1、.,1,1.連續(xù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù) 任何一個SISO系統(tǒng)都可以用差分方程來表示。若系統(tǒng)的輸入為 函數(shù)，則輸出為脈沖響應(yīng)函數(shù)g(t)。 因為 函數(shù)只作用于t=0，而在其他時刻系統(tǒng)的輸入為0，所以系統(tǒng)的輸出是從t=0開始的脈沖響應(yīng)函數(shù)g(t)。如果采樣間隔時間為T。并設(shè)系統(tǒng)可以用n階差分方程表示，則：,用脈沖響應(yīng)來求解傳遞函數(shù),等式中a1,a2,an為待定的n個常數(shù)。,.,2,根據(jù)上式，將時間依次延遲T，可以得到：,聯(lián)立求解上述n個方程，就可以得到差分方程的n個系數(shù)a1,a2,an。,.,3,等式中s1,s2,sn和c1,c2,.,cn為待求的2n個未知數(shù)。對上式求Laplace反變換，得到脈沖響應(yīng)函

2、數(shù)：,任何一個線性定常系統(tǒng)，如果其傳遞函數(shù)G(s)的特征根為s1s2sn，則其傳遞函數(shù)可以表示為：,.,4,要使上式為成立，應(yīng)令方括號內(nèi)的值為0，即：,將上面等式帶入到下列脈沖響應(yīng)的差分方程中,得到：,令，則可以得到：,.,5,解方程可以得到x的n個解x1,x2,xn。設(shè)：,至此可以得到s1,s2sn，下面求解c1,c2cn。,.,6,例：有一個三階系統(tǒng)，脈沖響應(yīng)數(shù)據(jù)如下：,試求解該系統(tǒng)的線性定常脈沖傳遞函數(shù)：,.,7,等式中。因而有,2. 離散系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù),設(shè)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)形式為：,根據(jù)脈沖傳遞函數(shù)的定義可以得到：,.,8,進(jìn)一步得到:,.,9,令上式兩邊z-i的同次項系數(shù)相等，可以

3、得到：,.,10,例：設(shè)采樣間隔時間為0.5s，系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)序列g(shù)(k)如下表所示，求系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)。,.,11,例：有一個三階系統(tǒng)，脈沖響應(yīng)數(shù)據(jù)如下：,試用Hankel矩陣法求解該系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)。,.,12,第七章系統(tǒng)階次的辨識,系統(tǒng)的階次，對傳遞函數(shù)而言，指極點個數(shù)；對于狀態(tài)空間而言，是指最小實現(xiàn)的狀態(tài)個數(shù)； 本章討論單輸入單輸出系統(tǒng)的階次辨識問題，主要介紹F檢驗法和AIC準(zhǔn)則這兩種基本的階次辨識方法； 階次辨識和參數(shù)估計兩者是互相依賴的，參數(shù)估計時需要已知階次，而辨識階次時又要利用參數(shù)估計值，兩者密不可分。,.,13,如何根據(jù)脈沖響應(yīng)的采樣值來判定模型的階次？,7.1. 根據(jù)H

4、ankel矩陣判定模型的階次,已知系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)序列g(shù)0,g1,gN，定義Hankel矩陣H(l,k)為：,我們根據(jù)Hankel矩陣的秩來判定系統(tǒng)模型階次。,.,14,定理：若Hankel矩陣的維數(shù)l大于系統(tǒng)的階次n，則Hankel矩陣的秩等于系統(tǒng)的階次n。 當(dāng)Hankel矩陣維數(shù)l=n+1時，對于所有的k，Hankel矩陣的行列式為零。 當(dāng)我們對于每個k值以及不同的維數(shù)l值，計算Hankel的行列式，就可以判定模型的階次n。,.,15,實際上，由于噪聲存在，當(dāng)維數(shù)l=n+1時，這些行列式的值并不恒等于零，但會突然變小。我們必須引入某個準(zhǔn)則，以確定顯著性水平。有一種方法是對于每一個不同的維數(shù)l

5、值，計算Hankel矩陣的行列式的平均值。然后對于不同的l值，比較行列式比值Dl。,Dl值為最大時的維數(shù)l值，就是系統(tǒng)模型的階次。,.,16,以自相關(guān)系數(shù) 作為Hankel矩陣的元素，再按新的Hankel矩陣來確定矩陣的秩。同樣，由于噪聲的影響，所得的行列式也不恒等于零。,另一種方法是根據(jù)脈沖響應(yīng)序列，求出它們的自相關(guān)序列的估計值，以及自相關(guān)系數(shù)值。,.,17,1.0,0.80,0.65,0.54,0.46,0.39,0.35,0.31,0.28,0.26,0.24,0.23,0.22,0.21,0.20,0.19,0.19,0.18,0.18,0.18,0.17,0.17,0.17,0.16

6、,0.16,0.15,0.15,0.15,0.15,0.14,0.14,0.14,0.13,0.13,0.13,0.13,0.12,0.12,0.12,0.12,0.12,0.11,0.11,0.11,0.11,0.10,0.10,0.10 試判定該模型的階次。,例：已知系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)序列g(shù)(k)為,.,18,第一種方法，求得各Hankel矩陣行列式的平均值，以 及行列式比分別為：,矩陣H(2,k)行列式的平均值為0.00087872 矩陣H(3,k)行列式的平均值為-0.00029311 矩陣H(4,k)行列式的平均值為-3.21410-7 矩陣H(5,k)行列式的平均值為-5.70910-

7、9 D2=2.998, D3=913.1, D4=64.2 因此，可以確定系統(tǒng)的階數(shù)為3。,.,19,第二種方法，求出脈沖響應(yīng)序列的相關(guān)系數(shù)為：,以為元素構(gòu)造Hankel矩陣并計算Hankel矩陣的行列式，得到： detH(2,0)=0.014937 detH(3,0)=-1.28210-5 detH(4,0)=-5.810-8 由行列式的值可知，系統(tǒng)模型的階次可以定為3階，也可以定義為2階。因為detH(3,0)已經(jīng)很小了。,.,20,用最小二乘法求出參數(shù)的估值，則目標(biāo)函數(shù)為：,1. 階和目標(biāo)函數(shù),7.2 根據(jù)殘差特性判定模型的階次,考慮系統(tǒng)模型為：,如果系統(tǒng)模型為：,則目標(biāo)函數(shù)為：,.,2

8、1,當(dāng)n=1,2,時，J1(n)和J2(n)隨著n的增加而減小。 如果n0為正確的階次，則n=n0-1時，J(n)出現(xiàn)最后 一次陡峭的下降，n再增大，則J(n)保持不變或者只 有微小的變化。,如果階次已給定，估計參數(shù)，則要求J1和J2最小值。如果階次未知，則估計參數(shù)個數(shù)就未知，也要求J1和J2取極小值。那么，當(dāng)階次遞增時，J1和J2的變化規(guī)律如何呢？對于不同階次，目標(biāo)函數(shù)為：,.,22,假設(shè)檢驗與參數(shù)估計區(qū)別,參數(shù)估計和假設(shè)檢驗都是統(tǒng)計推斷的兩個組成部分，都是利用樣本對總體進(jìn)行某種推斷，但推斷的角度不同。 參數(shù)估計是在總體參數(shù)未知的情況下用樣本統(tǒng)計量估計總體參數(shù)。 假設(shè)檢驗是先對總體參數(shù)提出一

9、個假設(shè)，然后利用樣本信息去檢驗這個假設(shè)是否成立，如果成立，就接受這個假設(shè)，否則就放棄。,.,23,在實際工作中，前人對某些問題得到初步的結(jié)論。這些結(jié)論可能正確、可能錯誤。若視這些結(jié)論為假設(shè)，問題在于我們是否應(yīng)該接受這些假設(shè)呢？,例：我們對某產(chǎn)品進(jìn)行了一些工藝改造，或研制了新的產(chǎn)品。要比較原產(chǎn)品和新產(chǎn)品在某一項指標(biāo)上的差異，這樣我們面臨選擇是否接受假設(shè)“新產(chǎn)品的某一項指標(biāo)優(yōu)于老產(chǎn)品”。我們必須作一些試驗，也就是抽樣。根據(jù)得到的樣本觀察值來作出決定。,假設(shè)檢驗問題就是根據(jù)樣本的信息檢驗關(guān)于總體的某個假設(shè)是否正確。,假設(shè)檢驗的思想,.,24,假設(shè)檢驗的方法,先介紹一條所謂實際推斷原理(小概率原理)。

10、通過大 量實踐，人們對小概率事件(即在一次試驗中發(fā)生的 概率很小的事情)總結(jié)出一條原理：,小概率事件在一次試驗中幾乎不會發(fā)生,并稱此為實際推斷原理，其為判斷假設(shè)的根據(jù)。,在假設(shè)檢驗時，若一次試驗中小概率事件發(fā)生了，就認(rèn) 為是不合理的。小概率事件在一次試驗中發(fā)生的概率 記為，一般取,在假設(shè)檢驗中，稱為顯著水平、檢驗水平。,.,25,即先對所關(guān)心的問題提出原假設(shè)H0 ,然后運用樣本信息看在H0成立的條件下會不會發(fā)生矛盾。最后對H0成功與否作出判斷：,若小概率事件發(fā)生了，則否定H0；,若不發(fā)生，則接受H0。,概率反證法的邏輯是：如果小概率事件在一次試驗 中居然發(fā)生，我們就以很大的把握否定原假設(shè)。,假

11、設(shè)檢驗使用的方法是概率論的反證法：,.,26,某日開工后為檢驗包裝機是否正常。隨機地抽取它所 包裝的糖9袋，稱得凈重為(公斤)：(=0.05),例：某車間用一臺包裝機包裝葡萄糖。包得的袋裝糖重是一個隨機變量X，且。當(dāng)機器正常時，其均值為=0.5公斤，標(biāo)準(zhǔn)差=0.015公斤。,0.497;0.506;0.518;0.524;0.498;0.511; 0.520;0.515;0.512,問機器是否正常?,那么，如何判斷原假設(shè)H0是否成立呢？即看在=0.5 的條件下會不會產(chǎn)生不合理現(xiàn)象。,解：先提出假設(shè),.,27,即在= 0.5的條件下,則,為X的一個樣本，它們是隨機變量，,于是有統(tǒng)計量,問Z大到什

12、么程度可以否定H0呢？這就要確定一個,否定H0的值,為此令：,即,.,28,拒絕H0,接受H0,接受域,.,29,假設(shè)檢驗的步驟,由實際問題提出原假設(shè) 和備擇假設(shè) ； 確定適當(dāng)?shù)臋z驗統(tǒng)計量，并在原假設(shè)為真的條 件下確定該統(tǒng)計量的分布； 根據(jù)問題的要求規(guī)定顯著性水平 (一般題目 中會給定)，從而得到拒絕域； 由樣本觀測值計算檢驗統(tǒng)計量的值，看是否屬 于拒絕域，從而對原假設(shè) 作出判斷。,.,30,Astrom(1968)提出的F檢驗法，引入一個假設(shè)檢驗，將模型階次的判定問題歸結(jié)為當(dāng)階次從n1增加到n2時，J2(n2)較J2(n1)下降是否顯著的問題。 Astrom證明，當(dāng)N足夠大時，若n2n1=n

13、成立，則：,2. 確定階的F檢驗法,且J2(n2)和J2(n1)-J2(n2)是相互獨立的隨機變量。,.,31,存在顯著性水平 ，當(dāng) 時，n2n1=n成立。否 則，n比n1和n2大。 這里取 ，則,引入統(tǒng)計量t,也就是說，當(dāng)n2n1=n時，統(tǒng)計量t服從自由度分別為 2n2-2n1與N-2n2的F分布。,.,32,當(dāng)時，則成立， 即為對象的階 令，階次逐漸增加，用F檢驗判斷,階次增加，減少。令,例如，取置信度，在100,200,400和 時，查表可以得到F分布的值： F(2,100)=3.09; F(2,200)=3.04; F(2,400)=3.02; F(2,)=3.00;,因此，當(dāng) =10

14、0時，若統(tǒng)計量， 則接受假設(shè)，即認(rèn)為 下降也不顯著，判定系統(tǒng) 階次為 ，否則否定假設(shè)，繼續(xù)增加階次并考察統(tǒng) 計量,.,33,其中 表示n階模型未知參數(shù)的個數(shù)， 表示參數(shù)的 極大似然估計值， 為似然函數(shù)，反映擬合精度。 稱該準(zhǔn)則為AIC準(zhǔn)則。Akaika證明了使為極 小的階，即系統(tǒng)的階。,Akaika(1972)提出一種具有客觀標(biāo)準(zhǔn)的階次判別方法，所采用階次判定準(zhǔn)則為：,2. 確定階的AIC準(zhǔn)則,.,34,這里對AIC準(zhǔn)則作一個定性的解釋。設(shè)系統(tǒng)的階次為n，當(dāng)階次估計值小于n時，AIC準(zhǔn)則中數(shù)值較大，起主導(dǎo)作用，隨著 的增大而增大，這時準(zhǔn)則 隨 的增加而下降。當(dāng)階次估計值達(dá)到并超過n時，的增長變慢，而 項隨著 的增加不斷增大，并起主導(dǎo)作用，這時隨的增大而增大。因此，在處形成一個最小值。,分析：,.,35,其中為獨立的正態(tài)分布序列，即白噪聲序 列