1、博士研究生課程 計(jì)算固體力學(xué) 課程編號：017090 王生楠，謝偉 西北工業(yè)大學(xué) 航空學(xué)院,授課內(nèi)容簡介,第五章 接觸和碰撞問題及其有限元求解 接觸問題的界面條件 接觸問題的求解方案 接觸問題的有限元方程 接觸問題的有限元求解 接觸分析中的若干問題,引言,接觸現(xiàn)象是普遍存在的。實(shí)際的工程結(jié)構(gòu)系統(tǒng)往往分成幾個(gè)非永久性連在一起的部分，這些部分之間的力靠它們之間的擠壓、甚至沖擊來傳遞。,研究現(xiàn)狀：簡單的彈性接觸問題在19世紀(jì)末Hertz就已經(jīng)開始研究，但只有在有限元方法及計(jì)算機(jī)出現(xiàn)以后，接觸問題的研究才有了長足發(fā)展，并達(dá)到實(shí)用化程度。,接觸實(shí)例：齒輪的齒間嚙合；汽（氣）輪機(jī)及發(fā)動(dòng)機(jī)中葉片與輪盤的榫接

2、；兩物體的撞擊（動(dòng)態(tài)接觸）。,接觸問題的特點(diǎn)：屬邊界非線性問題，邊界條件不再是定解條件，而是待求結(jié)果；兩接觸體間接觸面積與壓力隨外載的變化而變，并與接觸體的剛性有關(guān)。這是該問題的特點(diǎn)，也是困難所在。,引言,研究內(nèi)容：,對以上四方面內(nèi)容，不少學(xué)者進(jìn)行了研究，提出了不同的理論與方法，對同一問題，各種理論各有優(yōu)缺點(diǎn)，尚未達(dá)到共識?；诮佑|問題的難度、研究的不成熟、加之其實(shí)用性，它一直是固體力學(xué)研究的熱點(diǎn)。,接觸模式問題：描述兩接觸體間的力的傳遞、描述不同載荷下接觸狀態(tài)的變化；（解決如何描述的問題） 幾何約束問題：表示接觸面上兩物體位移所要滿足的條件；（解決到底以什么具體形式來描述、即怎樣描述？） 摩

3、擦定律問題：反映接觸面上力與位移或壓力與切向力之間的關(guān)系； 求解方法問題：建立數(shù)學(xué)方程并加以求解。,引言,研究內(nèi)容淺析：,接觸模式問題：解決接觸面上接觸力的傳遞問題。,點(diǎn)面（node-to-surface）接觸模式：先將兩接觸體人為地分為主動(dòng)體（master body）與被動(dòng)體（slave body），并假定主動(dòng)體網(wǎng)格中的一個(gè)結(jié)點(diǎn)可與被動(dòng)體表面上的任意一點(diǎn)（不一定是網(wǎng)格結(jié)點(diǎn)）相接觸。優(yōu)點(diǎn)兩接觸體可根據(jù)自身情況剖分網(wǎng)格。缺點(diǎn)方法較復(fù)雜、編程難度大。,點(diǎn)點(diǎn)（node-to-node）接觸模式：將兩接觸體的接觸面分成同樣的網(wǎng)格，使結(jié)點(diǎn)組成一一對應(yīng)的結(jié)點(diǎn)對，假定接觸力的傳遞通過結(jié)點(diǎn)對實(shí)現(xiàn)，接觸面上各局

4、部區(qū)域的接觸狀態(tài)也相應(yīng)地按結(jié)點(diǎn)對來判斷。優(yōu)點(diǎn)直觀、簡單、易于編程。缺點(diǎn)對于復(fù)雜接觸面情形，網(wǎng)格結(jié)點(diǎn)一一對應(yīng)不易做到。,2020/9/8,6,引言,研究內(nèi)容淺析: （續(xù)）,幾何約束問題：與接觸模式密切相關(guān)。實(shí)際上，在接觸模式確定的同時(shí)，接觸體邊界的約束性也隨之確定，即相應(yīng)地以點(diǎn)對點(diǎn)形式或點(diǎn)對面形式可對接觸面間的幾何約束予以描述。,摩擦定律問題：我們都知道已被廣泛采用的庫侖（Coulomb）摩擦定律，其中的摩擦系數(shù)為常數(shù)。實(shí)際上，摩擦系數(shù)不僅取決于接觸體的材料，而且與接觸面光滑度、材料的加工過程、接觸面潤滑條件、表面壓力等多種因素有關(guān)。即使是同樣的接觸物體，摩擦系數(shù)隨載荷大小、滑動(dòng)情況也會變化。由

5、于摩擦機(jī)理非常復(fù)雜，因此，目前仍然多采用庫侖摩擦定律，只是將靜、動(dòng)摩擦系數(shù)分開處理。,引言,研究內(nèi)容淺析: （續(xù)）,求解方法問題：在這方面，許多科學(xué)家傾注了大量的精力。,數(shù)學(xué)規(guī)劃方法：利用基于有限元離散的數(shù)學(xué)規(guī)劃方法直接求系統(tǒng)總勢能極值（或駐值）問題，其涉及的命題可表述為：,經(jīng)典方法：利用有限元方法，通過迭代進(jìn)行求解。,尋求一組位移矢量 ； 使系統(tǒng)總勢能 取駐值； 并滿足條件 。,目前，接觸問題分析的方法主要還是經(jīng)典方法，即從各種變分原理出發(fā)，將幾何約束和摩擦定律引入泛函，最終獲得接觸問題的控制方程。這是由于大型工程結(jié)構(gòu)分析，大多都采用有限元方法，而經(jīng)典方法仍然在此框架之內(nèi)。,二次規(guī)劃問題,線

6、性互補(bǔ)問題,引入單邊約束條件,第一節(jié) 接觸面的連接條件和接觸判定條件,一、接觸面的連接條件,在有限元位移法中，借助于恰當(dāng)?shù)倪x擇位移模式和形函數(shù)可以保證連續(xù)體中單元內(nèi)部的連續(xù)性和跨單元的連續(xù)性，而無需增加其他條件。但在接觸問題中，除了各相互接觸物體內(nèi)部變形的協(xié)調(diào)性以外，還必須保證各接觸物體之間在接觸邊界上變形的協(xié)調(diào)性，不可以相互侵入，同時(shí)還包括摩擦條件稱為接觸面的連續(xù)條件。,采用有限元法分析接觸問題時(shí)，需要分別對接觸物體進(jìn)行有限元網(wǎng)格劃分，并規(guī)定在初始接觸面上，兩個(gè)物體對應(yīng)結(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)位置相同，形成接觸對。整體和局部坐標(biāo)系下，兩個(gè)物體由于接觸載荷引起的等效結(jié)點(diǎn)力矢量分別記為,利用坐標(biāo)變換關(guān)系可得,

7、如果考慮摩擦力，采用載荷增量法分析，離散化后的接觸條件如下：,分離的結(jié)點(diǎn)對,粘結(jié)結(jié)點(diǎn)對,滑移結(jié)點(diǎn)對,第一節(jié) 接觸面的連接條件和接觸判定條件,二、接觸面判定條件,接觸求解的迭代過程首先假定可能接觸區(qū)內(nèi)各接觸點(diǎn)對的接觸狀態(tài)，根據(jù)相應(yīng)的接觸定解條件求解。但是，一般來說，開始假定的接觸狀態(tài)并不符合實(shí)際，如何確定三種接觸狀態(tài)的分界點(diǎn)是接觸問題處理中最基本的，在有限元中，這一問題可以歸結(jié)為確定積分界限的問題。而這一問題只有通過迭代過程才能求解，每次迭代必須逐個(gè)檢查接觸點(diǎn)對的接觸狀態(tài)是否需要修改。,接觸點(diǎn)對狀態(tài)判定條件只能用于分析滑動(dòng)量較小的情況。對于接觸間有較大相對滑動(dòng)的情況，須用點(diǎn)-線，點(diǎn)-面或面-面接

8、觸條件。這些判定條件要比點(diǎn)對判定條件復(fù)雜得多。,接觸判定條件,第二節(jié) 接觸問題的罰函數(shù)法,產(chǎn)生接觸的兩個(gè)物體必須滿足無穿透的約束條件，數(shù)學(xué)上施加無穿透約束的方法有拉格朗日乘子法，罰函數(shù)法以及直接約束法。用拉格朗日乘子法、罰函數(shù)法或增廣拉格朗日乘子法將接觸約束條件引入到系統(tǒng)的總泛函中，再根據(jù)變分原理或虛功原理得到系統(tǒng)的總體平衡方程，求解的迭代過程實(shí)際上是一個(gè)搜索接觸狀態(tài)的過程。Abaqus/Standard中應(yīng)用的是罰函數(shù)法將約束條件引入勢能泛函分析。,一、接觸點(diǎn)對,將被動(dòng)接觸塊上的結(jié)點(diǎn)P和主動(dòng)接觸塊上與其接觸的Q點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)接觸對。它們在tk+1時(shí)刻的坐標(biāo)的坐標(biāo)和位移分別是 點(diǎn)Q一般不是單元的結(jié)點(diǎn)，其坐標(biāo)和位移可由所在接觸塊上結(jié)點(diǎn)和位移插值得到。假設(shè)主動(dòng)接觸塊是二維的4結(jié)點(diǎn)單元，則有,其中： -Q點(diǎn)在接觸塊的自然坐標(biāo)。,接觸對P和Q間的相對位移為。,其中,為方便引入接觸條件，引入局部坐標(biāo)系,二、有限元方程,粘結(jié)接觸狀態(tài),由罰函數(shù)法有，局部坐標(biāo)系下一個(gè)接觸點(diǎn)對的接觸力引起的等效結(jié)點(diǎn)力向量,和罰系數(shù)有關(guān)的矩陣,整體坐標(biāo)系下接觸力等效結(jié)點(diǎn)力向量,-系統(tǒng)的等效結(jié)點(diǎn)接觸力向量,對稱陣,代入離散系統(tǒng)的平衡或運(yùn)動(dòng)方程,第三節(jié) 接觸單元,應(yīng)用有限單元法分析接觸問題，一種最為直接的方式是在接觸面上設(shè)立一種特殊形式的單元，一般稱為接觸單元，也稱為