三角形；三維空間的單

29、純形是四面體，每個(gè)面是一個(gè)三角形；n維空間的單純形則是由n+1個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的超多面體。 空間多面體各頂點(diǎn)就是實(shí)驗(yàn)點(diǎn)。比較各實(shí)驗(yàn)點(diǎn)的結(jié)果，去掉最壞的實(shí)驗(yàn)點(diǎn)，取其對(duì)稱點(diǎn)作為新的實(shí)驗(yàn)點(diǎn)，該點(diǎn)稱為“反射點(diǎn)”。新實(shí)驗(yàn)點(diǎn)與剩下的幾個(gè)實(shí)驗(yàn)點(diǎn)又構(gòu)成新的單純形。新單純形向最佳目標(biāo)點(diǎn)不斷靠近，最后找出最優(yōu)目標(biāo)點(diǎn)。,32,下面結(jié)合圖示進(jìn)一步說明單純形法優(yōu)化過程,33,單純形調(diào)優(yōu)過程如下： 確定考核指標(biāo) 確定的考核指標(biāo)，應(yīng)是數(shù)量化的，可精確測(cè)定的。 選擇因素與步長 因素應(yīng)是體系中的獨(dú)立變量。主要因素首先排入。 步長取值大，優(yōu)化速度快，但精密度差。步長取值小，精密度好，但調(diào)優(yōu)速度慢。 建立初始單純形,a. 計(jì)算法 首先確

30、定單純形的初始頂點(diǎn)(實(shí)驗(yàn)點(diǎn))，再由初始頂點(diǎn)出發(fā)計(jì)算單純形的其它頂點(diǎn)(實(shí)驗(yàn)點(diǎn))。 設(shè)單純形的初始頂點(diǎn)為A=(x1, x2, , xn), 其中x1, x2, , xn分別代表1, 2, , n個(gè)因素的取值。若步長為a，則單純形其它各頂點(diǎn)的值分別為： B=(x1+p, x2+q, x3+q, , xn+q) C=(x1+q, x2+p, x3+q, , xn+q) (n)=(x1+q, x2+q, , xn-1+p, xn+q) (n+1)=(x1+q, x2+q, x3+q, , xn+p),b. 朗系數(shù)法 1969年，D. E. Long提出了一種利用系數(shù)k 計(jì)算初始單純形各頂點(diǎn)的方法。其方法

31、是，先確定一個(gè)初始頂點(diǎn)，再用系數(shù)k乘以該因素的步長a，將所得的值加到初始點(diǎn)該因素的取值上，即得到單純形另一個(gè)頂點(diǎn)該因素的取值。,35,表7-6 Long系數(shù)表,c. 均勻設(shè)計(jì)表法 均勻設(shè)計(jì)表可容納的因素與水平數(shù)較多，實(shí)驗(yàn)點(diǎn)在整個(gè)優(yōu)化區(qū)間分布均勻，用均勻設(shè)計(jì)表來構(gòu)造初始單純形，不需要進(jìn)行任何計(jì)算，方法簡(jiǎn)便。根據(jù)所研究的因素?cái)?shù)，選擇合適的均勻設(shè)計(jì)表，按照均勻設(shè)計(jì)表及其使用表的要求，將因素水平對(duì)號(hào)入座，即可獲得初始單純形每個(gè)頂點(diǎn)的各個(gè)因素的取值。 單純形法中初始點(diǎn)的計(jì)算比較麻煩，特別是多因素且步長各不相同，因此實(shí)際應(yīng)用中常采用Long系數(shù)法和均勻設(shè)計(jì)表法選取初始點(diǎn)，而均勻設(shè)計(jì)表構(gòu)造的初始單純形各頂點(diǎn)

32、在空間均勻分布，在此基礎(chǔ)上優(yōu)化是整體的均勻優(yōu)化，因此被廣泛采用。,37, 確定新實(shí)驗(yàn)點(diǎn),初始單純形建立之后，按照（n+1）頂點(diǎn)的實(shí)驗(yàn)條件，進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，比較（n+1）頂點(diǎn)測(cè)定結(jié)果，找出最差點(diǎn)j即為去掉的點(diǎn)。使單純形向前推進(jìn)。新實(shí)驗(yàn)點(diǎn)（即n+2）的計(jì)算方法為 新實(shí)驗(yàn)點(diǎn) (單純形各實(shí)驗(yàn)點(diǎn))-最差點(diǎn)j 在單純形推進(jìn)過程中，有時(shí)出現(xiàn)新實(shí)驗(yàn)點(diǎn)的響應(yīng)值為最差的情況，如果取其反射點(diǎn)，就又回到前面的單純形，這樣就出現(xiàn)單純形來回“擺動(dòng)”，無法繼續(xù)向前推進(jìn)。在此情況下，應(yīng)以去掉單純形中次差點(diǎn)代替去掉的最差點(diǎn)（即保留最差點(diǎn)，去掉次差點(diǎn)），使單純形繼續(xù)推進(jìn)。,38, 單純形的收斂性 在單純形優(yōu)化過程中，應(yīng)經(jīng)?？疾閷?shí)驗(yàn)結(jié)果

33、（或稱響應(yīng)值）是否達(dá)到要求，這在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中稱為收斂性檢驗(yàn)。 根據(jù)數(shù)理統(tǒng)計(jì)，單純形的收斂準(zhǔn)則為,式中R(B)和R(W)分別表示單純形中最好點(diǎn)和最差點(diǎn)的響應(yīng)值；為收斂系數(shù)。當(dāng)上式成立時(shí)，單純形就停止推進(jìn)，即單純形達(dá)到收斂點(diǎn)，此時(shí)單純形中最好點(diǎn)就是所要尋找的最佳條件。,(3) 改進(jìn)單純形調(diào)優(yōu)法,改進(jìn)單純形法是在基本單純形的基礎(chǔ)上，采用可變步長推移單純形，既能加快優(yōu)化速度，又能獲得較好的優(yōu)化精度。它是在基本單純形法的基礎(chǔ)上引入了反射、擴(kuò)大、收縮與整體收縮規(guī)則，變固定步長為可變步長，較好地解決了優(yōu)化速度與優(yōu)化精度之間的矛盾，是各種單純形優(yōu)化法中應(yīng)用最廣泛的一種單純形優(yōu)化方法。,基本單純形利用對(duì)稱原理，把

34、去掉的最差點(diǎn)作等距離反射求出新的實(shí)驗(yàn)點(diǎn)，經(jīng)過多次反射后，找出最優(yōu)化條件。但是，如果步長固定，優(yōu)化幅度不能根據(jù)結(jié)果效應(yīng)的大小進(jìn)行靈活調(diào)整，就會(huì)出現(xiàn)優(yōu)化速度和優(yōu)化精度之間的矛盾。為此，1965年J. A. Nelder等提出來了改進(jìn)單純形法。,40,改進(jìn)單純形新實(shí)驗(yàn)點(diǎn)的計(jì)算方法為：,新實(shí)驗(yàn)點(diǎn) (單純形各實(shí)驗(yàn)點(diǎn))-最差點(diǎn)j 式中B為單純形推進(jìn)系數(shù)，n為優(yōu)化的因素?cái)?shù)。,B的取值有以下幾種可能性： 若B1，新實(shí)驗(yàn)點(diǎn)即為反射點(diǎn)，按基本單純形推進(jìn)。 如果反射點(diǎn)在新的單純形中是最好的點(diǎn)，說明反射方向正確，可以沿ad方向進(jìn)一步搜索，此時(shí)B的取值大于1。如B2，稱為擴(kuò)大，如果擴(kuò)大到e，e點(diǎn)的結(jié)果好于d點(diǎn)，則“擴(kuò)大”成功，用e點(diǎn)代替d點(diǎn)，構(gòu)成bce單純形。反之，e點(diǎn)的結(jié)果不如d點(diǎn)，則“擴(kuò)大”失敗，仍采用d點(diǎn)，構(gòu)成bcd單純形進(jìn)行比較。 如果d點(diǎn)在新的單純形中是最壞點(diǎn)，但比a點(diǎn)好，這時(shí)取B1（在0B1，取B0.5）稱為“收縮”，為f點(diǎn)，它與留下的點(diǎn)構(gòu)成新的單純形bcf。如果d點(diǎn)的結(jié)果比a點(diǎn)還差，這時(shí)采用“內(nèi)收縮”