1、第十一章 求解定解問題的其它解法,求解數(shù)理方程，除了行波法、分離變量法外，還有其他的常用解法： 格林函數(shù)法； 積分變換法； 保角變換法等一些解析法。,11.1 保角變換法求解定解問題,在許多物理問題中（如電學(xué)、熱學(xué)、光學(xué)、流體力學(xué)和彈性力學(xué)等）經(jīng)常會(huì)遇到解平面場(chǎng)的拉普拉斯方程或泊松方程的問題盡管可用前幾章的理論方法如：分離變量法或格林函數(shù)法等來解決，但當(dāng)邊值問題中的邊界形狀變得十分復(fù)雜時(shí)，分離變量法和格林函數(shù)法卻顯得十分困難，甚至不能解決對(duì)于復(fù)雜的邊界形狀，拉普拉斯方程定解問題常采用保角變換法求解,保角變換法解定解問題的基本思想： 通過解析函數(shù)的變換或映射（這部分知識(shí)在復(fù)變函數(shù)論中已經(jīng)學(xué)習(xí)過）

2、將,Z平面上具有復(fù)雜邊界形狀的邊值問題變換為,W平面上具有簡(jiǎn)單形狀（通常是圓、上半平面或帶形域）的 邊值問題，而后一問題的解易于求得于是再通過逆變換 就求得了原始定解問題的解,這就是本章將要介紹的一種解決數(shù)學(xué)物理方程定解 問題中的解析法保角變換法。,保角變換法是解決這類復(fù)雜邊界的最有效方法，特別適合于分析平面場(chǎng)的問題。 例如靜電場(chǎng)的問題，由于這種求解復(fù)雜邊界的定解問 題具有較大的實(shí)用價(jià)值，所以有必要單獨(dú)以一章的內(nèi) 容進(jìn)行介紹 復(fù)變函數(shù)論中已經(jīng)系統(tǒng)介紹了保角變換理論，本章主要介紹利用保角變換法求解定解問題。,11.1.1 保角變換與拉普拉斯方程邊值問題的關(guān)系,在復(fù)變函數(shù)論中我們已經(jīng)知道，由解析函

3、數(shù),實(shí)現(xiàn)的從Z平面到W,平面的變換在,的點(diǎn)具有保,角性質(zhì)，因此這種變換稱為保角變換下面我們主要討論一一 對(duì)應(yīng)的保角變換，即假定,和它的反函數(shù)都是單值,函數(shù)；或者如果它們之中有多值函數(shù)就規(guī)定取它的黎曼面的一 葉,定理11.1.1 如果將由,到,的保角變換看成為二元（實(shí)變）函數(shù),的變換由,到,的變量代換，則,平面上的邊界變成了,平面上的邊界我們能證明，如果,程，則經(jīng)過保角變換后得到的,滿足拉普拉斯方,也滿足拉普拉斯方程,【證明】 利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則有,(11.1.1),同理,(11.1.2),兩式相加得到,（11.1.3）,利用解析函數(shù),的C-R條件,(11.1.4),以及解析函數(shù)的實(shí)部和虛部分

4、別滿足拉普拉斯方程的性質(zhì),(11.1.5),將式（11.1.4）和式（11.1.5）代入到式（11.1.3）化簡(jiǎn)后得到,注意到上式已經(jīng)使用了：,對(duì)于保角變換,因而只要,滿足拉普拉斯方程，則,）也滿足拉,普拉斯方程，即為,（11.1.6）,這樣我們就有結(jié)論：如果在,平面上給定了,的拉普拉斯方程邊值問題，,則利用保角變換,，可以將它轉(zhuǎn)化為,平面上,的拉普拉斯方程邊值問題,同理可以證明，在單葉解析函數(shù),變換下，泊松方程,(11.1.7),仍然滿足泊松方程,（11.1.8）,由上式可知，在保角變換下，泊松方程中的電荷密度 發(fā)生了變化,對(duì)于波動(dòng)問題和輸運(yùn)問題，同理可以證明，亥姆霍茲方程,(11.1.9)

5、,經(jīng)變換后仍然服從亥姆霍茲方程,(11.1.10),注意到方程要比原先復(fù)雜，且,前的系數(shù)可,能不是常系數(shù),保角變換法的優(yōu)點(diǎn)不僅在于拉普拉斯方程、泊松方程 等方程的類型在保角變換下保持不變，更重要的是，能將 復(fù)雜邊界問題變?yōu)楹?jiǎn)單邊界問題，從而使問題得到解決,下面，在介紹用保角變換法來求解拉普拉斯方程之前， 先介紹常用到的一些保角變換,11.1.2 常用的幾種保角變換,(1) 平移變換,將z平面上的圖形整體平移一個(gè)矢量a。,(2) 線性變換,平移,旋轉(zhuǎn),伸縮,(3) 反演變換,保角性： 保圓性： 保對(duì)稱性：Z平面內(nèi)關(guān)于原點(diǎn)O 對(duì)稱點(diǎn)P、Q 變換為w 平面上的像P、Q 也關(guān)于原點(diǎn)O 對(duì)稱。,(4)

6、分式線性變換,保圓性； 保對(duì)稱性；,上式可寫成,其中：,例題1,i,(-1,0),(1,0),例題2,1/2,上半平面,(5) 冪函數(shù)變換 令 則 該變換的特點(diǎn)是把z平面的圓周變換成w平面的 圓周。特別是單位圓周變換成單位圓周 ；把以 原點(diǎn)為頂點(diǎn)的角形域變換成以原點(diǎn)為頂點(diǎn)的角 形域，但其張角為原來的的n倍。,討論變換 若均勻場(chǎng)在w 平面上是具有平行于兩坐標(biāo)軸的直線族，則此變換將w平面的正實(shí)軸變換成z平面上的正實(shí)軸，其負(fù)實(shí)軸卻因負(fù)值的方根變成z平面上的正虛軸，這樣w平面的上半平面變換成z平面的第一象限，如圖所示。反之亦然 .,(6) 對(duì)數(shù)變換 對(duì)數(shù)變換是常用的一種變換。對(duì)數(shù)變換是指數(shù)變換的逆變換

7、。先研究指數(shù)變換 令 ， 得 可知：z平面上的直線x=常數(shù)變換到w平面上的圓周 常數(shù)，而直線y常數(shù)變換成射線 常數(shù)。,因此，指數(shù)變換的特點(diǎn)是：把水平的帶形 城 變換成角形,z(W平面),w(z平面),對(duì)于對(duì)數(shù)變換 取極坐標(biāo)系 則 故 可見：在w平面上 常數(shù)的直線在 z 平面表示 一族圓；常數(shù)表示一族徑向射線。,例1 試求平面靜電場(chǎng)的電勢(shì)分布,，其中,【解】,變換,使上半,平面變成,平面上的帶形域,然的，類似于上面定解問題的結(jié)果,則本定解問題可歸結(jié)為,而在帶形域上的解是顯,11.1.3 保角變換法求解定解問題典型實(shí)例,而,所以,于是，作反變換便可求得所求問題的解為,試用保角變換法求解一半徑為,的

8、無(wú)限長(zhǎng)導(dǎo)體圓柱殼,內(nèi)的電場(chǎng)分布情況,【解】即求解定解問題,例 2 若把柱面充電到,作如下的保角變換 (1) 作變換,把原圖象縮小為,倍即將任意的圓周變換為單位圓,(2) 再作變換,把,變換為,，其邊界的變換是將下,半圓周對(duì)應(yīng)于負(fù)半實(shí)軸，上半圓周對(duì)應(yīng)于正半實(shí)軸,（3）再作變換,把,平面的上半平面變成,平面上平行于實(shí)軸，寬為,的一個(gè)帶形區(qū)域，其邊界的,變換是將,平面的正半實(shí)軸變換為,平面的實(shí)軸，,平面的負(fù)半實(shí)軸變換為,平面的平行于實(shí)軸的直線,所以，在變換,之下，定解問題變換為,定解問題的解（仿上例）為,將變量回到,平面，則,化成極坐標(biāo)形式，則上式又改寫成,從上面的例題我們總結(jié)出，對(duì)于平面標(biāo)量場(chǎng)的問題， 不管邊界如何復(fù)雜，只要能通過保角變換把原來的邊界 所圍成的區(qū)域變換成上半平面的帶形域,問題就容易解決了,解：用保角變換法 由于等勢(shì)面為圓，故可采用對(duì)數(shù)函數(shù)變換來進(jìn)行計(jì)算。,例3 兩個(gè)同軸圓柱構(gòu)成柱形電容器，內(nèi)外半徑 分別為R1、R2，電勢(shì)分別為 、 。求導(dǎo)體內(nèi) 任一點(diǎn)的電勢(shì)。