1、概率論與數理分析第二章 隨機變量及其分布,1 隨機變量 2 離散型隨機變量及其分布律 3 隨機變量的分布函數 4 連續(xù)型隨機變量及其概率密度 5 隨機變量的函數的分布,1 隨機變量,一隨機變量的概念,例 1,袋中有3只黑球，2只白球，從中任意取出3只球， 觀察取出的3只球中的黑球的個數 我們將3只黑球分別記作1，2，3號，2只白球分別 記作4，5號，則該試驗的樣本空間為,我們記取出的黑球數為 X，則 X 的可能取值為1，2，3 因此， X 是一個變量 X 的取值情況可由下表給出：,1 隨機變量,由于試驗結果具有隨機性，所以 X的取值 帶有隨機性。故，我們稱 X 為隨機變量,由上表可以看出， X

2、 取什么值依賴于試驗結果，即該隨機試驗的每一個結果都對應著變量 X 的一個確定的取值，因此變量 X 是樣本空間S上的實值單值函數：,1 隨機變量,我們定義了隨機變量后，就可以用隨機變量的取值情況來刻劃隨機事件例如,表示至少取出2個黑球這一事件，等等,表示取出2個黑球這一事件，即,又如,1 隨機變量,隨機變量的定義,設E是一個隨機試驗，S是其樣本空間我們稱樣本 空間S上的實值單值函數,為一個隨機變量，如果對于任意的實數 X，集合,都是隨機事件,R,e,S,1 隨機變量,說 明,1 隨機變量,例 2,擲一枚硬幣，令：,則X是一個隨機變量,說 明,在同一個樣本空間上可以定義不同的隨機變量,1 隨機變

3、量,例 3,擲一枚骰子，在例2中，我們定義了隨機變量X表示 出現的點數我們還可以定義其它的隨機變量，例 如我們可以定義：,等等,1 隨機變量,例 4,擲一顆骰子，令： X：出現的點數 則 X 就是一個隨機變量它的取值為1，2，3，4，5，6,表示擲出的點數不超過 4 這一隨機事件；,表示擲出的點數為偶數這一隨機事件,即,1 隨機變量,例 5,一批產品有 50 件，其中有 8 件次品，42 件正品 現從中取出 6 件，令： X：取出 6 件產品中的次品數 則 X 就是一個隨機變量它的取值為 0，1，6,表示取出的產品全是正品這一隨機事件；,表示取出的產品至少有一件次品這一隨機事件,1 隨機變量,

4、例 6,上午 8:009:00 在某路口觀察，令： Y：該時間間隔內通過的汽車數 則 Y 就是一個隨機變量它的取值為 0，1，,表示通過的汽車數小于100輛這一隨機事件；,表示通過的汽車數大于 50 輛但不超過 100 輛這一隨機事件,1 隨機變量,注意 Y 的取值是可列無窮個！,例 7 觀察某生物的壽命（單位：小時），令： Z：該生物的壽命 則 Z 就是一個隨機變量它的取值為所有非負實數,表示該生物的壽命大于 3000小時這一隨機事件,表示該生物的壽命不超過1500小時這一隨機事件,注意 Z 的取值是不可列無窮個！,1 隨機變量,一.離散型隨機變量的概念與性質,離散型隨機變量的定義,如果隨機

5、變量 X 的取值是有限個或可列無 窮個，則稱 X 為離散型隨機變量,2 離散型隨機變量及其分布律,離散型隨機變量的分布律,設離散型隨機變量 X 的所有可能取值為,并設,則稱上式為離散型隨機變量 X 的分布律,離散型隨機變量 X 的分布律還可寫成表格（矩陣）的形式,2 離散型隨機變量及其分布律,說 明,1. 離散型隨機變量可完全由其分布律來刻劃 即離散型隨機變量可完全由其可能取值以及 取這些值的概率唯一確定,2 離散型隨機變量及其分布律,離散型隨機變量分布律的性質:,2 離散型隨機變量及其分布律,例 1,從110這10個數字中隨機取出5個數字，令： X：取出的5個數字中的最大值 試求 X 的分布

6、律 解： X 的取值為5，6，7，8，9，10 并且,具體寫出，即可得 X 的分布律：,2 離散型隨機變量及其分布律,例 2,將 1 枚硬幣擲 3 次，令： X：出現的正面次數與反面次數之差 試求 X 的分布律 解： X 的取值為-3，-1，1，3 并且,2 離散型隨機變量及其分布律,例 3,設離散型隨機變量 X 的分布律為,則,（已知分布律，求隨機變量落在某區(qū)間上的概率）,2 離散型隨機變量及其分布律,2 離散型隨機變量及其分布律,例 4,設隨機變量 X 的分布律為,解：由隨機變量的性質，得,該級數為等比級數，故有,所以,2 離散型隨機變量及其分布律,例 5 設一汽車在開往目的地的道路上需經

7、過四盞信號燈，每盞信號燈以 1/2 的概率允許或禁止汽車通過. 以 X 表示汽車首次停下時，它已通過的信號燈的盞數，求 X 的分布律. (信號燈的工作是相互獨立的).,PX=3=(1-p)3p,2 離散型隨機變量及其分布律,解： 以 p 表示每盞信號燈禁止汽車通過的概率，則 X 的分布律為：,X pk,0 1 2 3 4,p (1-p) p (1-p)2p (1-p)3p (1-p)4,或寫成 PX= k = (1- p)kp，k = 0,1,2,3 PX= 4 = (1-p)4,2 離散型隨機變量及其分布律,以 p = 1/2 代入得：,1 、伯努利試驗,如果隨機試驗 E 只有兩個結果，則稱

8、E為伯努利試驗。,伯努利試驗的例子,擲一枚硬幣，只有“出現正面”與“出現反面”兩種結果，因此“擲一枚硬幣”可看作是一次伯努利試驗,n重伯努利(Bernoulli)概型,2 離散型隨機變量及其分布律,對同一目標進行一次射擊，若只考慮“擊中目標”與“未擊中目標”兩種情況，則“同一目標進行一次射擊”是伯努利試驗 在某一時間間隔內觀察通過某路口的汽車數，若只考慮“至少通過100輛車”與“至多通過99輛車”這兩種情況，這也是伯努利試驗,伯努利試驗的例子,擲一顆骰子，有六種結果但如果我們只關心“出現六點”與“不出現六點”這兩種情況，故“擲一顆骰子”也可以看作是伯努利試驗,2 離散型隨機變量及其分布律,2.

9、 n重伯努利試驗,若獨立重復地進行n次伯努利試驗，這里“重復”是指每次試驗中事件 A 發(fā)生的概率（即每次試驗中“成功”的概率）不變，“獨立”是指各次試驗的結果相互獨立，則稱該試驗為n重伯努利 試驗,n重伯努利試驗的例子,擲n次硬幣，可看作是一 n 重伯努利試驗 擲 n 顆骰子，如果我們對每顆骰子只關心“出現六點”與“不出現六點”這兩種情況，故“擲 n 顆骰子”也可以看作是一n重伯努利試驗,2 離散型隨機變量及其分布律,對同一目標進行n次射擊，若每次射擊只考慮“擊中目標”與“未擊中目標”兩種情況，則“同一目標進行n次射擊”是一n重伯努利試驗 在某一時間間隔內觀察通過某路口的汽車數，若只考慮“至少

10、通過100輛車”與“至多通過99輛車”這兩種情況，這是一次伯努利試驗若獨立重復地做該試驗 n 次，則它是一n重伯努利試驗,n重伯努利試驗的例子,2 離散型隨機變量及其分布律,n重伯努利試驗中的基本事件及其概率,在n重伯努利試驗中的基本事件為,2 離散型隨機變量及其分布律,且 則由獨立性，得,n重伯努利試驗中恰好成功k次的概率,設在一次伯努利 試驗中，,現考慮事件,2 離散型隨機變量及其分布律,（根據由二項式定理）,2 離散型隨機變量及其分布律,n重伯努利試驗中恰好成功k次的概率,2 離散型隨機變量及其分布律,二、一些常用的離散型隨機變量,1) (0-1)分布,如果隨機變量 X 的分布律為,或,

11、則稱隨機變量 X 服從參數為 p 的 (0-1)分布,(0-1) 分布也稱作伯努利分布或二點分布,(0-1)分布的概率背景,進行一次伯努利試驗(只有兩個可能結果)，設：,令：X：在這次伯努利試驗中事件A發(fā)生的次數 或者說：令,2 離散型隨機變量及其分布律,例 6 15 件產品中有4件次品，11件正品從中取出1件，令 X：取出的一件產品中的次品數 則 X 的取值為 0 或者 1，并且,即：,2 離散型隨機變量及其分布律,2）二項(Binomial)分布,如果隨機變量 X 的分布律為,2 離散型隨機變量及其分布律,說 明,顯然，當 n=1 時,二項分布的概率背景,進行n重伯努利試驗，設在每次試驗中

12、,令 X：在這伯努利試驗中事件A發(fā)生的次數,2 離散型隨機變量及其分布律,分布律的驗證,由于,以及 n 為自然數，可知,又由二項式定理，可知,所以,是分布律,2 離散型隨機變量及其分布律,例 7 一大批產品的次品率為0.05，現從中取出10件試求下列事件的概率： B= 取出的10件產品中恰有4件次品 C= 取出的10件產品中至少有2件次品 D= 取出的10件產品中沒有次品 ,X：取出的10件產品中的次品數,取10件產品可看作是 10重伯努利試驗,解：,2 離散型隨機變量及其分布律,所以，,2 離散型隨機變量及其分布律,例8 一張考卷上有5道選擇題，每道題列出4個可能答案，其中只有一個答案是正確

13、的某學生靠猜測至少能答對4道題的概率是多少？,則答5道題相當于做5重伯努利試驗,解：每答一道題相當于做一次伯努利試驗，,2 離散型隨機變量及其分布律,所以,2 離散型隨機變量及其分布律,例 9 設有 80 臺同類型的設備，各臺工作是相互獨立的，發(fā)生故障的概率都是 0.01，且一臺設備的故障能由一個人處理.考慮兩種配備維修工人的方法： 方法一，由 4人維護，每人負責 20 臺 方法二，由 3 人,共同維護 80 臺. 試比較這兩種方法在設備發(fā)生故障時不能及時維修的概率的大小.,2 離散型隨機變量及其分布律,解：按第一種方法. 以 X 記 “第 1 人負責的 20 臺 中同一時刻發(fā)生故障的臺數”，

14、則 X b (20，0.01）.,以 Ai 表示事件 “第 i 人負責的臺中發(fā)生故障不能及時維修”， 則 80 臺中發(fā)生故障而不能及時維修的概率為：,2 離散型隨機變量及其分布律,按第二種方法. 以 Y 記 80 臺中同一時刻發(fā)生故障的臺數， 則 Y b(80，0.01）. 故 80 臺中發(fā)生故障而不能及時維修的概率為：,第二種方法中發(fā)生故障而不能及時維修的概率小，且維修工人減少一人。,2 離散型隨機變量及其分布律,例10,對同一目標進行射擊，設每次射擊的命中率均 為0.23，問至少需進行多少次射擊，才能使至少命 中一次目標的概率不少于0.95？, n次射擊至少命中一次目標 =B,解：設需進行

15、n次射擊，才能使至少命中一次目標的概率不少于0.95 進行n次射擊，可看成是一n重伯努利試驗,設 X=n次射擊中的命中次數，,2 離散型隨機變量及其分布律,則有,由題意，得,所以，有,取對數，得,所以，有,即至少需進行12次射擊，才能使至少命中一次目標的概率不少于0.95,2 離散型隨機變量及其分布律,二項分布的分布形態(tài),2 離散型隨機變量及其分布律,二項分布的分布形態(tài),由此可知，二項分布的分布,先是隨著 k 的增大而增大，達到其最大值后再隨著 k 的增大而減少這個使得,2 離散型隨機變量及其分布律,達到其最大值的k0稱為該二項分布的最大可能次數。,2 離散型隨機變量及其分布律,例11 對同一

16、目標進行400次獨立射擊，設每次射擊時的命中率均為0.02， （1）求至少命中兩次目標的概率； （2）試求400次射擊最可能命中幾次？,則,解：對目標進行400次射擊相當于做400重伯努利試驗,令,2 離散型隨機變量及其分布律,P至少命中兩次目標,2 離散型隨機變量及其分布律,（1）,（2）,因此，最可能射擊的命中次數為,3）泊松(Poisson)分布,如果隨機變量 X 的分布律為,則稱隨機變量 X 服從參數為的泊松分布,2 離散型隨機變量及其分布律,分布律的驗證, 由于,可知對任意的自然數 k，有, 又由冪級數的展開式，可知,所以,是分布律,2 離散型隨機變量及其分布律,Poisson分布的

17、應用,Poisson分布是概率論中重要的分布之一 自然界及工程技術中的許多隨機指標都服從Poisson分布,例如，電話總機在某一時間間隔內收到的呼叫次數， 放射物在某一時間間隔內發(fā)射的粒子數， 容器在某一時間間隔內產生的細菌數， 某一時間間隔內來到某服務臺要求服務的人數，等等，在一定條件下，都是服從Poisson分布的,2 離散型隨機變量及其分布律,例 12 設隨機變量 X 服從參數為的Poisson分布，且已知,解：隨機變量 X 的分布律為,由已知,2 離散型隨機變量及其分布律,得,由此得方程,得解,所以，,2 離散型隨機變量及其分布律,泊松定理,證明：,2 離散型隨機變量及其分布律,對于固

18、定的 k，有,2 離散型隨機變量及其分布律,所以，,由 Poisson 定理，可知,2 離散型隨機變量及其分布律,即以n、p為參數的二項分布的概率值可以由參數為=np的泊松分布的概率值近似。,通常n10，p0.1時，二項分布可近似為泊松分布。,例 13 設每次射擊命中目標的概率為0.012，現射擊600次，求至少命中3次目標的概率（用Poisson分布近似計算） 解：設 B= 600次射擊至少命中3次目標 進行600次射擊可看作是一600重伯努利試驗.,2 離散型隨機變量及其分布律,所以，,或,2 離散型隨機變量及其分布律,4）幾何(Geometric)分布,若隨機變量 X 的分布律為,2 離

19、散型隨機變量及其分布律,分布律的驗證, 由條件, 由條件可知,綜上所述，可知,是一分布律,2 離散型隨機變量及其分布律,幾何分布的概率背景,在伯努利試驗中，,試驗進行到 A 首次出現為止,即,2 離散型隨機變量及其分布律,例 14 對同一目標進行射擊，設每次射擊時的命中率為0.64，射擊進行到擊中目標時為止，令： X：所需射擊次數 試求隨機變量 X 的分布律，并求至少進行2次射擊 才能擊中目標的概率 解：,2 離散型隨機變量及其分布律,故， X 的分布律為：,2 離散型隨機變量及其分布律,5）超幾何(Hypergeometric)分布,如果隨機變量 X 的分布律為,2 離散型隨機變量及其分布律

20、,超幾何分布的概率背景,一批產品有 N 件，其中有 M 件次品，其余 N-M 件 為正品現從中取出 n 件 令： X：取出 n 件產品中的次品數 則 X 的分布律為,2 離散型隨機變量及其分布律,例 15 某病的自然痊愈率為 0.25，某醫(yī)生為檢驗某種新藥是否有效，他事先制定了一個決策規(guī)則：把這藥給 10 個病人服用，如果這 10 病人中至少有4 個人痊愈，則認為新藥有效；反之，則認為新藥無效求： 新藥有效，并且把痊愈率提高到 0.35，但通過試驗卻被否定的概率 新藥完全無效，但通過試驗卻被判為有效的概,2 離散型隨機變量及其分布律,解：給10個病人服藥可看作是一10重伯努利驗, 若新藥有效，則,此時若否定新藥，只有在試驗中不到4人痊愈 因此,2 離散型隨機變量及其分布律, 由于新藥無效，則,此時若肯定新藥，只有在試驗中至少有4人痊愈因此,2 離散型隨機變量及其分布律,說 明,在例 15 的第一問中，該醫(yī)生把有用的藥給否定了，這種錯誤在統計學中稱為第類錯誤（棄真錯誤），犯這類錯誤的概率稱為類風險； 在例 10 的第二問中，該醫(yī)生把無用的藥給肯定了，這種錯誤在統計學中稱為第類錯誤（取偽錯誤），犯這類錯誤的概率稱為類風險；,2 離散型隨機變量及其分布律,一. 分布函數的定義及其性質,定義 設 X 是一個隨機變量，x是任意實數，,稱為